2023年高考之计数原理考点解读

胡银伟

计数问题是重要的数学问题，通过对计数基本原理、排列与组合、二项式定理及其应用的学习，我们能够了解计数与现实生活的联系，能够初步解决简单的计数问题。两个计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，也是进一步研究排列、组合问题的基础。排列、组合与两个计数原理的综合是高考命题的热点，试题难度较小，多以选择、填空题形式出现，考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学素养。排列与组合常与概率、离散型随机变量的分布列等知识综合，多在解答题中综合命题，考查同学们的逻辑推理、数学抽象等数学素养。二项式定理也是高考命题热点之一，多出现在选择、填空题中，难度中等，主要考查二项展开式中的特定项、二项式系数的性质、二项式定理的应用等，也考查同学们的逻辑推理、数学运算等数学素养。

下面我们结合2023年高考真题，对计数原理高考考点进行解读。

考点1 对计数原理综合应用的考查

例1 （1）【2023年全国甲卷理数第9题】现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）种。

A.120 B.60 C.30 D.20

（2）【2023年全国乙卷理数第7题】甲、乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）。

A.30种 B.60种

C.120种 D.240种

（3）【2023年全国新课标Ⅰ卷第13题】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）。

命题意图：本题主要考查两个基本计数原理与排列、组合知识的综合，考查同学们逻辑推理及数学运算等数学素养。

解题思路：（1）利用分类加法原理，分类讨论5名志愿者连续参加两天公益活动的情况，可求解。（2）首先选相同的读物有6种情况，然后在剩余的读物中再选择2种读物进行排列，最后根据分步计数原理进行解答。（3）先分类讨论选修2门或3门课，当选修3门时，再讨论具体选修课的分配方法，结合组合数运算进行解答。

解析：（1）不妨记5名志愿者为a，b，c，d，e，假设a 连续参加了两天公益活动，从剩余的4人中抽取2人分别参加星期六与星期日的公益活动，共有A24=12（种）方法。同理b，c，d，e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法。所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数为5×12=60。选B。

（2）首先确定相同的读物，共有C16种情况，然后两人各自选另外一种读物，相当于在剩余的5种读物中选出2种进行排列，共有A25种方法。根据分步乘法原理知共有C16·A25=120（种）选法。选C。

（3） （ⅰ）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C1 4C14=16（种）。

（ⅱ）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课有1 门，则不同的选课方案共有C1 4C24=24（种）;

②若体育类选修课有2门，则不同的选课方案共有C2 4C14=24（种）。

综上，不同的选课方案共有16+24+24=64（种）。

考点解读：运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”，分类就是能“一步到位”———任何一类中任何一种方法都能完成整个事件，分类的关键在于要做到“不重不漏”;而分步则只能“局部到位”———任何一步中任一种方法只能完成事件的某一部分，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。

考点2 对排列组合的考查

例2 【2023年全国新课标Ⅱ卷第3题】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名学生和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）。

A.C44500·C12500 种 B.C24000·C42000 种

C.C34000·C32000 种 D.C44000·C22000 种

命题意图：本题是考查抽样方法及组合的知识，考查同学们的逻辑推理及数学运算等数学素养。

解题思路：利用分层抽样的原理和组合数公式进行解答。

解析：根据分层抽样的定义知初中部共

抽取60×（400／600=40（人），高中部共抽取60×（200／600=20（人）。

根据组合公式和分步计数原理，可得不同的抽样结果共有C44000·C22000 种。

选D。

考点解读：排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用。解答排列、组合问题，首先要根据题意明确是排列问题还是组合问题，或者是排列与组合的混合问题;其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行解答。

解答排列与组合问题时要注意一些策略和方法技巧的应用，如特殊元素优先安排、相邻问题捆绑处理、不相邻问题插空处理、定序问题倍缩法处理等。

考点3 排列组合与概率的综合考查

例3 【2023年全国甲卷文数第4题】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名。从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）。

A.1／6 B.1／3 C.1／2 D.2／3

命题意图：本题综合考查排列组合与古典概型，也考查同学们的逻辑推理及数学运算等数学素养。

解题思路：利用古典概型的概率公式，结合组合的知识进行解答。

解析：依题意知，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C24=6（个），其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C1 2C12=4（个）。所以这2名学生来自不同年级的概率为4／6=2／3。选D。

考点解读：由于概率与排列组合联系紧密，有承上启下的作用，故二者经常交汇构造一些等可能事件的概率问题，是高考命题的热点。

（责任编辑 徐利杰）