一类分数阶随机微分方程的均方渐近概周期解

姚慧丽 刘梦然 王晶囡

摘 要：关于分数阶随机微分方程解的性质研究是近几年数学界的热门方向之一。针对Hilbert空间上一类线性分数阶随机微分方程，研究其均方渐近概周期温和解的存在性和唯一性，然后将这类线性分数阶随机微分方程的结论推广到对应的半线性分数阶随机微分方程中，利用Banach不动点定理讨论这类半线性分数阶随机微分方程均方渐近概周期温和解的存在唯一性，再利用Schauder不动点定理讨论这类方程在非Lipschitz条件下均方渐近概周期温和解的存在性。

关键词：分数阶随机微分方程；均方渐近概周期解；Banach不动点定理；Schauder不动点定理

DOI：10.15938/j.jhust.2024.01.017

中图分类号： O1751  文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2024）01-0150-09

Square-Mean Asymptotically Almost Periodic Solutions for a Class of Fractional Stochastic Differential Equation

YAO Huili， LIU Mengran， WANG Jingnan

（College of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China）

Abstract：The study of the properties for fractional stochastic differential equation is one of the hot directions in the field of mathematics over the years For a class of linear fractional stochastic differential equation on Hilbert space， the existence and uniqueness of its square-mean asymptotically almost periodic mild solutions are studied， and then the conclusions of this kind of linear fractional stochastic differential equation are extended to corresponding semi-linear fractional stochastic differential equation The existence and uniqueness of square-mean asymptotically almost periodic mild solutions for this kind of semi-linear fractional stochastic differential equation are discussed by Banach fixed point theorem， and then discuss the existence of square-mean asymptotically almost periodic mild solutions by using Schauder fixed point theorem under non-Lipschitz conditions

Keywords：fractional stochastic differential equation; square-mean asymptotically almost periodic solutions; Banach fixed point theorem; Schauder fixed point theorem

0 引 言

概周期函数理论是由Bohr H在1925-1926年提出并建立的［1-2］，全体概周期函数构成的空间是周期函数的完备化空间，因此概周期函数的有关理论被广泛应用［3-7］。1941年Fréchet M在概周期函数的基础上提出了渐近概周期函数的概念［8］，1949年Eberlein W F给出了弱概周期函数的有关概念［9］，1992年Zhang C Y教授给出了伪概周期函数的有关理论［10］。随机微分方程是研究现实中随机过程而建立的一类方程，随机过程的概周期函数理论最早是由Slutsky E在1938年建立的［11］，2007年Bezandry P H和Diagana T提出了均方概周期函数的概念，并将其理论应用到随机微分方程中［12］，继而曹俊飞等在2011年给出了均方渐近概周期函数的有关概念［13］。近年来，有关分数阶（随机）微分方程解的问题吸引了越来越多学者的关注，分数阶导数有三种不同的定义，分别为Riemann-Liouville定义、级数定义（Grunwald-Letnikov定义）以及Caputo定义［14］，2017年Singh V和Pandey D N研究了一类脉冲型分数阶随机微分方程的加权伪概周期解的存在唯一性［15］，2020年，Ma X和Shu X B等研究了一类脉冲中立型分数阶随机微分方程概周期解的存在性［16］，2021年Sun X K和He P对一类分数阶随机中立型泛函微分方程的p-期望概周期解进行了探讨［17］。相比之下，研究分数阶随机微分方程均方渐近概周期温和解存在唯一性的文献较少，因此研究这项内容将是一项有意义的工作。

本文将对一类线性分数阶随机微分方程

RLDαtx（t）=Ax（t）+f（t）+γ（t）dW（t）dt［RLDα-1tx（t）］t=0=x0（1）

均方渐近概周期温和解的存在唯一性进行讨论。

另外，将线性分数阶随机微分方程的部分结论推广到对应的半线性分数阶随机微分方程上，研究一类半线性分数阶随机微分方程

RLDαtx（t）=Ax（t）+f（t，B1x（a1（t）））+ γ（t，B2x（a2（t）））dW（t）dt［RLDα-1tx（t）］t=0=x0（2）

均方渐近概周期温和解的存在唯一性。

其中RLDαtx（t）是对x（t）的Riemann-Liouvilleα阶导数，t∈R+，0<α<1。H是一个可分的Hilbert空间，A∶D（A）L2（P，H）→L2（P，H）是一个稠密的闭扇形线性算子，Bi是L2（P，H）→L2（P，H）的有界线性算子，设w=maxi=1，2{||Bi||L（H）}。（W（t））t∈R+是定义在过滤概率空间（Ω，F，Ft，P）的双边一维标准的布朗运动，Ft=σ{w（u）－w（v）;u，v≤t}是由布朗运动（W（t））t∈R+生成的自然过滤。f，γ，a1，a2是满足之后一些条件的连续函数。

1 预备知识

本文（Ω，F，P）表示完备的概率空间，（H，‖·‖H，〈·，·〉H）和（K，‖·‖K，〈·，·〉K）是两个可分的Hilbert空间，L2（P，H）是使E‖x‖2H=∫Ω‖x‖2dP<∞成立的所有H值随机变量x构成的空间，对于x∈L2（P，H），有‖x‖2=（∫Ω‖x‖2dP）1/2，且L2（P，H）以‖·‖2为范数构成Hilbert空间。定义L（K，H）是K到H全体有界线性算子构成的空间，它以‖·‖L（K，H）为范数，当K=H时，L（K，H）由L（H）来表示。

定义1［17］ 设一个稠密的闭线性算子A∶D（A）L2（P，H）→L2（P，H）是扇形的，是指满足以下条件：存在常数ζ∈R，θ∈（0，π2），以及M>0，有

1）Sθ，ζ={λ∈C∶λ≠ζ，|arg（λ－ζ）|>θ}ρ（A）；

2）对每个λ∈Sθ，ζ，‖R（λ，A）‖L（H）≤M|λ－ζ|；

其中ρ（A）表示A的预解子集，R（λ，A）表示A的预解算子。

定义2［17］ 函数f∈L1（［a，b］，R）的α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

aD－αtf（t）=1Γ（α）∫ta（t－s）α－1f（s）ds

其中α>0，Γ是gamma函数，a，b可以取－∞和+∞。

定义3［18］ 函数f∈Cn－1（［a，b］，R）且f（n）∈L1（［a，b］，R）的α阶Riemann-Liouville分数阶导数（n－1<α

RLaDαtf（t）=1Γ（n－α）dndtn∫taf（s）（t－s）α+1－nds

定义4［19］ 设f∶R→L2（P，H）是一个随机过程，如果存在M>0，使得E‖f（t）‖2H≤M，那么称f是随机有界的。

定义5［19］ 设f∶R→L2（P，H）是一个随机过程，对一切s∈R，如果limt→sE‖f（t）－f（s）‖2H=0，那么称f是随机连续的。

定义6［20］ 随机过程f（t）∈SMC0（R，L2（P，H）），是指f（t）∈SBC（R，L2（P，H））且limt→∞E‖f（t）‖2H=0。SBC（R，L2（P，H））表示所有随机有界且连续过程的集合。

定义7［20］ R的一个子集P在R上是相对稠密的，是指存在一个数l>0，使得

［t，t+l］∩P≠ （t∈R）

定义8［20］ 设f∶R→L2（P，H）是一个连续的随机过程，若对于任意ε>0，存在一个l（ε）>0，在任意长度为l（ε）的区间内都至少包含一个τ，使得

E‖f（t+τ）－f（t）‖2H<ε（t∈R）

则称f是均方概周期的。均方概周期随机过程的全体构成的集合记为AP（R，L2（P，H））。

定义9［20］ 一个随机连续过程f∶R→L2（P，H）是均方渐近概周期的，是指它能被分解成f=g+φ，其中g∈AP（R，L2（P，H）），φ∈SMC0（R，L2（P，H））。所有均方渐近概周期随机过程构成的集合记为AAP（R，L2（P，H））。

易知AAP（R，L2（P，H））SBC（R，L2（P，H））。

结合定义6、7、8和9，得到均方渐近概周期函数的一个等价定义：设一个连续的随机过程f∶R→L2（P，H）是均方渐近概周期的，是指对于任意的ε>0，存在R的一个相对稠密子集Pε和有界子集Cε，使得

E‖f（t+τ）－f（t）‖2H<ε（τ∈Pε，t，t+τ∈R＼Cε）

引理1［20］ AAP（R，L2（P，H））在‖f‖∞=supt∈R‖f（t）‖2=supt∈R（E‖f（t）‖2H）1/2范数下构成Banach空间。

注1 若f∶R→L2（P，H）是均方渐近概周期的，则f在t∈R上一致连续。

定义10［20］ 设Z为L2（P，H）中任意紧子集，称随机过程f（t，x）∈SMC0（R×L2（P，H），L2（P，H）），是指f（t，x）∈SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））且一致地对x∈Z满足limt→∞E‖f（t，x）‖2H=0。SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））表示所有随机有界且连续过程构成的集合。

定义11［20］ 如果对于任意的ε>0和L2（P，H）的任意紧子集Z，存在一个l（ε，Z）>0，在任意长度为l（ε，Z）的区间内都至少包含一个τ，使得

E‖f（t+τ，x）－f（t，x）‖2H<ε （t∈R，x∈Z）

那么联合连续过程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）关于t∈R一致地对x∈Z是均方概周期的。均方概周期随机过程的全体构成的集合记为AP（R×L2（P，H），L2（P，H））。

定义12［20］ 一个联合连续过程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）关于t∈R一致x∈Z（Z是L2（P，H）的任意紧子集）对是均方渐近概周期的，如果它能被分解成f=g+φ，其中g∈AP（R×L2（P，H），L2（P，H）），φ∈SMC0（R×L2（P，H），L2（P，H））。所有均方渐近概周期随机过程构成的集合记为AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））。

易知AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））SBC（R×L2（P，H），L2（P，H））。

结合定义10、11和12，得到二元均方渐近概周期函数的一个等价定义：设一个联合连续过程f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）关于t∈R一致地对x∈Z（Z为L2（P，H）的任意紧子集）是均方渐近概周期的，是指对于任意的ε>0，存在R的一个相对稠密子集Pε和有界子集Cε，使得

E‖f（t+τ，x）－f（t，x）‖2H<ε（τ∈Pε，t，t+τ∈R＼Cε，x∈Z）

引理2［20］ AAP（R×L2（P，H），L2（P，H））在‖f‖∞=supt∈R‖f（t，x）‖2=supt∈R（E‖f（t，x）‖2H）1/2范数下构成Banach空间。

注2 若f∶R×L2（P，H）→L2（P，H）是均方渐近概周期的，则f在R×Z（Z是L2（P，H）的任意紧子集）上一致连续。

引理3 如果f∶R×L2（P，H）→L2（P，H），（t，x）→f（t，x），关于t∈R且一致对x∈Z（Z为L2（P，H）的任意紧子集）是均方渐近概周期的，那么对任意x（t）∈AAP（R，L2（P，H）），f（t，x（t））是均方渐近概周期的。

证明：由于f是均方渐近概周期的，根据均方渐近概周期函数的等价定义知，对于任意的ε>0，存在一个相对稠密子集P（1）ε和有界子集C（1）ε，使得

E‖f（t+τ1，x）－f（t，x）‖2H<ε（τ1∈P（1）ε，t，t+τ1∈R＼C（1）ε）

同理x也是均方渐近概周期的，于是存在一个相对稠密子集P（2）ε和有界子集C（2）ε，使得

E‖x（t+τ2）－x（t）‖2H<ε（τ2∈P（2）ε，t，t+τ2∈R＼C（2）ε）

又知f在R×Z上一致连续，对上述的ε>0，存在δ（ε）>0，当x′、x″∈Z以及E‖x′－x″‖2H<δ（ε）时，有E‖f（t，x′）－f（t，x″）‖2H<ε成立。于是对上述的ε和δ（ε），存在一个相对稠密子集Pε=P（1）ε∩P（2）ε和有界子集Cε=C（1）ε∪C（2）ε，当E‖x（t+τ）－x（t）‖2H<δ（ε），其中τ∈Pε，t、t+τ∈R＼Cε，有

E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t，x（t））||2H=E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t+τ，x（t））+f（t+τ，x（t））－f（t，x（t））||2H≤2E||f（t+τ，x（t+τ））－f（t+τ，x（t））||2H+2E||f（t+τ，x（t））－f（t，x（t））||2H<2ε+2ε=4ε故f（t，x（t））∈AAP（R，L2（P，H））

2 主要结果

2.1 线性分数阶随机微分方程

定义13 如果随机过程（x（t））t∈R+满足下列积分方程（3），那么（x（t））t∈R+称为线性分数阶随机微分方程（1）的温和解。

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s）ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s）dW（s）（3）

其中Sα（t）=tα－1Eα，α（Atα），0<α<1，Eα，β（z）是Mittag-Leffler函数，Eα，β（z）=∑∞k=0zkΓ（αk+β）。

为了主要结果的证明，给出以下假设：

（H1）对于Sα（t），如果A是关于某个M>0，0≤θ<π（1－α2）的ω<0型扇形算子，那么存在C>0，使得‖Sα（t）‖L（H）≤CM1+|ω|tα≤CM。

（H2）函数f∶R+→L2（P，H）和函数γ∶R+→L2（P，H）关于t∈R+是均方渐近概周期的。

定理1 如果假设（H1）、（H2）成立，那么线性分数阶随机微分方程（1）在R+上存在唯一的均方渐近概周期温和解。

证明：式（3）中x（t）是方程（1）的温和解，首先证明式（3）是均方渐近概周期的。由（H2）知f=g+φ，γ=η+β，其中g，η∈AP（R，L2（P，H））以及φ，β∈SMC0（R+，L2（P，H）），有

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s）ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s）dW（s）=

［∫t－∞Sα（t－s）g（s）ds+∫t－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）］+

［Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）φ（s）ds+

∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）－∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds－

∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）］=F（t）+Φ（t）

为了证明x（t）是均方渐近概周期的，需要证明F（t）∈AP（R，L2（P，H））以及Φ（t）∈SMC0（R+，L2（P，H）），以下证明将被分为两个步骤。

步骤1：已知g，η∈AP（R，L2（P，H）），因此对任意的ε>0，存在共同的l（ε）>0，在任意长度为

l（ε）的区间内都至少包含一个τ，使得E‖g（s+τ）－g（s）‖2H<ε，E‖η（s+τ）－η（s）‖2H<ε成立。对于∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds，作变量替换，令t－s=μ，得到∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=∫+∞0CM1+|ω|μαdμ=CM|ω|－1/απαsin（π/α），记积分∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

∫t－∞（11+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞11+|ω|（t－s）αds=I1CM，于是∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds也是收敛的，记积分∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

应用Holder不等式、It等距性质，注意到W是一个双边标准的布朗运动，令W～（σ）=W（σ+τ）－W（τ），则W～也是一个双边标准的一维布朗运动，且与W同分布，作σ=s－τ，并结合假设条件（H1），对上述的ε和τ，得到：

E‖F（t+τ）－F（t）‖2H=

E‖∫t+τ－∞Sα（t+τ－s）g（s）ds+∫t+τ－∞Sα（t+τ－

s）η（s）dW（s）－∫t－∞Sα（t－s）g（s）ds－

∫t－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫t－∞Sα（t－s）（g（s+τ）－g（s））ds‖2H+

2E‖∫t－∞Sα（t－s）（η（s+τ）－η（s））dW～（s）‖2H≤

2∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αE‖g（s+

τ）－g（s）‖2Hds+2∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s+τ）－

η（s）‖2Hds≤2I21ε+2I2ε

于是得

F（t）∈AP（R，L2（P，H））（4）

步骤2：根据假设（H1）知，得到：

limt→+∞E‖Sα（t）x0‖2H≤limt→+∞（CM1+|ω|tα）2E‖x0‖2H=0

因此有

Sα（t）x0∈SMC0（R+，L2（P，H））（5）

由假设（H2）知，φ∈SMC0（R+，L2（P，H）），因此对任意的ε>0，存在N1>0，当t>N1时，有E‖φ（t）‖2H<ε。由‖Sα（t）‖L（H）≤CM1+|ω|tα→0（t→+∞），存在N2>0，当t>N2时，‖Sα（t）‖L（H）≤ε。又因为φ（t）有界，设supt∈R+E‖φ（t）‖2H≤L1成立。另外∫tN1CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

应用假设条件（H1）、（H2）和Hlder不等式，对上述的ε>0，存在N=N1+N2>0，当t>N，得到：

E‖∫t0Sα（t－s）φ（s）ds‖2H≤

2E‖∫N10Sα（t－s）φ（s）ds‖2H+

2E‖∫tN1Sα（t－s）φ（s）ds‖2H≤

2∫N10CM1+|ω|（t－s）αds∫N10CM1+|ω|（t－s）αE‖φ（s）‖2Hds+

2∫tN1CM1+|ω|（t－s）αds∫tN1CM1+|ω|（t－s）αE‖φ（s）‖2Hds≤

2N21ε2L1+2I21ε

于是limt→+∞E‖∫t0Sα（t－s）φ（s）ds‖2H=0，可得

∫t0Sα（t－s）φ（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，H））（6）

以下证明∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））。由假设（H2）知，β∈SMC0（R+，L2（P，H）），因此对任意的ε>0，存在N3>0，当t>N3时，E‖β（t）‖2H<ε。因为β（t）有界，设supt∈R+E‖β（t）‖2H≤L2。另外∫tN3（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

结合‖Sα（t）‖L（H）分析过程，应用假设条件（H1）、（H2）和It等距性质，对上述的ε>0，存在T=N2+N3>0，当t>T时，有

E‖∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫N30Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H+

2E‖∫tN3Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H≤

2∫N30（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖β（s）‖2Hds+

2∫tN3（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖β（s）‖2Hds≤

2N3ε2L2+2I2ε

于是limt→+∞E‖∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）‖2H=0，得

∫t0Sα（t－s）β（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））（7）

现在证明∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，

H）），∫0－∞CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1，于是∫0－∞CM1+|ω|（t－s）αds是收敛的，根据收敛的定义，对任意ε>0，存在G1>0，当N4>G1时，有∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）αds<ε，又因为g（t）有界，可设supt∈RE‖g（t）‖2H≤L3成立，结合‖Sα（t）‖L（H）分析过程，对上述的ε>0，存在N2>0，当t>N2时，可得：

E‖∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds‖2H≤

2E‖∫－N4－∞Sα（t－s）g（s）ds‖2H+

2E‖∫0－N4Sα（t－s）g（s）ds‖2H≤

2∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）αds∫－N4－∞CM1+|ω|（t－s）α

E‖g（s）‖2Hds+

2∫0－N4CM1+|ω|（t－s）αds∫0－N4CM1+|ω|（t－s）α

E‖g（s）‖2Hds≤2ε2L3+2N24ε2L3

于是得

∫0－∞Sα（t－s）g（s）ds∈SMC0（R+，L2（P，H））（8）

最后证明∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H）），对于积分∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds，有∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds≤∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2，于是∫0－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds收敛，根据收敛的定义，对任意的ε>0，存在G2>0，当N5>G2时，有∫－N5－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<ε，另外存在N2>0，当t>N2时，有‖Sα（t）‖L（H）≤ε。又因为η（t）有界，设supt∈RE‖η（t）‖2H≤L4成立，那么应用假设条件（H1）、（H2）和It等距性质，对上述的ε>0，存在N2>0，当t>N2时，可以得到：

E‖∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2E‖∫－N5－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H+

2E‖∫0－N5Sα（t－s）η（s）dW（s）‖2H≤

2∫－N5－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s）‖2Hds+

2∫0－N5（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖η（s）‖2Hds≤

2εL4+2N5ε2L4

于是得

∫0－∞Sα（t－s）η（s）dW（s）∈SMC0（R+，L2（P，H））（9）

结合式（5）、（6）、（7）、（8）、（9）可得到Φ（t）∈SMC0（R+，L2（P，H）），再结合文中式（4），得F（t）+Φ（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），由温和解的定义知x（t）是线性分数阶随机微分方程（1）的均方渐近概周期温和解。

再证唯一性，假设y（t）是方程（1）另一个均方渐近概周期温和解，令z（t）=x（t）－y（t），当t=0时，有z（0）=x（0）－y（0），满足RLDαtz（t）=Az（t），根据温和解定义及假设（H1）知，z（t）=Sα（t）z（0），有‖z（t）‖H≤CM1+|ω|tα‖z（0）‖H，当t→+∞时，z（t）≡0使上述不等式成立，于是有x（t）=y（t），证明了线性分数阶随机微分方程（1）存在唯一的均方渐近概周期温和解。

2.2 半线性分数阶随机微分方程

接下来，将线性分数阶随机微分方程的结论推广到对应的半线性分数阶随机微分方程上，类比方程（1）的温和解，方程（2）的温和解可以表示为

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）（10）

对于方程（2），假设以下条件成立：

（H3）函数f∶R+×L2（P，H）→L2（P，H）和函数γ∶R+×L2（P，H）→L2（P，H）关于t∈R+一致地对x∈Z（Z是L2（P，H）的任意紧子集）是均方渐近概周期的。

（H4）函数f和γ关于x∈Z（Z是L2（P，H）任意紧子集）一致地对t∈R+满足Lipschitz条件，存在正数Lf，Lγ，满足E‖f（t，x）－f（t，y）‖2H≤LfE‖x－y‖2H及E‖γ（t，x）－γ（t，y）‖2H≤LγE‖x－y‖2H。

（H5）函数a1（R+）=R+，a2（R+）=R+且a1∶R+→L2（P，H）和a2∶R+→L2（P，H）关于t∈R+是均方渐近概周期的。

（H6）设有界集KL2（P，H），函数f和γ在K上关于x一致对t∈R+一致连续。

作算子P∶x（t）→Px（t），令

Px（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）

首先利用Banach不动点定理在Lipschitz条件下证明方程（2）存在唯一的均方渐近概周期温和解。

定理2 如果（H1）、（H3）、（H4）、（H5）成立，当2w2（I21Lf+I2Lγ）<1时，那么半线性分数阶随机微分方程（2）在R+上存在唯一的均方渐近概周期温和解。

证明：先证f（t，B1x（a1（t）））与γ（t，B2x（a2（t）））是均方渐近概周期的。任取x（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），由x的一致连续性可知，对任意的ε>0，存在δ（ε）>0，当t1、t2∈R+，E‖t1－t2‖2H<δ（ε）时，使得E‖x（t1）－x（t2）‖2H<ε。

已知a1是均方渐近概周期的，于是存在一个相对稠密子集P′ε和有界子集C′ε，使得

E‖a1（t+τ）－a1（t）‖2H<ε

（τ∈P′ε，t，t+τ∈R+＼C′ε）

由假设（H5）知，对上述的δ（ε）、P′ε和C′ε，当E‖a1（t+τ）－a1（t）‖2H<δ（ε），τ∈P′ε，t、t+τ∈R+＼C′ε，有E‖x（a1（t+τ））－x（a1（t））‖2H<ε，故x（a1（t））∈AAP（R+，L2（P，H）），同理也可得x（a2（t））∈AAP（R+，L2（P，H））。

易知B1x（a1（t））与B2x（a2（t））也是均方渐近概周期的。根据引理3和假设（H3），f（t，B1x（a1（t）））与γ（t，B2x（a2（t）））是均方渐近概周期的，可得Px（t）是均方渐近概周期的，则算子P是定义在AAP（R+，L2（P，H））到AAP（R+，L2（P，H））的自映射。

下面证明P是一个压缩映射。事实上，对任意的x（t），y（t）∈AAP（R+，L2（P，H）），得到：

E‖Px（t）－Py（t）‖2H≤

2E‖∫t0Sα（t－s）［f（s，B1x（a1（s）））－

f（s，B1y（a1（s）））］ds‖2H+2E‖∫t0Sα（t－

s）［γ（s，B2x（a2（s）））－γ（s，B2y（a2（s）））］dW（s）‖2H

应用假设（H1）、（H4）和Hlder不等式，其中

∫t0CM1+|ω|（t－s）αds≤∫t－∞CM1+|ω|（t－s）αds=I1。

2E‖∫t0Sα（t－s）［f（s，B1x（a1（s）））－f（s，B1y（a1（s）））］

ds‖2H≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）α×

E‖f（s，B1x（a1（s）））－f（s，B1y（a1（s）））‖2Hds≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）αLf×

E‖B1x（a1（s））－B1y（a1（s））‖2Hds≤

2w2LfI21E‖x（a1（s））－y（a1（s））‖2H≤

2w2LfI21supt∈R+E‖x（t）－y（t）‖2H

应用假设（H1）、（H4）和It等距性质，其中

∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2ds<∫t－∞（CM1+|ω|（t－s）α）2ds=I2。

2E‖∫t0Sα（t－s）［γ（s，B2x（a2（s）））－γ（s，B2y（a2（s）））］

dW（s）‖2H≤2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2x（a2（s）））－

γ（s，B2y（a2（s）））‖2Hds≤2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2Lγ

E‖B2x（a2（s））－B2y（a2（s））‖2Hds≤

2w2I2LγE‖x（a2（s））－y（a2（s））‖2H≤

2w2I2Lγsupt∈R+E‖x（t）－y（t）‖2H

令L0=2w2（LfI21+I2Lγ），因此有‖Px（t）－Py（t）‖22≤L0supt∈R+‖x（t）－y（t）‖22，supt∈R+‖x（t）－y（t）‖22≤（supt∈R+‖x（t）－y（t）‖2）2，可得‖Px（t）－Py（t）‖2≤L0supt∈R+‖x（t）－y（t）‖2，从而得‖Px（t）－Py（t）‖∞≤L0‖x（t）－y（t）‖∞。由L0<1，知L0<1，因此P是一个压缩映射，根据Banach不动点理，可知存在唯一的不动点x，使得Px=x。即

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a1（s）））dW（s）

是半线性分数阶随机微分方程（2）的唯一均方渐近概周期温和解。

尽管Banach不动点证明了方程（2）均方渐近概周期温和解的唯一性，但是其中的Lipschitz条件和2w2（I21Lf+I2Lγ）<1的条件较难实现，因此下面结合Schauder不动点定理［21］，在非Lipschitz条件下讨论方程（2）均方渐近概周期温和解的存在性。

定理3 假设（H1）、（H3）、（H5）、（H6）成立，则半线性分数阶随机微分方程（2）在R+上（至少）存在一个均方渐近概周期温和解。

证明：根据引理3和假设（H3）、（H5）知，f（t，B1x（a1（t）））与γ（t，B2x（a2（t）））是均方渐近概周期的，可知Px（t）是均方渐近概周期的，则算子P是定义在AAP（R+，L2（P，H））到AAP（R+，L2（P，H））的自映射。

先证P是连续的，即（Px）（t）在AAP（R+，L2（P，H））上关于x是连续的。

设序列{xn}AAP（R+，L2（P，H））在R+上是一致收敛的，得到‖xn－x‖∞→0（n→∞），x∈AAP（R+，L2（P，H））且‖B1xn－B1x‖∞→0（n→∞），存在有界子集KAAP（R+，L2（P，H）），使得B1xn（t）、B1x（t）K。由（H6）知f是在K上是一致连续的，因此对任意的ε>0，存在δ（ε）>0，对任意x，y∈K，当E‖x－y‖2H<δ（ε）时，有E‖f（t，x）－f（t，y）‖2H<ε。对上述δ（ε），存在N′>0，当n>N′且E‖B1xn（a1（t））－B1x（a1（t））‖2H<δ（ε）时，有E‖f（t，B1xn（a1（t）））－f（t，B1x（a1（t）））‖2H<ε成立，对函数γ（s，B2x（a2（s）））的分析同理，可得

E‖（Pxn）（t）－（Px）（t）‖2H=

E‖∫t0Sα（t－s）f（s，B1xn（a1（s）））ds－

∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2xn（a2（s）））dW（s）－

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

2E‖∫t0Sα（t－s）（f（s，B1xn（a1（s）））－

f（s，B1x（a1（s））））ds‖2H+

2E‖∫t0Sα（t－s）（γ（s，B2xn（a2（s）））－

γ（s，B2x（a2（s））））dW（s）‖2H≤

2∫t0CM1+|ω|（t－s）αds∫t0CM1+|ω|（t－s）α×

E‖f（s，B1xn（a1（s）））ds－f（s，B1x（a1（s）））‖2Hds+

2∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2xn（a2（s）））－

γ（s，B2x（a2（s）））ds‖2Hds≤

2I21E‖f（s，B1xn（a1（s）））－f（s，B1x（a1（s）））‖2H+

2I2E‖γ（s，B2xn（a2（s）））－γ（s，B2x（a2（s）））‖2H≤

2I21ε+2I2ε

所以算子P是连续的。

接下来设supt∈R+f（t，B1x（a1（t）））=Mf以及supt∈R+γ（t，B2x（a2（t）））=Mγ，令Bξ={x∈AAP（R+，L2（P，H））∶‖x‖∞≤ξ}，其中ξ=3（CM）2E‖x0‖2H+3I21Mf+3I2Mγ<+∞，显然Bξ是AAP（R+，L2（P，H））上的有界闭凸集，为了证明有界集经算子P作用之后的像集是有界集，只需证明P（Bξ）Bξ，具体过程如下：

E||（Px）（t）||2H=

E‖Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3E‖Sα（t）x0‖2H+3E‖∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））

ds‖2H+3E‖∫t0Sα（t－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖x0‖2H+3∫t0CM1+|ω|（t－s）αds×

∫t0CM1+|ω|（t－s）αE‖f（s，B1x（a1（s）））‖2Hds+

3∫t0（CM1+|ω|（t－s）α）2E‖γ（s，B2x（a2（s）））‖2Hds≤

3（CM）2E‖x0‖2H+3I21Mf+3I2Mγ=ξ

故包含关系P（Bξ）Bξ成立，由此结果也可得知{Px∶x∈Bξ}是范数一致有界的。

根据Arzela-Ascoli定理［22］，现在还需证明{Px∶x∈Bξ}是等度连续的。对任意的t1、t2≥0，假设t1

E‖（Px）（t2）－（Px）（t1）‖2H=

E‖Sα（t2）x0+∫t20Sα（t2－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t20Sα（t2－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）－

Sα（t1）x0－∫t10Sα（t1－s）f（s，B1x（a1（s）））ds－

∫t10Sα（t1－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H

其中第一项为

3E‖Sα（t2）x0－Sα（t1）x0‖2H≤

3E‖tα－12Eα，α（Atα2）－tα－11Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H=

3t2α－22E‖Eα，α（Atα2）－（t1t2）α－1Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H≤

3t2α－22E‖Eα，α（Atα2）－Eα，α（Atα1）‖2HE‖x0‖2H≤

3t2α－22E‖AE′α，α（Atα2）‖2H（tα2－tα1）2E‖x0‖2H

第二项分析如下：

3E‖∫t20Sα（t2－s）f（s，B1x（a1（s）））ds－

∫t10Sα（t1－s）f（s，B1x（a1（s）））ds‖2H=

3E‖∫t20Sα（s）f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））ds－

∫t10Sα（s）f（t1－s，B1x（a1（t1－s）））ds‖2H≤

6E‖∫t10Sα（s）［f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））－

f（t1－s，B1x（a1（t1－s）））］ds‖2H+

6E‖∫t2t1Sα（s）f（t2－s，B1x（a1（t2－s）））ds‖2H

最后一项为

3E‖∫t20Sα（t2－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）－

∫t10Sα（t1－s）γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）‖2H≤

3E‖∫t20Sα（s）γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））dW（s）－

∫t10Sα（s）γ（t1－s，B2x（a2（t1－s）））dW（s）‖2H≤

6E‖∫t10Sα（s）［γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））－

γ（t1－s，B2x（a2（t1－s）））］dW（s）‖2H+

6E‖∫t2t1Sα（s）γ（t2－s，B2x（a2（t2－s）））ds‖2H

当t2→t1，E‖（Px）（t2）－（Px）（t1）‖2H→0，于是{Px∶x∈Bξ}关于t右等度连续，同理可以证明{Px∶x∈Bξ}关于t左等度连续，得到{Px∶x∈Bξ}关于t等度连续。综上，P是一个全连续算子。

根据Schauder不动点定理，（至少）存在一个不动点x，使得Px=x。即

x（t）=Sα（t）x0+∫t0Sα（t－s）f（s，B1x（a1（s）））ds+

∫t0Sα（t－s））γ（s，B2x（a2（s）））dW（s）

是半线性分数阶随机微分方程（2）的均方渐近概周期温和解。

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（编辑：温泽宇）

基金项目： 国家自然科学基金（11801122）.

作者简介：刘梦然（1999—），女，硕士研究生；

王晶囡（1978—），女，博士，副教授.

通信作者：姚慧丽（1970—），女，博士，教授，E-mail：2963629242@qq.com.