“MPCK”视角下的高中数学问题探究课堂

【摘 要】“MPCK”关注教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态。现实中，MK、PK、CK在数学教育中已经引起了广大教师的关注，但TK的推广和普及却远远没有达到预期。在高中数学教学中，教师可以借助GeoGebra软件，通过掌握TK，为技术应用提供保障；深化MK，为技术使用保驾护航；优化PK，为技术呈现把控深浅；理解CK，为技术赋能精准实施等措施，实现信息技术与教学的融合。

【关键词】高中数学；MPCK；信息技术；GeoGebra；问题探究

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2024）23-0061-06

【作者简介】杨磊，江苏省溧阳市教师发展中心（江苏溧阳，213300）高中数学研训员，高级教师。

MPCK是由数学学科知识（Mathematics Knowledge，简称MK）、一般教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称PK）、关于学生的知识（Content Knowledge，简称 CK）和关于教育技术的知识（Technical Knowledge，简称TK）融合而成，其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态，以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养。［1］最初提出的MPCK并不包括TK，但随着社会信息化的高速发展，信息技术对教育教学的影响越来越凸显，TK及其与MK、PK、CK的有效融合受到越来越多的重视。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）提出，要注重信息技术与数学课程的深度融合，实现教学的实效性。［2］ 章建跃博士提出的四个理解：理解数学、理解教学、理解学生、理解技术［3］，也与MPCK不谋而合。

MK、PK、CK在数学教育中已经引起了广泛共鸣和重视，但TK的推广和普及却远远没有达到预期。有些数学教师只会使用现成的PPT，并未掌握能够匹配当前教学的现代教育技术知识。本文以2021年全国高考甲卷（理科）第19题为例，用GeoGebra数学软件（以下简称“GGB”）开展数学探究教学。在此过程中，除了呈现GGB技术知识，更重要的是展示TK在试题探究中的作用，给出基于MK、PK、CK的TK应用思考。

一、问题初探

1.试题呈现

如图1，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB = BC = 2，E，F分别为AC和CC1中点，D为棱A1B1上的点，BF ⊥ A1B1。

（1）证明：BF ⊥ DE；

（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

2.试题分析

这道立体几何高考题，看似常规，却有着丰富的内涵，对不同学习层次的学生，都可以从中设计出有针对性的讨论话题，具有较好的探究价值。其中，问（1）已有文章作了详细的分析探讨［4］，本文主要针对问（2）展开。解决问（2）的常规方法有向量坐标法和综合几何法。向量坐标法通过建立空间直角坐标系，将问题转化为坐标运算，对逻辑思维要求较低，但需要一定的代数运算能力。综合几何法聚焦直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，需要学生具备空间想象和转化化归的能力。为了体现探究价值，提升学生的思维品质，在此选择用综合几何法分析解决，思路如下：

取BC中点G，连接B1G。设平面BCC1B [∩]平面DEF = l，过E作EH ⊥ l（H为垂足），连接GH，易证∠EHG即为二面角E-l-B的平面角，且sin∠EHG = [EGEH]，又由EG = 1知当EH最大时，sin∠EHG最小。由EH ⊥ l知，EH≤EF（当且仅当F，H重合时取等号）。之后，在EF ⊥ l条件下求B1D的值。

二、融合方向

乍看题目，可能觉得没有太大的必要运用TK进行探究。事实上，站在学生的角度，立体几何题的难易程度很难一概而论。以空间想象能力为例，学生之间的差异很明显，有些学生能够轻易进行数与形的转换，想象出相关图形。而对有些学生来说，怎样看图都“不顺眼”，总觉得数与形是分离的、“对不上号”。教师借助GGB的3D绘图功能，将图形绘制出来，进行全方位的观察感知，有利于培养学生的直观想象能力，为分析和解决问题作基础性的铺垫。 用GGB软件协助寻找解题方向、进行深入探究，主要围绕以下几点进行：

（1）用GGB作出基本图形，通过直观感知和动手操作确认几何体中各元素间的位置关系；

（2）用GGB求出面BCC1B1与面DEF的二面角，让学生观察并归纳其正弦值与线段B1D长度之间的函数关系，感受其动态关联性；

（3）用GGB作出面BCC1B1与面DEF的二面角，寻找变化规律，梳理逻辑证明方案；

（4）寻找“图根”和“题源”，并用GGB协助分析论证。

三、教学过程

1.作图直观感知

解决立体几何问题，首先要建立空间直观，数形结合进行分析。利用GGB软件的3D绘图功能，可以快速得到题目中的立体图形：

S1：打开3D绘图区，依次输入指令“A = （-sqrt（2），0，0）”“B = （0，sqrt（2），0）”“C = （sqrt（2），0，0）”“A_1 = A + （0，0，2）”“B_1 = B + （0，0，2）”“C_1 = C + （0，0，2）”，得到直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点。

S2：输入指令“棱柱（A，B，C，A_1）”，得到直三棱柱ABC-A1B1C1（名称为a）。

S3：用“描点”工具在线段A1B1上描出点D，用“中点”工具分别得到线段AC，CC1的中点E，F，再用“线段”工具连接EF，FB，DF，DE。还可以根据需要调整各个几何对象的颜色、线径等，得到与题目中相同的立体图形。（见图2）

课堂上，教师将光标放在3D绘图区内，按住左键（或右键）移动光标，即可让学生从各个方向观察，进一步直观感知构成几何体的各要素之间的关系。

2.用软件探最值

线段B1D长度的变化引起了面BCC1B1与面DEF所成二面角α的变化，由此可以建立相关函数关系，用GGB软件演示并感知其关联性。下面，笔者利用GGB软件的绘图区，呈现二面角α关于线段B1D长度的函数图象，操作过程 如下：

S1：接图2过程，输入指令“线段（B_1，D）”，得到线段n。

S2：输入指令“角度（平面（E，F，D），平面（C_1，B，C））”，得到二面角α。

S3：输入指令“sin（α）”，得到α的正弦值b。

S4：输入指令“P：（n，b）”，得到以线段B1D的长度为横坐标、以二面角α的大小为纵坐标的动点P。

S5：打开绘图区，设置除点P外的其他对象在绘图区中不可见。选中P点，单击右键，选择“开启跟踪”，然后用鼠标左键拖动点D，即可在绘图区中观察到点P的变化。（见图3）

如果时间充裕，上述过程完全可以当堂操作完成，以便让学生“看见”两个变量的函数关系，明确逻辑论证的计划：将两个平面所成角的正弦值表示为线段B1D长度的函数关系，再用代数知识分析求得函数最值。

3.看见“无棱”

平面BCC1B1与平面DEF所成二面角在哪里？直观呈现这个二面角的平面角，有助于学生展开逻辑思维，学会运用综合法分析问题，怎样呈现相关的二面角呢？具体操作如下：

S1：接图2过程，用“三点共面”工具依次选中点D，E，F，得到平面p，再选中点B，C，C1，得到平面q。用“相交曲线”指令得到平面p和q的交线j。用“垂线”工具，依次选中E，j，得到过点E且与直线j垂直的直线k，再用“交点”工具得到j与k的交点G。

S2：选中平面q，右键单击，选中“创建q的平面视图”，并在此视图中用“垂线”工具得到过G点与j垂直的直线l，用“交点”工具得到l与线段BC的交点H。由此，相关平面角构造完成（即为直线EG和GH所成角）。（见下页图4）

S3：输入指令“角度（E，G，H）”，即可在代数区显示∠EGH的值。鼠标拖动点D，观察相关几何对象及∠EGH的度数变化，可以发现点H始终在线段BC的中点位置，且当G点与F点重合时，∠EGH最小。

教师可以借由上述操作感知的结论发问，将学生思维引向深入。经由充分的思考和讨论，不难得知：之所以点H始终在线段BC的中点位置，是因为EH⊥平面BCC1B1。此时，根据学生情况，教师可考虑适当引入或回顾“三垂线定理”以便加深学生对问题的理解。又在RtΔEGH中，sin[∠EGH] = [EHEG] = [1EG]，又EG≤EF（点G与点F重合时取等号），由此可知点G与点F重合时∠EGH最小。

当点G与点F重合时，BF与二面角的棱垂直，在平面BCC1B1中，利用平面几何知识不难得出棱线过线段B1C1的中点M。假设EF [∩] A1C1 = N，则A1C1 = 2C1N，且D，M，N共线。在平面A1B1C1中，过C1作A1B1的平行线（交直线MN于点T），利用ΔDB1M～ΔTC1M及ΔA1ND～ΔC1NT，可得B1D = 1。（见图5）

4.寻找“图根”

题目所给的直三棱柱是一个“堑堵”模型（底面为直角三角形的直棱柱），可以补成正方体ABCR-A1B1C1R1。这种补形成常规几何的想法和视角，有利于学生以联系的眼光看待已有知识和问题。GGB软件操作如下：

接图2过程，输入指令“R：A + C - B”和“R_1：A_1 + C_1 - B_1”，得到点R，R1，再输入指令“棱柱（A，C，R，A_1）”，即可补成所需正方体。（见图6）

由题知AC1∥EF，过直线AC1作平面DEF的平行平面α，即可将平面DEF与平面BCC1B1所成角转化为平面α与平面BCC1B1所成角。

转化成最为常见的正方体模型，能够增强学生的信心，帮助他们找到解题思路。这样的分析探讨有助于学生“居高临下”看问题，与此同时，学生也在进行角色转换，由做题者变成出题者。

5.“溯源”问题

由条件知平面DEF始终围绕EF旋转，紧抓这个特征，剔除次要或无关因素，就可以思考下面更一般性的问题：若直线AB为平面α的一条斜线，求过AB的平面β与α所成角的最小值。下面，借助GGB软件进行操作探究：

S1：打开3D绘图区，在样式栏中调整出“xOy平面”，用“直线”工具作直线AB（A在xOy平面内），用“垂线”工具过点B作xOy平面的垂线g，再用“交点”工具得到垂线g与xOy平面的交点C。

S2：打开绘图区，用“滑动条”工具创建角度滑动条α。

S3：输入指令“旋转（平面（A，B，C），α，f）”（f为直线AB），得到平面ABC围绕直线AB旋转α角度所得的平面p。

S4：用“相交曲线”工具得平面ABC与平面p的交线h，用“垂线”工具过点B作h的垂线i，用“交点”工具得h与i的交点D，再用“直线”工具连接C，D。

S5：输入指令“角度（B，D，C）”，即可得到xOy平面与平面p的夹角β。（见图7）

用鼠标拖动滑动条α，观察角度β的变化，会发现当α = 90°时，角度β最小，此时点D与点A重合，由此可知感知一般性问题的结论是：平面β与α所成角的最小值即为直线AB与平面α所成角。

四、教学反思

MPCK是MK，PK，CK和TK的融合，随着教师教龄增加和经验积累，每一种知识也会相应增加，交集部分增多，融合之后，教师的“MPCK”也会相应发展。［5］教师的MK，PK，CK和TK并不是孤立存在的，它们之间有着紧密的联系，相互影响、相辅相成。下面，笔者着眼于教师的TK，站在技术融合的视角，作进一步说明。

1.掌握TK，为技术应用提供保障

掌握TK，是应用技术的前提。以GGB为例，教师若仅仅会简单的操作，拿别人的成品课件进行展示，教学效果则非常有限。教师倘若能够较好地掌握GGB的基本操作，就可以当堂演示，或者引导学生动手操作。当堂演示往往能够提供较好的学习代入感，展示动态生成的过程，提升学生的投入度；教学生自己动手操作，积极调动学生所有感官参与学习，能够增加学生的活动经验，更好地使学生集中思维、激发灵感、快速突破。

在上述的试题探究中，如果条件允许，教师可以让学生操作GGB软件，亲自动手绘制二面角的平面角，拖动动点D，观察二面角大小的变化……将探索工具交到学生手中，让学生在做中学、学中悟，有利于提升学生的学习兴趣，激发其可持续性发展的潜能。

另外，TK的掌握不是一蹴而就的，需要长时间的学习和实践。以GGB为例，从入门到精通，可能需要几个月甚至几年的时间。为了实现较好的教学效果、提升教学的实效性，教师需要投入一定的时间与精力进行相关技术的学习。

2.深化MK，为技术使用保驾护航

数学软件的设计和操作本身就是以MK为根基。以GGB软件为例，它的开发除了必要的计算机知识和硬件条件，最重要且基础的是相关数学知识。它的工具和指令的设计均包含相应的数学原理，如“直线”工具源自“两点确定一条直线”，“平行直线”工具源自“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”，“三点平面”工具源自“不在同一直线的三点确定一个平面”，“椭圆”工具源自“两焦点和一定点可确定一个椭圆”，“对称”指令源自相关的对称原理……如果用GGB作圆柱圆锥的展开图，需要掌握参数方程的相关知识；想要灵活运用“曲线”“曲面”等指令，简化作图过程，需要掌握“点运算”，理解向量、直角坐标点、极坐标点、复数之间的联系。

另外，MK中蕴含的数学观念、数学思想方法、数学史等，也为教师应用TK提供了重要的参考依据和标准。

3.优化PK，为技术呈现把控深浅

教师PK蕴含的教育理念、教育理论知识、课程知识、教学知识等，对教师TK“是否要使用”“如何使用”“何时使用”“使用到什么程度”等影响较大。

教师要不断更新教育理念，不能故步自封，要勇于尝试。如果教师本身缺乏探索精神和对教学的深度理解，认为是否使用TK、何时使用TK无关紧要，就不会有较理想且恰当的技术呈现。“教是为了不教”，教学是为了培养可持续发展的自立自强的人，教师不能局限于暂时的显性成绩，更要注重促进可持续发展的隐性能力和品质的培养。

如上述采用GGB软件实施教学，协助学生分析探讨问题，就要基于PK设计，以增强学生的直观感知和空间想象，激发学生的兴趣和思维，提升学生分析和解决问题的能力，培养学生提出和发现问题的意识，让学习变得更加主动和高效。

教师应优化自己的PK，明确适合使用信息技术的环境（验证、探索、实验、观察等），才能助力学生有所发现和感悟，促进学生高阶思维的生成，实现学科育人。

4.理解CK，为技术赋能精准实施

不理解学生，就是不理解教vJ9hTjmAVMYWM3H5tvcfug==学。理解CK，是实施有效教学的前提。不同于教师独立的数学研究，引导学生进行问题探究必须关注学生的知识水平、认知发展水平、学习环境等。上述案例中，倘若学生连最基本的空间向量法都没有较好掌握，或者用综合法解题的基础非常薄弱，我们就要考虑是否真的有必要利用信息技术进行深度探究。认准了CK，才能实现精准的技术赋能。

理解CK，要求教师充分了解学情，明晰教学目标，对问题探究的深度做到心中有数。比如在上述探究中，向量投影法、三垂线定理、“堑堵”模型、三余弦定理等都可以与问题相关联，并且用GGB协助探究。需不需要这样做要根据具体的学情而定，不能一概而论。 教师更不能为了“炫耀自己的技术”就带领学生一直往深处探究。靠近最近发展区，“跳一跳能够得着”，这些基本的教学原则教师要把握住。

【参考文献】

［1］李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义［J］.数学教育学报，2011，20（2）：10-14.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：3.

［3］章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］.上海：华东师范大学出版社，2021：5.

［4］刘熙，刘冰楠.聚焦数学核心素养 引导立体几何教学：以2021年高考数学全国甲卷文科第19题为例［J］.数学通报，2022，61（10）：51-57.

［5］陆明明.MPCK视角下“三角函数的周期性”的教学设计对比分析与建议［J］.数学通报，2015，54（2）：25-29.