聚焦计数原理的常见题型

徐春生

题型一、组数问题

例1 用0，1，2，3，4，5可以组成_____个无重复数字且比2 000大的四位偶数。

解析：完成这件事可分为三类。

①第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：

第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法;

第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字外，还有4个数字可以选择，有4种选法;

第三步，选取十位上的数字，有3 种选法。

由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3=48。

②第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：

第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法;

第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法;

第三步，选取十位上的数字，有3 种选法。

由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3=36。

③第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类，有36个数。

对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000 大的四位偶数有48+36+36=120（个）。

点评：解此类问题的步骤：（1）弄清完成这件事需要做什么;（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类;（3）弄清分步、分类的标准;（4）利用两个计数原理求解。

题型二、涂色问题

例2 如图1 所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并且同一条棱上的两个端点异色，如果只有5 种颜色可供使用，那么不同染色方法的种数为_____。

解析：（方法一）按所用颜色种数分类。

第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法;

第二类，只用4种颜色，则必须某两个顶点同色（A 与C，或Β 与D），共有2×A45种不同的方法;

第三类，只用3种颜色，则A 与C，Β 与D 必定同色，共有A35种不同的方法。

由分类加法计数原理得，不同的染色方法种数为A55+2×A45+A35=420。

（方法二）以S，A，B，C，D 顺序分步染色。第一步，S 点染色，有5种方法。

第二步，A 点染色，与S 在同一条棱上，有4种方法。

第三步，Β 点染色，与S，A 分别在同一条棱上，有3种方法。

第四步，C 点染色，也有3种方法，但考虑到D 点与S，A，C 相邻，需要针对A 与C是否同色进行分类：当A 与C 同色时，D 点有3种染色方法;当A 与C 不同色时，因为C 与S，Β 也不同色，所以C 点有2种染色方法，D 点有2种染色方法。

由分步乘法、分类加法计数原理得，不同的染色方法共有5×4×3×（1×3+2×2）=420（种）。

点评：涂色问题常用的两种方法：（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析;（2）按颜色的不同，以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析。

题型三、种植问题

例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有种不同的种植方法。

解析：（方法一，直接法） 若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2=6（种）不同的种植方法。

同 理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2=6（种）不同的种植方法。

故不同的种植方法共有6×3=18（种）。

（方法二，间接法） 从4种蔬菜中选出3种，种在三块土地上，有4×3×2=24（种）方法，其中不种黄瓜有3×2×1=6（种）方法。

故共有24-6=18（种）不同的种植方法。

点评：种植问题常用的两种方法：（1）按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理求解;（2）按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理求解。

题型四、住店问题

例4 5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所高校，则不同报名方法的种数是（ ）。

A.35 B.53 C.A23 D.C35

解析：每名应届毕业生只能报1所高校，每所高校可由多名应届毕业生报考，所以“应届毕业生”相当于“客”，“高校”相当于“房间”，5人住3个房间，共有35 种不同的住法。故选A。

点评：此类问题用“住店法”求解，解题时需要确定所给的两类元素，哪一类是“客”（只能有一个选择的元素为客），哪一类是“房间”（可以容纳多个元素的为房间）。

题型五、几何图形问题

例5 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）。

A.48 B.18 C.24 D.36

解析：在正方体中，每一个表面有4条棱与之垂直，6个表面，共构成24个“正交线面对”;而正方体的6个对角面中，每个对角面有2条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有24+12=36（个）“正交线面对”。选D。

点评：求解几何图形问题，分析几何图形的结构特点，厘清事件由哪些几何元素构成，满足什么样的几何特征才能完成一个事件。

题型六、选取问题

例6 中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种。现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学对选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）。

A.360种 B.50种

C.60种 D.90种

解析：若甲同学选择牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，故不同的选法有1×2×10=20（种）;

若甲同学选择马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，故不同的选法有1×3×10=30（种）。

所以共有20+30=50（种）不同的选法，选B。

点评：当选取问题涉及对象数目很大时，一般有以下两种方法。

（1）直接法，直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进行;若按对象特征抽取，则按分类进行。

（2）间接法，去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。

（责任编辑 徐利杰）