“直观+推理”在解答高考数学选填综合题中的应用

［摘 要］文章以高考数学选择题和填空题的综合题为研究对象，通过降维直观、动态直观、类比直观、背景直观以及符号与数字直观的方法，找准问题的关键点，将问题转化为直观化的形式，并以此为突破口进行推理，从而实现快速解决问题的目的。

［关键词］直观；推理；高考数学；选填综合题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0027-04

高考数学选择题和填空题的综合题（以下简称“选填综合题”）知识覆盖面广，综合性强，构成要素复杂，学生需要具有完备的数学知识体系、敏锐的洞察能力、缜密的逻辑推理能力和较强的运算能力才能解答此类题型［1］。尤其是新高考增加了多选题，它在增强考试的区分度和选拔功能的同时，也增加了考生的解题时间和心理压力。如何快速解答选填综合题是提高高考数学答题效率的关键。

数学直观是指基于数感、量感、符号意识、结构意识、几何直观等建立起来的一种数学抽象能力，它影响着解题方案的拟定，是解题的核心。数学思维是基于运算能力、推理意识而建立起来的逻辑推理能力，它影响着解题目标的达成，是解题的基础。发展数学直观、锻炼数学思维是复习备考中培养综合应用能力、提升素养水平的集中体现［2］。

高考数学选填综合题需要借助图象的直观化、具体化表示和逻辑推理来解答。直观方法的优势在于可以将问题可视化，帮助学生更好地把握问题的本质和厘清解题思路。推理方法的优势在于可以通过逻辑思维，推导出问题的解答过程。“直观+推理”方法的应用可以更好地帮助学生解答高考数学选填综合题。

一、降维直观，化繁为简

在解决立体几何问题时，应找准问题的着力点，打开问题突破口，将立体几何问题转化为平面几何问题，以降低思维难度。如有关球的组合体问题，常作过球心的截面；有公共边的两个等腰三角形，常作过公共边中点的截面。

［例1］（2023年高考全国甲卷理科数学第15题）在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]、[F]分别为[CD]、[A1B1]的中点，则以[EF]为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为            。

解析：如图1，过[EF]作垂直于棱[AB]的平面截球面得到以[EF]为直径的圆[O]，显然圆[O]与棱[AB]、[CD]、[A1B1]、[C1D1]均相切，同时，圆心[O]既是球心也是正方体的中心，由对称性可知其他棱也与球[O]相切，因此，球与正方体棱共有12个交点。

本解法的关键点是“过[EF]作垂直于棱[AB]的平面”。

［例2］（2023年高考全国乙卷理科数学第9题）已知[△ABC]为等腰直角三角形，[AB]为斜边，[△ABD]为等边三角形，若二面角[C-AB-D]为[150°]，则直线[CD]与平面[ABC]所成角的正切值为（）。

A. [15]B. [25]C. [35]D. [25]

解析：如图２，取[AB]中点[E]，由题意可知截面[DCE]垂直[AB]，因此[∠CED]是二面角[C-AB-D]的平面角，即[∠CED=150°]，[∠DCE]是直线[CD]与平面[ABC]所成的线面角。令[AB=2]，则[CE=1]，[DE=3]，在[△CDE]中，由余弦定理得[CD=7]，由正弦定理得[sin∠DCE=327]，[tan∠DCE=35]，故选C。

本解法的关键点是“过[AB]的中点[E]构造截面[DCE]”。

二、动态直观，解决最值问题

动态问题常常与求最值问题相关联。通过求动点的轨迹，我们可以直观地找到问题的关键点，并通过简单的推理来解决问题。在求解最值的过程中，通过观察轨迹的变化趋势，我们可以确定最值点的位置和取值，从而解答问题。因此，运用“直观+推理”的方法可以帮助我们更好地解决最值问题。

［例3］（2023年高考全国乙卷理科数学第12题）已知[⊙O]的半径为1，直线[PA]与[⊙O]相切于点[A]，直线[PB]与[⊙O]交于[B]、[C]两点，[D]为[BC]的中点，若[PO=2]，则[PA·PD]的最大值为（）。

A. [1+22]                 B. [1+222]

C. [1+2]                  D. [2+2]

解析：中点[D]的轨迹是以[OP]为直径的圆的一部分（如图3），由题意可知[PA=1]，所以[PA·PD=PA·PDcos（PA，PD）=PH]，其中[PH]是[PD]在[PA]上的投影，显然当[DH]与[D]的轨迹相切时[PH]最大。取[PA]、[PO]的中点[N]、[M]，则[M]为[D]的轨迹圆的圆心。易知[NM?12AO]，[NM⊥PA]，[PN=NM=12]，[PM=22]，[DM=PM=22]。[DH]与圆[M]相切于[D]点，则[DH⊥DM]，易知四边形[MNHD]为矩形，∴[NH=MD=22]。[PH=PN+NH=12+22=1+22]，故选Ａ。

本解法的关键点是发现“中点[D]的轨迹是以[OP]为直径的圆的一部分”。

［例4］（2017年高考全国Ⅲ卷理科数学第12题）在矩形[ABCD]中，[AB=1]，[AD=2]，动点[P]在以点[C]为圆心且与[BD]相切的圆上。若[AP=λAB+μAD]，则[λ+μ]的最大值为（）。

Ａ. [3]Ｂ. [22]Ｃ. [5]Ｄ.[2]

解析：如图4，[AP=mAP'=λAB+μAD=mλmAB+μmAD]（[m≥1]），[AP'=λmAB+μmAD]，又因为[B、P'、D]三点共线，所以[λm+μm=1]，即[m=λ+μ=APAP']。过[P]作[BD]的平行线[l]，显然当[l]与圆[C]相切时[m]最大，但[APAP']难以计算，由平行线性质可知[l]上任一点[Q]都有[APAP'=AQAQ']，当[AQ⊥l]时，[AQAQ'=3RR=3]（[R]为圆[C]半径），故选Ａ。

本解法的关键点是发现“当[AQ⊥l]时，[AQAQ'=3RR=3]”。

三、类比直观，避开烦琐运算

坐标法和直观法是解决数学问题的常见途径。通过类比，可将陌生的问题转化为熟悉的问题。如将圆的性质与圆锥曲线的性质进行类比，把解决圆的相关问题的方法迁移到圆锥曲线问题上，经过类比发现问题关键点，从而打开问题突破口。通过这种类比的方式，我们可以在解决数学问题时避免烦琐冗长的计算过程，节省时间。通过观察不同问题之间的相似之处，可以应用已掌握的知识和解决方法，快速找到问题的关键点和解决策略。

［例5］（2022年新高考Ⅱ卷数学第16题）已知直线[l]与椭圆[x26+y23=1]在第一象限交于[A]、[B]两点，[l]与[x]轴、[y]轴分别交于[M]、[N]两点，且[MA=NB]，[MN=23]，则[l]的方程为             。

解析：如图５，取[AB]的中点[E]，同时也是[MN]的中点。类比圆的中点弦定理，可得椭圆的中点弦性质：[kAB·kOE=-b2a2=-36=-12]，设[E（m，n）]，则[M（2m，0）]，[N（0，2n）]，[kAB·kOE=kMN·kOE=-2n2m·nm=-12]，[nm=12]，即[kMN=-12]，[tan∠OMN=12]，∵[MN=23]，∴[ON=2]，[lAB]∶[y=-12x+2]，即[x+2y-22=0]。

本解法的关键点是“类比圆的中点弦定理可得椭圆的中点弦性质：[kAB·kOE=-b2a2]”。

［例6］（2022年新高考Ⅰ卷数学第11题）已知[O]为坐标原点，点[A（1，1）]在抛物线[C：x2=2py（p>0）]上，过点[B（0，-1）]的直线交[C]于[P]、[Q]两点，则（）。

A. [C]的准线为[y=-1]         B. 直线[AB]与[C]相切

C. [OP·OQ>OA2]    D. [BP·BQ>BA2]

解析：本题容易判断选项A错误，选项B、C正确。对于选项D，类比圆的切割线定理可知[BP·BQ=BA2]（如图６），推知[BP·BQ>BA2]（如图７，其中[B]点在焦点所在的对称轴上），因此D正确，故选B、C、D。

对于选项D的判断，关键点是“类比圆的切割线定理可得[BP·BQ>BA2]”。

四、背景直观，由特殊推知一般

选填综合题具有背景复杂、知识交汇、条件隐秘的特点。解答这类题目需要对题目信息进行深入挖掘和有效整合，包括隐含的条件和可能的选择分支，以确保推理的准确性和完整性。在解题过程中，我们需要将问题的背景知识进行直观化和特殊化，将抽象的概念和条件转化为具体的图象或数学模型，以便更好地分析和解决问题。逐层推理和判断是解答选填综合题的关键，我们需要进行多次推演和逻辑推理，将题目信息与问题要求进行对照，逐步得出最终的解答。通过解答选填综合题，学生可以提高对多学科知识的整合能力和问题分析能力，并培养系统思维和创新思维。

［例7］（2022年新高考Ⅱ卷数学第8题）已知函数[f（x）]的定义域为R，且[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]， [f（1）=1]，则[k=122f（k）=]（）。

A. [-3] B. [-2] C. 0 D. 1

解析：由[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]背景，联想到余弦函数和差化积公式[cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy]，所以构造[f（x）=2cosπ3x]，又因为[f（x）]的周期[T=6]，[k=16f（k）=0]，所以[k=122f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1-1-2-1=-3]。故选A。

本解法的关键点是“由[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]构造[f（x）=2cosπ3x]”。

［例8］（2022年新高考Ⅱ卷数学第12题）若实数[x]、[y]满足[x2+y2-xy=1]，则（）。

A. [x+y≤1]   B. [x+y≥-2]

C. [x2+y2≤2] D. [x2+y2≥1]

解析：由[x2+y2-xy=1]的方程结构特征，发现方程关于坐标轴和原点对称，可令[x=y=1]，由此可排除Ａ；令[x=１3]，[ y=-１3]可排除D，故选B、C。

本解法的关键点是发现“方程[x2+y2-xy=1]的方程结构特征”。

［例9］（2022年新高考Ⅱ卷数学第11题）如图8，四边形[ABCD]为正方形，[ED⊥]平面[ABCD]，[FB]∥[ED]，[AB=ED=2FB]，记三棱锥[E-ACD]，[F-ABC]，[F-ACE]的体积分别为[V1]、[V2]、[V3]，则（）。

A. [V3=2V2]      B. [V3=2V1]

C. [V3=V1+V2]D. [2V3=3V1]

解析：由[ED=2FB]可判断[V2=12V1]，则选项可转化为

A. [V3=2V2=V1]                         B. [V3=2V1]

C. [V3=V1+V2=32V1]                D. [V3=32V1]

可见，选项C与D等价，选项A、B、C中有且只有一个正确。若选项A正确，则选项B、C、D错误，这与多选题“至少有两个选项符合要求”相矛盾，故选项A错误，排除A，同理也可排除B，从而选择C、D。

本解法的关键点是“由[ED=2FB]判断[V2=12V1]，从而将选项转化为[V1]与[V3]的关系式”。

五、符号、数字直观，回归模型

对于选填综合题，我们通常需要将问题中的符号和数字转化为熟悉的数学模型，以便更好地分析和解决问题。如根据问题的特征进行等价转换、对称转换、周期变换、平移变换等。

［例10］（2022年新高考Ⅰ卷数学第16题）已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[C]的上顶点为[A]，两个焦点为[F1]、[F2]，离心率为[12]。过[F1]且垂直于[AF2]的直线与[C]交于[D]、[E]两点，[DE=6]，则[△ADE]的周长是                      。

解析：如图9，由椭圆的离心率[e=ca=12]，可判断[△AF1F2]为等边三角形。由[DE⊥AF2]，可知[DE]是[AF2]的中垂线，所以[AD=DF2]，[AE=EF2]，[C△ADE=C△F2DE=4a]。由[DE=2ep1-e2cos230°=p1316=6]，[p=398=a2-c2c]，又∵[ca=12]，∴[4a=13]，∴[△ADE]的周长是13。

本解法的关键点是“由椭圆的离心率[e=ca=12]，可判断[△AF1F2]为等边三角形”。

［例11］（2023年新高考Ⅰ卷数学第16题）已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点分别为[F1、F2 ]。点[A]在[C]上，点[B]在[y]轴上，[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]，则[C]的离心率为            。

解析：如图10所示，由[F1A⊥] [F1B]，[F2A=-23F2B] ，设[AF2=2m]，则[BF2=3m=BF1]，[AB=5m]，[AF1=4m]，由双曲线定义得[AF1-AF2=4m-2m=2a]，[m=a]，所以[cos∠F1AF2=AF1AB=4a5a=45]，所以在[△AF1F2]中，[cos∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45]，整理得[5c2=9a2]，故[e=ca=355]。

本解法的关键点是“将[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]转化为用[a]表示[Rt△AF1F2]的边长，再结合双曲线定义求解”。

为了帮助学生快速解答高考数学选填综合题，我们需要重点培养他们的直观观察力和推理能力。解答高考数学选填综合题，不仅仅依赖于知识体系的完整性，还需要学生具备敏锐的观察力和缜密的思维能力。在高考数学复习备考期间，教师要强化学生的画图和识图能力，并加强学生对数学符号的理解和转化应用。同时，应结合学生的认知水平，加强学生直观理解能力的培养，并通过练习锻炼学生的思维能力。

［   参   考   文   献   ］

［1］  庞毅.高中数学多选题解题策略训练对解题能力影响的实验研究［J］.中学数学教学参考，2023（28）：65-69.

［2］  孔令磊.数学直观和数学思维在解题中的应用［J］.教学考试，2023（38）：15-19.

（责任编辑 罗 艳）