带电粒子在磁场中运动的多解问题分类探析

2024-06-25李琴

中学教学参考·理科版 2024年3期

李琴

［摘要］带电粒子在磁场中的运动问题是高考物理经常考查的题型，也是高中物理的重要知识点。在不同类型的测验和高考中，带电粒子在磁场中的运动问题对绝大多数学生来说属于难点，尤其是带电粒子在磁场中运动的多解问题更是难上加难。文章结合近年高考试题，对带电粒子在磁场中运动的多解问题的类型及解答方法进行归纳总结，旨在引导学生破解难点，提升解题能力。

［关键词］带电粒子；磁场；多解问题；类型

［中图分类号］ G633.7 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）08-0049-04

带电粒子在磁场中的运动问题是高考物理经常考查的题型，也是高中物理的重要知识点。与此相关的题目也多是综合性较强的计算题，形式和内容多变，难度较大，而带电粒子在磁场中运动的多解问题更是学生的“噩梦”。通过总结归纳发现，带电粒子在磁场中运动的多解问题可分为磁场方向不确定型、带电粒子电性不确定型、运动具有周期性型、临界状态不确定型四种类型。本文主要对带电粒子在磁场中运动的多解问题的类型及解答方法进行探析。

一、磁场方向不确定型

磁感应强度是一个矢量，如果题目只给出了磁感应强度的大小，而没有明确磁场方向，解题时就要考虑磁场的方向。如果想当然地选定一个方向求解，就会造成漏解或错解。

［例1］如图1所示，在[OP]和[OQ]所围的范围内存在垂直纸面的匀强磁场，[∠POQ=30°]，在点[O]右侧距离为[s]的点[A]处有一个离子源，可沿纸面平面垂直[OQ]向磁场区域射出负离子，负离子的重力可忽略，其比荷为[qm]，速率为[v]。为了使负离子被约束在[OP]下方区域，区域内所加匀强磁场的磁感应强度[B]的大小应为多少？

分析：审题时要抓住本题的隐含条件——匀强磁场的方向未知，因此在解题时必须分垂直纸面向里和垂直纸面向外两种情况进行讨论。

解：（1）当[POQ]区域内所加磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，按照题意“使负离子被约束在[OP]下方区域”可知，临界条件应为负离子的运动轨迹与[OP]相切，作图如图2中大圆弧所示。

由几何知识得

[r1=OBsin30°=12OB]

而[OB=s+r1]，

所以[r1=s]，所以当负离子的运动半径小于[s]时满足题意。

由牛顿第二定律及洛伦兹力公式可得

[qvB=mv2r1]

综合以上可得[B>mvqs]。

（2）当[POQ]区域内所加磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知，负离子向左偏转，按照题意“使负离子被约束在[OP]下方区域”可知，临界条件应为负离子的运动轨迹与[OP]相切，作图如图2中小圆弧所示。

由几何知识得

[r2=s3]，

所以当负离子的运动半径小于[s3]时满足题意。

由牛顿第二定律及洛伦兹力公式可得

[qvB=mv2r2]，

综合以上可得[B>3mvqs]，

所以本题的答案为：当[POQ]区域内所加磁场方向垂直纸面向里时，[B>mvqs]；当[POQ]区域内所加磁场方向垂直纸面向外时，[B>3mvqs]。

【技巧分析】由于磁场方向不确定造成多解是最常规的多解问题，本题还涉及临界问题，解题的关键是正确画出带电粒子在磁场中运动的轨迹，并根据数学知识计算出带电粒子运动的轨道半径。对于例1所示的带电粒子在有界磁场中的运动问题，通常需要学生有一定的几何知识储备，并能灵活应用几何知识，其中需要熟练掌握的几何知识包括点、线、角三个方面，如带电粒子的入射点、出射点、运动轨迹圆心；带电粒子的运动半径（为入射点或出射点与运动轨迹圆心的连线），入射点与出射点的连线；圆心角、速度的偏转角、弦切角。将这些几何知识与物理情境相结合，能够让学生更深入地理解带电粒子的运动过程，进而准确地找到解题方法。

二、带电粒子电性不确定型

在磁场中带电粒子受洛伦兹力的影响而进行运动，由于带电粒子的电性有正、负之分，因此会形成两种不同的运动轨迹，出现两种结果。如果学生在审题时不认真，就很容易掉进命题者所设的“陷阱”中，从而出现漏解甚至错解。

［例2］如图3所示，在水平直线[MN]上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为[B]。当带电粒子以如图所示与直线[MN]成30°角的方向射入磁场时，求带电粒子在匀强磁场中的运动时间。已知带电粒子的质量为[m]，电荷量为[q]。

分析：本题没有明确带电粒子的电性，由左手定则及圆周运动知识可知，带电粒子的运动轨迹因电性不同分为如图4所示的两种情况，解题时应分类讨论。

解：由牛顿第二定律、洛伦兹力公式及周期公式可得

[qvB=mv2R]

[T=2πRv]

解得[T=2πmqB]

由于不知道带电粒子的电性，因此须分两种情况进行讨论。

（1）若带电粒子带正电荷，由左手定则可知，其在匀强磁场中的运动轨迹应是图4中左侧优弧，根据几何知识可知其轨迹为圆周的[56]，所以带电粒子在匀强磁场中的运动时间为

[t1=56T=5πm3qB]

（2）若带电粒子带负电荷，由左手定则可知，其在匀强磁场中的运动轨迹应是图4中右侧劣弧，根据几何知识可知其轨迹为圆周的[16]，所以带电粒子在匀强磁场中的运动时间为

[t2=16T=πm3qB]

因此，本题的答案为[5πm3qB]或[πm3qB]。

【技巧分析】根据上面例2可归纳出解题思维导图如下：

对于这种类型的多解问题，只需做到认真审题，确定带电粒子的电性情况，就能避免漏解和错解。单纯给出像例2所示的题目较少，如果出现，解题思路通常可参照上述思维导图进行灵活改变。

三、运动具有周期性型

当带电粒子在复合场中运动时，通常会出现周期性运动情况，而在一些特殊的纯磁场条件下，比如不同区域磁场方向不同、磁场做周期性变化等，也可能出现周期性运动情况如果分析研究对象的运动状态不全面，就可能因为研究不全面而出错。

［例3］（多选）如图5所示，在圆心角为90°的扇形区域[MON]内部（含边界）分布着方向垂直纸面向外的匀强磁场，扇形区域外分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小均为[B]。现有一质量为[m]、电荷量为[e]的电子从点[M]处沿[MO]方向以某速度射入扇形区域，并最终到达点[N]。则该电子从点[M]运动到点[N]所用时间为（）。

A. [πm2Be]B. [πmBe]C. [2πmBe]D. [17πm6Be]

分析：当看到题中磁场组合存在方向或磁感应强度变化时，首先要有意识地朝着多解方向考虑，况且本题已经在题干前明确给出“多选”的提示，因此绝对要考虑周全，以免漏选。按照“例2”的思路，本题的解题关键是正确作出运动轨迹图，然后根据周期与圆心角的关系求运动时间，区别在于，“例2”的多解情况只与带电粒子的电性有关，其运动轨迹简单，而本题中电子的运动轨迹因为磁场分布不同以及射入速度的不确定而出现多种情况。

解：把扇形区域等分成[n]份，根据运动的对称性画出电子的运动轨迹。

当[n]为奇数时，如图6所示，电子的运动时间[t]为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即

[t=n-12T+2n-14nT=（2n2-1）πm2nBe ][（n=1]，3，5…）

当[n]为偶数时，如图7所示，结合对称性可得

[t′=n2T=nπmBe]

（[n=2]，4，6…）

由上面两式可知，当[n=1]时，[t=πm2Be]；当[n=2]时，[t=2πmBe]；当[n=3]时，[t=17πm6Be]。由此可知选项ACD为正确答案。

【技巧小结】带电粒子的周期性运动涉及多种因素，例3只是纯磁场情况下的演示，实际遇到的题目多是复合场问题，但是，不论题目怎么设计，解题思路和技巧不会变，比如分析受力情况和运动情况、绘制运动轨迹图、利用运动的对称性、应用周期性边界条件、利用分段处理法等，都是我们惯用的解题技巧，平时练习中教师要有意识地对这些解题技巧进行针对性训练，以提高学生的解题能力。

四、临界状态不确定型

带电粒子在洛伦兹力作用下运动的轨迹为圆弧，因此在穿越有边界的磁场时，会因为边界两侧物理条件的不同以及出射速度、所带电荷量大小、电性差异等多种因素，而出现多种运动结果，这也是临界状态造成多解的根本原因。

［例4］如图8所示，在等腰梯形[MNQP]区域存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为[B]，已知[∠P=45°]，[PQ=2MN=4L]。现由一比荷为[k]、重力忽略不计的带电粒子从点[M]处沿垂直[PM]的方向射入匀强磁场中，带电粒子恰好不从边[PQ]射出磁场，则下列说法正确的是（）。

A.带电粒子的轨迹半径可能为[（2+2）L]

B.带电粒子的速度大小可能为[（2-2）BkL]

C.带电粒子在磁场中的运动时间可能为[3π4kB]

D.带电粒子在磁场中运动的时间可能为[πkB]

分析：根据题意可知带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由几何知识绘出带电粒子恰好通过点[Q]时的运动轨迹，然后求出轨迹半径；带电粒子的运动速度和运动时间可根据洛伦兹力提供向心力及周期公式求得。解题的关键是准确分析运动状态。本题尤其要注意带电粒子的电性是未知的，因此必须结合这个参考量进行全面讨论，才能避免漏解和错解。

解：若带电粒子带负电荷，其恰好通过点[Q]的轨迹图如图9所示，其中点[O]为运动轨迹的圆心，点[A]为[MN]的延长线与[OQ]的交点。在[△OAM]中，根据几何知识可得

[R=2（R-L）]

解得带电粒子的轨迹半径[R=（2+2）L]

根据洛伦兹力提供向心力有：

[qvB=mv2R]

解得带电粒子的速度[v=（2+2）BkL]

若带电粒子带负电荷，从点[N]射出磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图10所示，根据几何知识可得带电粒子在磁场中运动的时间[t1=π2kB]。

若带电粒子带正电荷，其从边[PM]射出时，在磁场中运动的时间最长，如图11所示，根据几何知识可得带电粒子在磁场中运动的时间[t2=πkB]。

综上可知正确选项为AD。

【技巧小结】临界问题的解题方法和步骤的思维导图可归纳如下：

在解题过程中，准确分析带电粒子的受力情况和运动轨迹是关键，而临界问题通常与相切、恰好从某位置射出等相关联，通过这些临界情况分析运动过程，进而结合几何知识列式求解。

通过以上分析，我们知道了带电粒子在磁场中运动的多解问题的四种常见类型，通过例题解析对解题过程和解题技巧有了一定的了解，从中归纳出了如下解题策略与建议。