平抛运动的两种题型

孙守媛

摘 要：平抛运动是生活中常见的抛体运动，也是考试中常考的考点.处理平抛运动的方法主要是正交分解，一般都是水平和竖直方向上的分解，但如果是在斜面上的抛体，可以选择沿斜面和垂直斜面方向上的分解.文章先研究平抛运动，并给出研究平抛运动的处理方法，最后给出其应用.

关键词：平抛运动；正交分解；水平方向；竖直方向；斜面

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0117-03

平抛是常见的抛体运动，在不考虑阻尼的情况下，它有简单的物理规律和结论.在有限的区域内，重力加速度可以视为不变，不必考虑距离变化带来的加速度变化，而且由于它是在有限区域发生的抛体运动，可将地面处理为平面.平抛运动按解题方法可分为两种题型，一种是水平和竖直方向上的分解，另一种是沿斜面和垂直斜面方向上的分解.

1 题型一：水平和竖直方向上的分解

运动是具有相对独立性的，即在正交坐标系中，y方向的受力不影响x方向的运动，反之亦然.所以我们往往把平抛运动按照水平和竖直两个方向分解.

如图1所示，可以写出水平和竖直方向的速度分别为vx=v0，vy=gt，则根据速度矢量三角形的特征，角度θ满足

tanθ=vyvx=gv0t

写出位移的两个分量，分别为x=v0t，y=12gt2.则其特征角度满足

tanα=yx=g2v0t图1 水平和竖直方向上的分解

注：（1）tanθ=2tanα，说明v的反向延长线必然平分水平位移x，这在匀强电场的类平抛运动中应用很多，这里不做展开.

（2）消去变量t，可以得到y关于x的函数关系为y（x）=g2v20x2，我们把此方程叫作物体的轨迹方程，它是一条抛物线.

例1[1] （2012年北约考试第11题）小球从台阶上以一定的初速度水平抛出，恰好落到第1级台阶的边缘，反弹后再次落下，经过t=0.3 s恰好落到第3级台阶的边缘，已知每级台阶的宽度和高度均为L=18 cm，且小球反弹时水平速度不变，竖直速度反向，大小变为原来的14.求：

（1）小球抛出时的高度h0和距离第1级台阶边缘的水平距离x0；

（2）小球是否会落到第5级台阶上？ 请说明理由.

解析 （1） 如图2所示，设小球平抛的初速度为v0，它平抛到第1级边缘（记为A点） 的速度分量分别为vx和vy，由题意可知碰撞后的速度分量为vx和vy′=14vy.

小球从A到第3级台阶边缘（记为B点）的过程中，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动.因此在水平方向上：2L=vxt，可得vx=2Lt=1.2 m/s；竖直方向上：-2L=vy′t-12gt2，可得vy′=0.3 m/s.

所以小球落到A点时速度分量为

vx=1.2 m/s，vy=4vy′=1.2 m/s

假设小球从起抛点到A点的过程中，所用时间为t1，则在竖直方向上：

t1=vyg=0.12 s，h0=12gt21=0.072 m.

在水平方向上：

x0=vxt1=0.144 m.

（2）如图3所示，小球碰到B点的竖直速度vBy满足

vBy=v′2y+2·g·2L=2.7 m/s

弹后的竖直速度为

vBy′=14vBy=2.74 m/s

假设它落到第5级台阶所在的水平面的时间为t2，由竖直方向的位移公式得：

-2L=vBy′t2-12gt22

由此解得t2=0.34 s.也就是说， 水平位移为

x2=vxt2>2L.

所以不会落在第5级台阶上.

例2 如图4所示，两个孩子爬上高为H的屋顶尝试水平扔出皮球，甲扔出皮球的轨迹是a， 落点为B；乙扔出皮球的轨迹是b，皮球与地面上A点发生完全弹性碰撞后又弹起最后也落在B点.结果发现它们刚好都经过某个竖直挡板的顶点，试求此挡板的高度h.

解析

假设甲、乙两次平抛的初速度分别为v1和v2，两次从O到B用时分别为t1和t2.则t2=3t1.由于它们水平位移相同，故有v1=3v2.

假设a从抛出到到达挡板顶端用时为t1′，由几何关系得：

v1t′1-v2·13t2=v213t2-v2t′1

联立解得t′1=12t1.

而H=12gt21，H-h=12gt′12

联立可得h=34H.

例3 如图5所示，一个小球以初速度为v0=

5 m/s从高为H=5 m的墙的上端水平射出， 在距离墙壁为d处有一长为l=4 m的竖直挡板与墙面平行，挡板的下端距离地面高度为h=1 m，距离O点右端s=1 m处有一个小坑A.假定小球与墙壁和挡板的碰撞都是完全弹性的，现在左右移动挡板设法调整d的大小，可以使小球恰好落到坑中，试求d的大小.

解析 首先根据镜像原理将小球在墙和板之间的轨迹拓展成如图6所示的完整抛物线.假设小球落地之前一共发生了N次碰撞，有两种可能：小球最后一次可能是撞墙后落到A点，也有可能是撞到挡板后落到A点.但不管如何，小球在空中运动的总时间总是t=2Hg=1 s， 它在水平方向的总路程是L=v0t=5 m.分两种情况来分析.

（1）如果小球最后一次是与墙发生碰撞后落到A点，则N必然为偶数，则有L-Nd=s，所以d=4N.

因为挡板的下部是空的，所以

12g（N-1）dv02≤l≤12g（N+1）dv02

也就是要求4N>20N+1，因此求得的结果是

N<420-4≈8.48

故N可以取得2，4，6，8， 即d有多解，它们分别是2 m，1 m，23 m，12 m.

（2）如果小球最后一次是与挡板发生碰撞后落到A点，则N必然为奇数，则有

L-Nd=d-s

所以d=6N+1.

因为挡板的下部是空的，所以

12gNdv02≤l≤12g（N+2）dv02

也就是要求6N+1>20N，因此求得的结果是

N≤206-20≈2.92

所以N只能取得1，即d有单解，是3 m.

综上所述，d的取值可能是3 m，2 m，1 m，23m，12m.

2 题型二：沿斜面和垂直斜面方向上的分解

如果平抛运动发生在斜面，那么沿水平、竖直方向分解，会比较麻烦，这时可以考虑沿斜面和垂直斜面方向上的分解，详细分析过程请参考例4.

例4 如图7所示，足够长的斜面倾角为θ，从某处以速度v0水平抛出一个小球，它最终会落到斜面上.现在请计算小球与斜面相距最远的距离H.

解析 如图8所示，沿斜面方向和垂直斜面方向建立直角坐标系，将v0分解为v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ.

将g分解为gx=gsinθ，gy=gcosθ

所以小球在x方向做匀加速直线运动，在y方向做匀减速直线运动.

t时刻，y方向的速度为

vy=v0y-gyt=v0sinθ-gcosθ·t

y方向的位移为

y=v0yt-12gyt2=v0sinθ·t-12gcosθ·t2

图8中A点的运动学特点是vy=0，所以可求得时间为t=v0gtanθ，将其代人y方向的位移公式，可得H=v20sin2θ2gcosθ.

3 结束语

平抛运动是个重要的物理模型，作为一线教师，要重视对物理模型的分析，同时要学会利用正交分解来解决平抛运动问题.根据不同的题型选择恰当的正交分解方式是解决平抛运动的关键.

参考文献：［1］

郭保忠，王春旺.“运动和力”自主招生典型题目剖析[J].物理教师，2013，34（12）：59-60.

［责任编辑：李 璟］