函数图象的几个考向

廖浩伟

函数图象是表示函数的方法之一，也是中考命题的热点，结合几则例题，探讨函数图象的几个考向，即根据具体问题画出函数图象，根据函数图象获取信息解决问题，以及动点问题的函数图象，以帮助学生掌握函数图象的处理方法，突破函数图象难点.

1 根据具体问题画出函数图象

根据具体问题画函数图象，首先要找出函数图象的起点、拐点、终点，它们决定了函数图象的范围与方向；其次要找出每两“点”之间的函数关系属于一次函数、二次函数还是反比例函数，它决定了函数图象的形状；最后用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序，将关键点连接起来.

例1体育课上老师布置学生练习往返跑，小刚去时以4 m/s的平均速度跑完，回来时以6 m/s的平均速度跑回起点，速度与时间的变化关系如图1.

（1）从起点到终点的路程是多少？

（2）在图2中画出小刚跑步中，离终点距离s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的大致图象.

解析：（1）从横坐标可以看出，小刚去时所用时间为12 s，这段时间小刚的速度为4 m/s，所以从起点到终点的路程为4×12=48（m）；

（2）小刚奔跑时间为0时，离终点距离为48 m，此时点的坐标为（0，48）;

当小刚到达终点时，奔跑时间为12 s，离终点距离为0 m，此时点的坐标为（12，0）;当小刚回到起点时，奔跑时间为20 s，与终点的距离为48 m，此时点的坐标为（20，48）.所画图象如图3所示.

评注：本题中画出了两个函数图象，第一个图象反映的是奔跑速度与时间之间的关系，第二个图象反映的是小刚到终点距离和时间之间的关系，虽然所讲的都是小刚练习往返跑的事情，但是因为变量不同，函数图象也截然不同，所以画函数图象时指明横、纵坐标表示的量很重要.

2 获取函数图象信息解决问题

对于函数图象，一方面要抓住函数图象的起点、拐点、终点及两函数图象的交点，两函数图象交点说明此时函数值相等，在同一坐标系内，在上方的函数图象，函数值较大，在下方的函数图象函数值较小；另一方面要弄清楚坐标系中横、纵坐标表示的量，这样才能与题中的文字叙述衔接起来.

例2某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，在开始生产的前2个小时为生产磨合期，2个小时后有一人停工一段时间对设备进行改良升级，以提升生产效率，另一人进入正常的生产模式.他们每人生产的零件总数y（单位：个）与生产时间t（单位：h）的关系如图4所示.根据图象回答：

（1）在生产过程中，哪位工人对设备进行改良升级，停止生产多长时间？

（2）当t为多少时，甲、乙所生产的零件个数第一次相等？甲、乙中，谁先完成一天的生产任务？

（3）设备改良升级后每小时生产零件的个数是多少？与另一工人的正常生产速度相比每小时多生产几个？

解析：（1）由图象可知，甲有一段图象是水平的，表示在这段时间内生产的零件没有增加，所以在生产的过程中，甲进行了改良，停止生产的时间5-2=3（h）.

（2）由图象可知，当t=3时，甲与乙的函数图象第一次相交于一点，所以当t=3时，甲和乙第一次生产零件的个数相同，均为10个.由图象可知，甲完成任务用时7 h，乙完成任务用时8 h，所以甲、乙中，甲先完成一天的生产任务.

（3）由图象可知，设备改良升级后，甲共生产的零件数为40-10=30（个），所用时间为7-5=2（h），所以设备改良升级后甲每小时生产零件的个数是30÷2=15（个）；乙进入正常生产后，共生产了36个零件，所用时间为8-2=6（h），所以每小时生产零件的个数是36÷6=6（个）.因此，改良后，甲每小时比乙多生产15-6=9（个）.

评注：对于函数图象，水平线表示自变量增加而函数值没变;从左往右看，上升线表示函数值随自变量的增大而增大；下降线表示函数值随自变量的增大而减小.

3 动点问题的函数图象

动点问题首先要确定动点的运动路径和运动方向，其次要弄清运动速度，一般以运动时间为自变量，以某条线段的长或图形的面积为因变量，根据因变量的变化情况，常以拐点为分界点，动点的运动路径可分为几个阶段，在不同的阶段自变量与因变量会呈现不同的函数关系，也就是在不同的自变量范围内，函数图象在变化.

例3如图5所示，△ABC中，AC=6 cm，AB=BC=5 cm，点P从点B处出发，沿B→C→A路径以1 cm/s的速度匀速运动至点A，设BP长度为y cm，运动时间为x s.校数学研究小组尝试进行函数y随自变量x的变化而变化的规律的探究.以下是数学研究小组的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点，画图，测量，得到以下y与x的几组数值，如表1所示：

要求：填充表格中空白处的数值（结果保留一位小数）；

（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，在图6中画出该函数的图象；

（3）基于作出的函数图象，解决如下问题：当x约为时，BP=CP.

解：（1）表1补全后如下表2：

故答案为：5.0；4.1.

（2）描点、连线，画出的函数图象如图7：

（3）由题意知：当0≤x≤5时，点P在BC上，此时BP=x，CP=5-x，画出y=x和y=5-x的图象，如图8所示，由图象知x=2.5时，两函数图象有交点，即BP=CP；当5＜x≤11时，点P在AC上，CP=x-5，画出函数y=5-x的图象，由图象知，当x=9.1时，函数图象有交点，即BP=CP.所以当x=2.5或9.1时，BP=PC.

评注：从本题画出的图象可以看出，y与x在前期成一次函数关系.在后期成二次函数关系，当BP=CP求x的值时，也采用了图象法，在同一坐标系中画出BP与x的函数关系对应的图象以及CP与x函数关系对应的图象，交点处即为BP=CP时x的值.

研究函数离不开函数图象，函数图象是函数关系的一种表示方法，函数的许多性质都是通过函数图象获得的，如函数的增减性、周期性、最值、图象的对称性等，特别地，比较两个函数的函数值大小时，利用函数图象直观明了.对于函数图象，要掌握以下三种技能：准确画函数图象、详细识读函数图象、细致分析函数图象.