太阳系中行星椭圆轨道运动的三个常量的探讨

基金项目：本文系江苏省中小学教学研究第14期“系列微视频模式下新教材高中物理实验的开发和研究”（课题编号：2021JY14-L10）阶段成果。

摘" 要：本文从椭圆轨道上绕日运动的行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积出发，推导得出椭圆轨道下与开普勒三定律相关的单位时间内扫过的面积、轨道半长轴三次方与周期二次方的比值、行星运动的机械能三个常量的表达式。

关键词：开普勒定律；面积速率；机械能

1" 问题的源起

在万有引力部分的教学中，教师常常被学生问及有关以下三个常量的问题。

常量一：开普勒第二定律中单位时间内扫过的面积；

常量二：开普勒第三定律中半长轴三次方与周期二次方的比值；

常量三：行星沿不同圆轨道和椭圆轨道运动的机械能。

日常教学中，教师往往会从匀速圆周运动这一特例的角度给出答案。但是学生并不满足于此，会进一步提出问题：“那椭圆运动时结果改变吗？”因此笔者认为有必要对三个常量进行进一步的计算，以便在学生提问时及时给出科学的答案。对于学有余力的同学，还可以在补充引力势能表达式后，在老师的指导下进行推导和证明，以丰富和加深学生对于行星运动规律的认识。接下来，本文在万有引力定律和开普勒三定律的基础上对三个常量进行计算和推导。

2" 单位时间内扫过的面积的推导

图1

如图1所示，在极短时间Δt内行星走过的路程为Δl＝vΔt，轨迹近似为一段线段。Δt时间内末位置和太阳的连线长度为r，连线与速度之间的夹角为θ，扫过的三角形面积（阴影部分）有

ΔS＝12Δlrsinθ，

故单位时间内扫过的面积有

ΔSΔt＝12ΔlΔtrsinθ＝12vrsinθ；

在圆周运动轨道上有sinθ＝1，于是有

ΔSΔt＝12vr，（1）

根据万有引力提供向心力有

GMmr2＝mv2r，

可得

v＝GMr；

代入（1）式有

ΔSΔt＝12GMr。（2）

（2）式是匀速圆周运动下得出的结论，那么如果是椭圆运动，结果又如何呢？为了方便计算，选取椭圆上的两个特殊位置——近日点和远日点进行计算，此时（1）式依然成立。

设椭圆轨道的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则有

b2＝a2－c2＝（a＋c）（a－c），

行星位于近日点时到太阳的距离为r1＝a－c，行星位于远日点时到太阳的距离为r2＝a＋c。在近日点和远日点单位时间内扫过的面积相等，根据（1）式，有

12v1（a－c）＝12v2（a＋c）。（3）

若取无穷远处势能为零，太阳质量为M，行星质量为m，则行星到太阳距离为r时引力势能为［1］

Ep＝－GMmr。（4）

根据机械能守恒可知近日点和远日点机械能相等，即

12mv21－GMma－c＝12mv22－GMma＋c。（5）

根据（3）式用近日点速度表示远日点速度并代入（5）式可得

v1＝GM（a＋c）2ab2。（6）

将（6）式代入（1）式的近日点部分（左边）有

ΔSΔt＝12GM·b2a。（7）

对比（2）式可以发现，当a＝b＝r时二者相同。由此可见，椭圆轨道上绕日运动的行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积和椭圆轨道的长轴和短轴均有关，如果运行轨道为圆周轨道，那么只和半径有关。

3" 半长轴三次方与周期二次方的比值的推导

当行星围绕太阳做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可知

GMmr2＝mr4π2T2，

移项后可得

r3T2＝GM4π2。（8）

这是匀速圆周运动下的结果，由于其中并不包含圆周轨道相关的物理量，所以在椭圆轨道下应该有完全一致的结论。根据椭圆面积S＝πab以及前文结论（7）式，可得椭圆轨道运动的周期为椭圆面积除以单位时间内扫过的面积，即

T＝πab12GMb2a＝2πa3GM。（9）

（9）式平方后移项可得a3T2＝GM4π2，因此可以证明椭圆轨道运动的比值和匀速圆周运动的相同。同时可知，行星在椭圆轨道绕日运动的周期只和轨道长轴有关，与短轴无关。

4" 行星运动的机械能的推导

行星围绕太阳做半径为r的匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力可得

Ek＝12mv2＝GMm2r，（10）

根据前文提及的引力势能表达式（4）可知，行星的机械能为

E＝GMm2r－GMmr＝－GMm2r；（11）

（11）式是匀速圆周运动下的结论。对于椭圆运动，为了方便起见，还是选择近日点和远日点进行计算。设r1＝a－c，r2＝a＋c，将 （3）（5）两式联立可表示为

v1r1＝v2r2，（12）

E＝12mv21－GMmr1＝12mv22－GMmr2；（13）

根据（13）式有

E＋GMmr1＝12mv21，

E＋GMmr2＝12mv22；

两式相除有

E＋GMmr1E＋GMmr2＝v21v22，（14）

根据（12）式有

v21v22＝r22r21，（15）

将（14）（15）式联立，有

E＋GMmr1E＋GMmr2＝r22r21，

求解可得机械能表达式

E＝－GMmr1＋r2，

根据r1＝a－c和 r2＝a＋c，可得

E＝－GMm2a。（16）

和（11）式对比，根据椭圆轨道机械能公式计算匀速圆周运动的机械能只需将半长轴a换为半径r即可。同时可知，对于确定质量的行星而言，其在椭圆轨道绕日运动的机械能只和轨道长轴有关。

5" 结语

本文通过推导得出：

（1）行星与太阳连线在单位时间内扫过的面积ΔsΔt=12GMb2a，和椭圆轨道的长轴和短轴均有关，如果为圆周轨道那么只和半径有关。

（2）无论是圆轨道还是椭圆轨道均有a3T2＝GM4π2，行星在椭圆轨道绕日运动的周期T＝2πa3GM，只和轨道长轴有关，与短轴无关。

（3）对于确定质量的行星而言，其在椭圆轨道绕日运动的机械能E＝－GMm2a，只和轨道长轴有关。

本文的推导过程相对基础，适合高中学有余力的同学和参加物理竞赛的同学学习使用，有利于加深同学们对行星绕日运动规律的认识。

参考文献

［1］陈世波，张力，戴祖诚.大学物理学［M］.北京：科学出版社，2013：74-75．