“反演变换”条件下的轨迹探求与应用
2024-07-08曹捍东
曹捍东
［摘 要］轨迹法是研究几何动点问题的一种重要方法。《“定角定积”寻轨迹 变换构图显思路》［1］一文中对“定角定积”类问题进行了探究，但对“定角”等于0度时（即反演变换）的情形没能展开探究。文章对“反演变换”条件下的轨迹进行探求，在构造相似三角形时有独特的“构图”方式，是《“定角定积”寻轨迹 变换构图显思路》一文的补充与拓展。
［关键词］反演变换；轨迹；定角定积
［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）14-0024-03
不在一定结构中“生长”的碎片化知识，难以“组装”成解决压轴问题的“强大武器”。解题教学中融入结构化思想很重要。能表达知识整体结构、体现一致性、表现生长性、寻找通性通法的解题教学往往能取得事半功倍的教学效果。2023年深圳中考数学试卷首次出现“定角定积”类问题，引发了教师的思考。本文在解题延伸部分涉及的“反演变换”条件下的轨迹探求，虽可归为“定角定积”轨迹探求的特例，但其探究方法具有独特性。
一、试题呈现
［2023年深圳中考数学第22题第（3）问］如图1，在平行四边形ABCD中，[∠A=60°]，[AB=6]，[AD=5]，点E在[CD]上，且[CE=2]，点F为[BC]上一点，连接[EF]，过[E]作[EG⊥EF]交平行四边形ABCD的边于点G，若[EF·EG=73]时，请直接写出AG的长。
二、试题分析
该题重点考查特殊四边形的性质、相似三角形、解直角三角形等主干知识，综合性强，有较大难度，对学生几何构造能力、分析与解决问题的能力等有较高的要求。该题的解法虽然比较多，但一般都需进行较为复杂的构图。那么有没有能体现通性通法，让学生“拨云见日”的方法呢？
通过分析不难发现，主、从动点F、G始终受两个条件约束：（1）线段[GE]和[EF]的夹角是[90°]；（2）[EF·EG=73]，为定值。
那么，能否先去探求从动点G的轨迹呢？笔者的这个想法和国内学者郭源源在《“定角定积”寻轨迹 变换构图显思路》一文中的“定角定积寻轨迹”思路不谋而合，该问题在文中被称为“定角定积”模型。
思路：先探求从动点G的轨迹，再探求这个轨迹与平行四边形各边的交点情况。
三、教学功能分析
该题宜在九年级总复习中进行教学，适合以专题的形式为学有余力的学生开展教学，比如可开展“动点轨迹是圆”专题教学、“‘定角定积寻轨迹”专题教学等。需要说明的是：（1）虽然初中学段并没有“轨迹”之说，但“交轨法”的应用却早有渗透；（2）虽然“轨迹”一词常被“动点路径”所取代，但其实质并未改变。因此，开展上述专题教学很有必要。开展专题教学对拓宽学生解题视野、使学生掌握通性通法很有帮助。
四、教学实施
（一）引例
如图2，线段EP平行于直线l，EH垂直于直线l于点H，点F是直线l上的一动点，点G是平面内一动点，[EG⊥EF] （G、E、F按顺时针排列），且[EG·EF=PE·EH]，问：点G的轨迹是什么？
解：点G的轨迹是以PE为直径的圆。理由：连接GP，则易得[∠GEP=∠HEF]，又[EG·EF=PE·EH]，∴[EGEH=PEEF]，∴[△GEP ]∽[△HEF]，∴[∠EGP=∠EHF=90°]，∴点[G]的轨迹是以[PE]为直径的圆。
（二）思路分析
引例与上述问题有什么联系呢？
首先，要发现点E到CB的距离[EH=3]；其次，构造一条平行于CB的线段EP，且使得[EP=7]（如图3），则[EP·EH=73=GE·EF]，至此两个问题就关联起来了。
如图4，由引例知，若动点F是在直线CB上运动，则满足[GE·EF=PE·EH]的动点G的轨迹是以EP为直径的圆O。
如图5，因为动点F是在边CB上运动，所以其轨迹只是⊙O的一段弧。当点F分别与点C、B重合时，利用作图可以判断点G的轨迹是[MPN]。
现又要求，点G要在?ABCD的边上，因此点G 应是[MPN]与?ABCD的边之交点，如图6所示（其中[G0E]因与CD边叠合，与边之交点意义不合，故[G0]应舍去）。
以上，就是交轨法的具体运用。不难发现，问题可以转化为：（1）在线段AD上，是否存在一点G，使[∠PGE=90°]？（2）在线段AB上，是否存在一点G，使[∠PGE=90°]？
这两个问题是大家熟知的存在性问题。这种转化，既体现了“以生考熟”的命题意图，又把貌似不同的两种情况中的一致性体现了出来。
（三）具体求解
第1种情况：当点G在AD边上时，如图7所示，易得四边形APEQ是矩形，且[QE=AP=23]，设[AG=x]，则[GQ=7-x]，利用[△GEQ ]∽[△PGA]，可得[x23=237-x]（或利用勾股定理列方程），解得[x1=3]，[x2=4]，所以[AG=3]或4。
第2种情况：当点G在AB边上时，如图8，设[AG=x]，则[GN=4-x]，又[OG=OE=72]，则[ON=32]，[MN=34]，[OM=343]，于是[GM=4-x+34=194-x]。由勾股定理得[GM=722-3342=134]，所以[194-x=134]，所以[x=32]，即[AG=32]。
由前面的分析可知，不存在点G在CD边或CB边上的情形。
综上，[AG=3]或4或[32] 。
（四）解题反思
以上我们对一个包含有特殊的“定角定积”的问题进行了研究，其中使用了一个关键性的方法——轨迹法。具体地讲，我们在对“点”进行“搜索”时，使用了如下方法：先放宽或抛开其中的一些约束条件，去研究动点的轨迹，再依次增加条件以“缩小范围”，最后“交轨定点”。这种确定点的位置的方法在作图问题中也常用到，具有通性通法的特征。
上例还表明，当从动点轨迹的角度看待该问题时，可以更好地看清问题的实质，看到一致性，从而更容易找到通性通法，并能借此打开思路，化生为熟，让问题获得简明的解法。
（五）拓展延伸
下面我们把上述“定角定积”问题中的定角改为0度，而“定积”条件保持不变，看会发生怎样的情形？（注：从变换角度看，这种变换叫作反演变换[2]）
1.主动点在圆上运动
［例1］如图9，[A（10，0）]，B（0，2）是坐标平面内的两点，⊙A的半径为5，点P是⊙A上的一动点，点Q是线段OP上的一点，且满足[OP·OQ=20]，则线段BQ长度的最小值为 。
思路一：“定积”变“定比”，“反演”变“相似”。
解法一：（1）如图10，作射线OP交⊙A于点C，设⊙A交[x]轴于点E、F，连接PE、AC、CF，则易得[△OPE] ∽[△OFC]，则[OP·OC=OE·OF=5×15=75]，又[OP·OQ=20]，所以[OCOQ=7520=154]。
评注：从几何变换的角度看，O、Q、C三点共线，且[OCOQ] 为定值，这说明存在一个以O为中心的位似变换。因此，当点[C]在⊙A上运动时，点Q必在另一个圆上运动。
（2）确定圆心位置及半径
在OA上取点D，使[ODOA=OQOC=415]（即取[OD=83] ），则△OQD ∽△OCA，所以[QDCA=415]。
又[AC=5]，所以[QD=43]，即点Q在以[D83，0] 为圆心，[43]为半径的⊙D上运动。
（3）化为熟悉的问题（点圆最值）
显然，BD=[22+832=103]，又[BQ+QD≥BD]（等号成立时，B、Q、D三点共线），所以[BQ≥BD-QD=103-43=2]，所以BQ的最小值为2。
思路二：从特殊位置入手，形成初步猜测；依等积式构造相似求解。
解法二：如图11，设⊙A与[x]轴的两个交点为[C（5，0）]，[D（15，0）]。
图11
当点P与点C重合时，设点Q位于点E处，则由[OP·OQ=20]（此时[OP=OC=5]），所以[OQ=4]，即[E（4，0）]。
当点P与点D重合时，设点Q位于点F处，同理，得[F43，0]。
下证：[∠FQE=90°]。由[OP·OQ=OC·OE]，易得△OQE ∽△OCP，所以[∠OQE=∠OCP]，即[∠1+∠3=∠2+∠4]，同理△OQF ∽△ODP，所以[∠1=∠2]，所以[∠3=∠4=90°]，点Q在以EF为直径的圆上运动。
下同解法一。
2.主动点在直线上运动
［例2］如图12，点A是直线[l]外一定点，点P是直线[l]上的一动点，点Q是射线AP上的一点，且满足[AP·AQ=k] （[k>0]且为常数），试探求点Q的轨迹。
思路：构造等积式，得相似。
解：如图13，过点A作[AH⊥l]，垂足为H，则AH为定长，设[AH=a]。在射线AH上取点C，使[AC=ka]，则[AH·AC=k=AP·AQ]，易得△AHP ∽△AQC， 所以[∠AQC=∠AHP=90°]，所以点Q在以AC为直径的⊙O上运动（不包括点A）。
五、教学启示
随着新课标的提出，“坚持素养立意，凸显育人导向”“适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例”等新要求在各地中考试卷中落地生根。这让“机械刷题”的传统做法越来越没有“市场”。“通性通法”教学，能让学生更好地建构具有连续性、关联性、一致性的知识整体结构；“拓展与延伸”教学则体现了知识在整体结构中的生长性。教师需领悟的是：不在一定结构中“生长”的碎片化知识，难以“组装”成解决压轴问题的“强大武器”。
［ 参 考 文 献 ］
[1] 郭源源.“定角定积”寻轨迹 变换构图显思路[J].中学数学教学参考，2023（11）：40-42.
[2] 梁绍鸿.初等数学复习及研究：平面几何［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.
（责任编辑 黄春香）
［基金项目］本文系广东省教育研究院中小学数学教学研究专项课题“‘双减背景下 AI赋能中学数学课堂教学有效性的实践研究”（立项编号：GDJY-2022-M-b60）研究成果。
