“图说”分式

第十章 分式

领 "衔 "人：刘东升

组稿团队：江海初数工作室

根据图1（分数知识结构图），我们先一起回顾小学阶段对分数的学习。

进入初中后，从数到式，我们也可构建出如图2所示的“分式知识结构图”。

接下来，让我们从不同的角度求一道分式方程的解，感受分式通分、约分、去分母等变形在解分式方程中的运用。

问题：解方程[1x-1]=[2（x-1）（x+1）]。

解法1：移项后对方程左边通分，

[1x-1]-[2（x-1）（x+1）]=0，

[x+1-2（x-1）（x+1）]=0，

[x-1（x-1）（x+1）]=0。

这时，如果约分，则出现[1x+1]=0，显然方程无解；

若不约分，则需满足[x-1≠0，x-1=0]且x+1≠0，分式值才能等于0，显然也无解。

综上，原方程无解。

解法2：方程两边同乘以（x-1）（x+1），去分母后，得x+1=2，

∴x=1。

为什么会产生两种结果？转化成的整式方程的解与原方程的解难道不一定相同吗？让我们把“解法2”得到的x=1代入所去“分母”中，发现方程两边同乘（x-1）（x+1），其中x-1=0！原来x=1只是转化后的整式方程——一元一次方程的解，并不一定是原分式方程的解。故原分式方程无解。像上面这样，满足整式方程的解，但不是原分式方程的解的情况，通常称为“增根”，应舍去。因此，解分式方程，在求得整式方程的解后，我们必须检验是不是原分式方程的解，这个过程叫作“检验”（验根）。

“检验”方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

最后，让我们用图3对分式全章知识做一次展望吧！