涂色问题的解题技巧

张娴 韩文美

排列组合中有一类常见问题———涂色问题，此类问题基于两个计数原理与排列组合知识，关注图形的结构特征，解决方法技巧性强且灵活多变，有利于培养同学们的创新思维能力、分析问题与观察问题以及解决问题的能力，已成为数学命题中比较常见的一类基本题型，备受各方关注。

1.直线型涂色问题

例1 （2022—2023学年江苏省常州一中高二下学期段考数学试卷）现有6种不同的颜色，给图1中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用4种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_____种。

分析：根据题设条件，选出的颜色可以是2种，3种或者4种，依次通过直线型的图形结构特征求出方法数，通过分类法求和，即可得以分析与求解。

解：由题意选出的颜色可以是2种，3种或者4种，规定左边起为第一个空，不同情况如下。

当 选出2种颜色时，第一个空有2种选择，第一个空颜色确定后，其余空颜色就确定了，共有C26×2=30（种）方法。

当选出3种颜色时，第一个空有3种选择，第二个空有2种选择，第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况，第四个空和第五个空都各有2种选择，但要去掉整体只用了2 种颜色的情况，共有C3 6C1 3C12·（C1 2C12+C1 2C12）-2C3 6C23=840（种）方法。

当选出4种颜色时，必有2种颜色相同，可采用插空法，将这2种相同颜色去插入另外3种颜色形成的空，共有C4 6C1 4A3 3C24=2 160（种）方法。

综上分析，不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030（种）。

点评：直线型涂色问题往往从第一个位置入手，逐一分析，在前一个已涂色的条件下涂下一个位置，注意对不同位置的分析加以合理分类讨论与分步处理，进而确定直线型涂色问题的种数。

2.区域型涂色问题

例2 （2022—2023学年湖北省武汉市高二下学期期中数学试卷）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶。图2是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形。若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有_____种。

分析：根据题设条件，先对七巧板中的不同区域加以合理标记，并通过画图分析其中四板块A，B，C，D 必涂上不同颜色，再根据分类、分步计数原理计算剩下的部分即可得以分析与求解。

解：由题意知，对七巧板中的不同区域加以合理标记，如图3所示。

由于一共4种颜色，板块A 需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色，且板块B，C，D 两两有公共边不能同色，故板块A，B，C，D 必定涂不同的颜色。

①当板块E 与板块C 同色时，则板块F，G 与板块B，D 或板块D ，B 分别同色，共有2种情况。

②当板块E 与板块B 同色时，则板块F只能与D 同色，板块G 只能与C 同色，共1种情况。

又板块A，B，C，D 颜色可排列，故共（2+1）×A44=72（种）方案。

点评：区域型涂色问题，应该给区域依次标上相应的序号，以便分析问题。在给各区域涂色时，要注意不同的涂色顺序，其解题就有繁简之分。在实际解答时，应按不同的涂色顺序多多尝试，看哪一种最简单。

3.立体型涂色问题

例3 （2024 届上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，如图4 所示，现给图中的正方体展开图的6个区域涂色，有红、橙、黄、绿4种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有_____种不同的涂色方法。

分析：根据题设条件，由正方体展开图的平面图形回归正方体的立体图形，先从涂A入手，再分C 与F 同色、C 与F 不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理分析与运算可得答案。

解：如图5 所示，还原回正方体后，D 、B 为正方体的前后两个对面，A、E 为正方体的左右两个对面，F、C 为正方体的上下两个对面，先涂A有4种涂法。

①当C 与F 同色时，涂C 有3种涂法，若D 与B 同色，则有2种涂法，最后涂E 有2种涂法;若D 与B 不同色，则有A22种涂法，最后涂E 有1种涂法。

则有4×3×（2×2+A22×1）=72（种）涂法。

②当C 与F 不同色时，涂C 有3 种涂法，涂F 有2种涂法，此时D 与B 必同色且只有1种涂法，E 也只有1种涂法。

则有4×3×2×1×1=24（种）涂法。

综上分析可得，一共有72+24=96（种）不同的涂法。

点评：立体型涂色问题，往往要同时考虑平面几何的结构特征，又要考虑立体几何的结构特征，综合“二维”与“三维”中的涂色要求与限制条件，全面考查同学们的空间想象能力与逻辑推理能力。

4.环状型涂色问题

例4 （2024届浙江省名校联盟高三上学期9 月份月考数学试卷）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面。五行学说是华夏文明重要的组成部分。古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系。图6是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数为（ ）。

A.3 125 B.1 000

C.1 040 D.1 020

分析：根据题设条件，从数学文化场景中加以合理转化，抽象问题的本质与内涵，通过环状型涂色问题来转化，并加以分析，先根据不相邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序，再分步计数即可。

解：依题可知五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件而五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色。

故问题转化为图7中A，B，C，D ，E5个区域，有5种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5种颜色5个区域的环状涂色问题。

分为以下两类情况。

第一类，A，C，D3个区域涂3种不同的颜色。

第 一步涂A，C，D 区域，从5种不同的颜色中选3 种按顺序涂在不同的3 个区域上，则有A35种方法;

第二步涂B 区域，由于A，C 颜色不同，则有3种方法;

第三步涂E 区域，由于A，D 颜色不同，则有3种方法。

由分步计数原理知，共有3×3×A35=540（种）方法。

第二类，A，C，D3个区域涂2种不同的颜色。

C，D 不能涂同种颜色，则A，C 涂色相同，或A，D 涂色相同，两种情况方法数相同。

若A，C 涂色相同，第一步涂A，C，D 区域，A，C 可看成同一区域，且A，D 区域不同色，即涂2个区域不同色，从5种不同的颜色中选2种按顺序涂在不同的2个区域上，则有A25种方法;

第二步涂B 区域，由于A，C 颜色相同，则有4种方法;

第三步涂E 区域，由于A，D 颜色不同，则有3种方法。

由分步计数原理知，共有4×3×A25=240（种）方法。

若A，D 涂一色，与A，C 涂一色的方法数相同，则共有2×240=480（种）方法。

由分类计数原理可知，不同的涂色方法数为540+480=1 020。选D。

点评：求解环状型涂色问题，是基于直线型涂色问题加以分析与处理，同时要考虑最后一个位置与原来第一个位置之间的限制，这样才能形成一个闭环，这也是解决问题中比较容易出错的一个环节，要加以高度重视。

5.探究型涂色问题

例5 （2023年吉林省长春市高考数学质检试卷）将圆分成n（n≥2，且n∈N* ）个扇形，每个扇形用红、黄、蓝、橙四色之一涂色，要求相邻扇形不同色，设这n 个扇形的涂色方法为an 种，则an 与an-1 的递推关系是_____。

分析：根据题设条件，对n 个扇形依次加以编号，按n=2与n>2两种情况加以分类讨论an 的情况，由分步计数原理得到an 与an-1 之间的关系。

解：将圆分成n 个扇形时，将n 个扇形依次设为T1，T2，…，Tn 。

设这n 个扇形的涂色方法为an 种。

当n=2时，a2=4×3=12。

当n>2时，T1 有4种涂法，T2 有3种涂法，接着T3，T4，…，Tn-1，Tn ，依次有3种涂法，故共有4×3n-1 种涂法。

但当Tn 与T1 的颜色相同时，有an-1 种涂法，an =4×3n-1-an-1。

点评：求解探究型涂色问题，往往从最简单的图形入手，依次分析两个图形涂色之间的联系与差别，进而加以合理推理，构建相应的关系式，得以解决对应的探究性问题，从而实现问题的解决。

对于涂色问题，抓住探究问题的本质，结合涂色图形的结构特征，以及涂色的种数与限制条件，从关键点入手，结合选取颜色加以分析，合理分类讨论，借助两个计数原理以及排列组合知识，注意“重”或者“漏”的情形，进而加以合理操作与计算。

（责任编辑 徐利杰）