从前后一致角度看“韦达定理”的教学引入

蔡维

摘要：“一元二次方程根与系数的关系”（又称“韦达定理”）在新一版课标中补修改为“必学”内容.围绕“韦达定理”新授课教学研究也逐渐多起来.那么如何在“韦达定理”引入时体现代数教学的前后一致？比如遵循从特殊到一般的研究思路，又如基于正、反两个角度的研究方法，再如引导学生用不同方法验证根与系数的关系.

关键词：前后一致；韦达定理；特殊到一般

重视数学概念教学是很多教师都认同的一种教学理念.然而，由于种种原因，如何提升概念教学的品质或深度，仍然是一个值得深入钻研的课题.最近，笔者有机会观摩学习了某区的优秀课评课活动，课题为“一元二次方程的根与系数关系”（后文简称“韦达定理”），近十位数学教师同课异构，各具特色.各地选送的参赛教师在教学基本功、课堂组织上都不相上下，但是从他们对“韦达定理”引入的教学设计来看，教师对教材内容、教学方法的理解还是有差别的.本文中梳理参赛教师对“韦达定理”引入的三种典型教学设计，并给出简评，提供案例研讨.

1 “韦达定理”引入的三种教学设计

教学设计1通过列表计算方程的两根之和与积引出韦达定理

活动：解方程并填写下表1.

教学组织：给学生印发了导学案，导学案上将表格制好，学生只需计算填空即可.不到2分钟，很多学生都填好了，然后教师组织学生汇报解答，进一步概括出“韦达定理”的内容.再安排学生利用一元二次方程的求根公式进行证明.

简评：这种引入方式简单直接、开门见山，学生接受新知也很顺畅，课堂进展速度快，为后续进行大量练习赢得了时间.然而，这种设计不能向学生传递如何发现问题和提出问题的研究思路，属于“去头、掐尾、烧中段”的陈旧教学方式.在上述课堂中，学生对“为什么要学习韦达定理？”“怎样想到分析两根之和、两根之积？”这些本原问题缺少思考，都是教师用“填表”强加给学生，学生在这个过程中只是像一个计算器一样完成了计算，所谓的发现根与系数的关系，对思维能力的培养是较低层次的.

教学设计2直接从一元二次方程的求根公式推导“韦达定理”

教师：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，且a不为0），当Δ＝b2-4ac≥0时，两根为x1＝-b+b2-4ac2a，x2＝-b-b2-4ac2a.

从求根公式可以看出，一元二次方程的根可以用“系数”来表示，反映了根与系数之间的关系.现在请同学们继续研究根与系数的更多关系.你们想从哪些方向进行研究呢？

生：我们还想研究两根之和、两根之积、两根之差、两根之商.

教师：很好，请同学们分组研究，然后全班交流展示研究成果.

（学生分组研究了5分钟左右.）

生：我们小组发现x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca，x1-x2＝

b2-4aca，x1x2＝b-b2-4acb+b2-4ac.（投影展示了他们小组是如何根据方程两根运算得出的.）

教师：很好！我们发现，两根之和、两根之积与系数的关系比较简洁，教材上将它们作为一元二次方程的根与系数的重要性质，以后可以直接运用.

简评：这种教学设计从一元二次方程的求根公式出发，直接安排学生继续研究根与系数的其他联系，学生能说出想研究“两根之和、两根之积、两根之差、两根之商”，虽然推进了本课学程，但笔者对学生为什么想到要研究“两根之和、积、差、商”还是感觉“不够自然”（有可能教师在课前对部分学生进行了研究方向的提示）.另外，教师认为学生研究出两根之差、两根之商的形式不够简洁，就不将其归纳为一元二次方程的根与系数的关系，这样的解释也比较勉强、说服力不强.此外，从代数教学的前后一致来看，最好能按照从特殊到一般来设计.即先研究二次项系数为1时一元二次方程的根与系数关系，再过渡到二次项系数不一定为1的“更一般情形”.

教学设计3研究一元二次方程根与系数之间联系的其他表现形式

师：前面我们已学习了一元二次方程的求根公式，说明方程的系数a，b，c决定了方程根的值，反映了根与系数之间的联系.那么，根与系数之间的联系还有其他的表现形式吗？这节课我们一起来研究.

问题1你能看出方程（x-2）（x-3）＝0的两根吗？将该方程化为形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出两根与p，q之间的关系吗？

学生很快看出：p＝-5，q＝6.

问题2你能看出方程（x-x1）（x-x2）＝0（x1，x2为已知常数）的两根吗？将该方程化为形如x2＋px＋q＝0的一般形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？

学生很快发现：x1＋x2＝-p，x1·x2＝q.

教师结合PPT给出一段数学史话，据说是数学家韦达的一种证明方法：

设关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个不相等的实数根分别为x1，x2，则

x21＋px1＋q＝0，①

x22＋px2＋q＝0.②

由①-②，得，x21-x22＋px1-px2＝0.

整理，得（x1-x2）（x1＋x2＋p）＝0.因为x1≠x2，所以x1＋x2＋p=0，即x1＋x2＝-p.再将其代入①中，可得x1·x2＝q.

问题3对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，其中a不一定为1，那么它的两根之和、两根之积与系数又有怎样的关系？（提示：可根据求根公式探究.）

学生根据求根公式进行加、乘运算之后，很快得出：x1＋x2＝-ba，x1·x2＝ca.

简评：这种设计的思路主要遵循了人教版九年级上册教材中相关教学内容的安排，并进行了加工转化，是“用教材教”的体现，立意较高.首先是从学生最近发展区出发，学生刚学习过用因式分解法解一元二次方程，能直接看出问题1、问题2的两根，再将方程展开为一般形式，有利于看出两根之和、两根之积与系数的关系；再将问题“一般化”，符合代数教学从简单出发，逐次深入的研究习惯.此外，这种教学设计，努力让学生自主发现或提出研究两根之和、两根之积与系数的关系，相比前两种教学设计要更加自然一些.

2 “韦达定理”的教学要努力体现前后一致

基于“三个理解”（理解数学，理解学生，理解教学）来看韦达定理的教学，笔者以为主要从以下三个方向做好代数教学的前后一致，即体现从特殊到一般的研究思路，体现从正反两方面研究的视角，体现从多角度验证性质的方法.以下分别展开简述.

（1）教学要体现从特殊到一般的研究思路

韦达定理的教学，一般先从特殊的一元二次方程出发，即二次项系数为1的情形，并且能运用“十字相乘法”快速看出两根的方程，然后将其展开为一般式对比两根与系数之间的关系，学生往往能自主发现两根之和、两根之积与系数之间的关系，然后“一般化”为字母系数的探究、归纳与概括.这个教学过程是学生从具体的数学问题解决中，概括出以前尚未知晓的一般规律与方法，并将其应用于新问题的解决，属于层次较高的“发现型概括”.

（2）教学要体现从正反两方面研究的视角

我们知道，一元二次方程的解法要解决的是“给定方程，求根”的问题，而“给定方程”就是“给定系数”，然后求出确定的根，即方程的根是由系数所确定的.这个教学逻辑前后都是一致的，比如七年级一元一次方程ax＋b＝0（a，b为常数，a≠0）的解是x＝-ba.在数学中，对一个数学对象从正面研究之后，往往还要从反面看看是否有值得研究的问题.基于这样的逆向思考，如果给出一元二次方程的两根，那么方程会有怎样的形式呢？从而引出韦达定理的研究内容.

（3）教学要体现从多角度验证性质的方法

数学学习的经验表明，“好的数学定理”往往有多种证明方法，不同的证明方法能关联不同的数学知识或方法.韦达定理也是一个“好的数学定理”，教学过程中教师要引导学生从不同角度进行验证、确认，除运用求根公式直接运算验证之外，还可向学生推介韦达的证明方法.此外，还可将一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）转化为x2＋bax＋ca＝0，再借助之前已证明过的二次项系数为1时一元二次方程根与系数关系来解释，体现了一题多解的思想.在多角度验证性质环节多花费一些教学时间，看似挤占了后续练习巩固的时间，实则对促进学生深刻理解根与系数关系十分重要，因为让学生看到数学新知与此前方法之间的广泛联系、互通，能促进学生深刻理解、长久记忆.

参考文献：

章建跃.理解数学是教好数学的前提.数学通报，2015（1）：61-63.

涂荣豹，陈嫣.数学学习中的概括.数学教育学报，2004（1）：17-22.