以退为进 探寻入口

邵延会

［摘 要］“以退为进”是数学解题的一种策略。通过 “退”，往往可以发现问题的本质，快速找到解决问题的入口，进而达到“进”的目的。

［关键词］以退为进；高中数学；解题策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0012-03

华罗庚曾言：“善于‘退，足够的‘退，退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”这就是“以退为进”思想。以退为进，是数学解题的一种策略。通过“退”，可以发现问题的本质，快速找到解题突破口。

一、从一般退到特殊，从特殊处探寻解题入口

特殊寓于一般之中。对于一般性问题，我们可以尝试给它赋予特殊的情形。在“特殊”处探寻解题入口，会使问题的解决变得直接与简单，从而取得事半功倍的解题效果。

［例1］已知[n∈N?]，集合[An=（x，y）x-1n+2y-2n<1，x，y∈R]，记[A=n=1∞An]，则集合[A]中的点组成图形的面积为                 。

解析：若[（x，y）∈A1]，则[x-1+2y-2<1]，从而[x-1∈0，1]，[2y-2∈0，1]，所以[x-1n+2y-2n≤x-1+2y-2<1（n∈N*）]，即得[（x，y）∈An]，故有[A=n=1∞An=A1]。又[A1]中的点组成图形为如图1所示的菱形，其中[C（2，1）]，[D1，32]，[E（0，1）]，[B1，12]，该菱形的对角线的交点[M（1，1）]，故菱形的面积为[12×2×1=1]，所以集合[A]中的点组成图形的面积为1。

点评：本题先由特殊情形可得[x-1∈0，1]，[2y-2∈0，1]，结合不等式的性质可得结论“若[（x，y）∈A1]，[（x，y）∈An]”，从而可求得图形的面积。可见，特殊化能凸显问题的本质。

二、从抽象退到具体，从具体处探寻解题入口

抽象问题具体化，往往能让我们从具体问题中窥见解题途径，从而实现抽象问题具体化。

［例2］已知函数[f（x）]的定义域为[R]，值域为（0，+∞），[f12=2]，[?x]，[y∈R]，都有[f（x-y）f（x+y）=f2（x）]，函数[g（x）=f（x）+f（-x）]的最小值为2，则[k=16fk2=]             。

解析：依题意，[f（x）>0]， [f（-x）>0]，函数[g（x）=f（x）+f（-x）]的最小值为2，即[f（x）+f（-x）≥2]，令[x=0]，则有[f（0）+f（-0）=2f（0）≥2]，[f（0）≥1]①。由[f（x-y）f（x+y）=f2（x）]，令[x=0]，[y=x]得[f2（0）=f（-x）·f（x）≤f（-x）+f（x）22]，当且仅当[f（x）=f（-x）]，即[f（x）]为偶函数时等号成立，而[f（-x）+f（x）2≥1]，[f（-x）+f（x）22≥1]，所以[f2（0）≤1]，[-1≤f（0）≤1]②，由①②得[f（0）=1]。由[f（x-y）f（x+y）=f2（x）]，[f（x-y）>0]，得[f（x+y）=f2（x）f（x-y）]，令[y=x]得[f（0）·f（2x）=f2（x）]，即[f（2x）=f2（x）]，所以[f（1）=f2×12=f212=22=4]，[f32=f1+12=f2（1）f1-12=f2（1）f12=162=8]，[f（2）=f（2×1）=f2（1）=42=16]，[f52=f32+1=f232f32-1=f232f12=642=32]，[f（3）=f（2+1）=f2（2）f（2-1）=f2（2）f（1）=2564=64]，所以[k=16fk2=2+4+8+16+32+64=126]。

点评：本题主要考查抽象函数求函数值，通过赋值将抽象问题具体化。

三、从复杂退到简单，从简单探寻解题入口

化繁为简是数学解题的重要原则。当遇到一些较为复杂的数量关系或空间关系时，不妨去繁就简，通过换元把复杂问题退到简单问题，牢牢把握住问题的本质，然后求解。

［例3］已知[x>0]，[y>0]，则[2xyx2+4y2+xyx2+y2]的最大值是          。

解析：[2xyx2+4y2+xyx2+y2=2xy+4yx+1xy+yx]，

设[t=xy（t>0）]，

原式[=2t+4t+1t+1t=2tt2+4+tt2+1=3（t3+2t）t4+5t2+4=3t+2tt2+5+4t2]。

令[u=t+2t（t>0）]，则[u≥22]。

原式[=3uu2+1=3u+1u≤322+122=3942=223 ][函数y（x）=u+1u在22，+∞上单调递增 ]，故答案为[223]。

点评：本题属于较为复杂的二元最值问题，需通过两次换元，第一次是设[t=xy（t>0）]，第二次是设[u=t+2t（t>0）]，最终把原问题退化为基本的对勾函数问题。换元时一定要注意新元的范围。

四、从三维空间退到二维平面，从二维平面处探寻解题入口

求解立体几何问题最常用的策略就是将空间问题化为平面问题，复杂立体几何计算问题一般可退到轴截面中解决，而立体几何动态最值问题一般可将立体图形展成平面图形进而解决问题。

［例4］如图2所示，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC⊥BC]，[AC=1]，[AA1=2]，[AB=3]，点[E]、[F]分别是[AA1]、[AB]上的动点，当[C1E+EF+FB1]的长度最小时，三棱锥[B1-C1EF]外接球球面上的点到平面[EFC1]的距离的最大值为           。

解析：把平面[AA1C1C]沿[AA1]展开到与平面[ABB1A1]共面的[AA1C′1C]的位置，延长[B1B]到[B′1]，使得[BB′1=B1B]，连接[B′1F]，如图3所示，则[B1F=B′1F]。要使[C1E+EF+FB1]的长度最小，则需[C′1]、[E]、[F]、[B′1]四点共线，此时[C1E+EF+FB1=C′1E+EF+FB′1=C′1B′1]。

因为[C′1B1=4]，[B1B′1=4]，[∠B′1B1C′1=90°]，则[∠B′1=∠B′1C′1B=45°]，所以[BF=BB′1=2]，[A1E=A1C′1=1]，则[AE=AF=1]，[∠AFE=∠BFB1=45°]，所以[∠B1FE=90°]，在图4中，△[FEB1]是以[EB1]为斜边的直角三角形，因为[C1E=2]，[C1B1=22]，[EB1=10]，即[C1E2+C1B21=EB21]，所以△[C1EB1]是以[EB1]为斜边的直角三角形，所以三棱锥[B1-C1EF]的外接球球心为线段[EB1]的中点，记为[O]，球[O]的半径[R=12B1E=102]，设△[C1EF]的外接圆半径为[r]，[C1E=2]，[EF=2]，[FC1=433]。

因为[cos∠C1EF=C1E2+EF2-C1F22C1E·EF=-13]，所以[sin∠C1EF=223]，所以[2r=C1Fsin∠C1EF=6]，即[r=62]。

设球心[O]到平面[EFC1]的距离为[h]，则[r2+h2=R2]，即[h=R2-r2=1]，则球面上的点到平面[EFC1]的距离的最大值为[1+102]。

点评：本题借助侧面展开图分析得到[C1E+EF+FB1]的长度最小时，[E]为[AA1]的中点，[AF=1]。通过长度可知△[FEB1]、△[C1EB1]均是以[EB1]为斜边的直角三角形，所以三棱锥[B1-C1EF]的外接球球心为线段[EB1]的中点，三棱锥[B1-C1EF]的外接球球面上的点到平面[EFC1]的距离的最大值为球心到平面[EFC1]的距离与球的半径之和。

五、从正面退到反面，从反面处探寻解题入口

有些数学问题若从正面入手分析、求解，可能很复杂，或者无从下手，这时我们应遵循“正难则反”原则，从正面退到反面，从反面处探寻解题入口。

［例5］（1）若集合[M?1，2，3，4，5，6，7]，且[M]中至少含有两个奇数，则满足条件的集合[M]的个数是              。

（2）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为              。

解析：（1）考虑反面的两种情况：若[M]中不含有奇数，则集合[M]的个数等价于集合[2，4，6]的子集的个数，即[23=8]；若[M]中只含有一个奇数，则有4种可能，集合[M]的个数等价于集合[2，4，6]的子集的个数的4倍，即[23×4=32]。不考虑奇数条件时集合[M]共有[27-1=127]个，故符合条件的集合共有[127-8-32=87]个。

（2）由题意知，取出的3个小球为同一种颜色的有[C35+C33=11]种取法，10个大小一样的小球任取3个球有[C310=120]种取法，所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为[1-11120=109120]。

点评：本题第（1）问先考虑反面的两种情况，即集合[M]中不含有奇数和只含有一个奇数时集合[M]的个数，再求出不考虑奇数条件时集合[M]的个数，相减即可得出答案。本题第（2）问应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率。当计数或概率问题中出现“至少”字眼时，一般可从正面退到反面，从反面处探寻解题入口。

六、从数退到形，从形上探寻解题入口

当某些复杂问题无法从数量关系上去探寻解题思路时，我们应该关注其几何意义，从数退到形，从形上探寻解题入口，进而实现问题的解决。

［例6］设[m]是实数，已知集合[P=（x，y）（x+2）2+（y-3）2≤4]，集合[Q=（x，y）（x+1）2+（y-m）2<14]，且[P?Q=Q]，则[m]的取值范围是           。

解析：点集[P]表示平面上以 [O1（-2，3）] 为圆心， 2 为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集[Q]表示平面上以 [O2（-1，m）] 为圆心， [12] 为半径的圆的内部。要使 [P?Q=Q]，应使[⊙O2]内含或内切于[⊙O1]。故有 [O1O22≤（R1-R2）2]， 即[（-1+2）2+（m-3）2≤2-122]，解得[3-52≤m≤3+52]。

点评：本题根据题意， 分析可得[P]与[Q]表示的平面区域， 又有 [P?Q=Q]， 即可得两个区域的包含关系， 将集合问题转化为圆与圆的位置关系问题，即可得到答案。本题考查交集的运算， 但因涉及圆以及几何区域， 难度较大， 要求学生熟悉用集合语言表述几何问题， 从数退到形，利用数形结合方法解题。

七、从方程退到函数，从函数上探寻解题入口

函数与方程是一对“孪生兄弟”，当题目中出现复杂的方程时，我们不妨利用同构思想，通过构造函数，把方程退到函数，从函数的性质中探寻解题入口。

［例7］已知实数[x]，[y]满足[ex+x-2023=e2023y+2023-ln（y+2023）]，则[ex+y+2024]的最小值是                  。

解析：[ex+x-2023=e2023y+2023-ln（y+2023）]，有[ex+x=e2023y+2023+2023-ln（y+2023）]，得[ex+lnex=e2023y+2023+lne2023-ln（y+2023）=e2023y+2023+lne2023y+2023]，函数[f（x）=x+lnx]在（0，+∞）上单调递增， [f（ex）=fe2023y+2023]，所以[ex=e2023y+2023]，则[ex+y+2024=e2023y+2023+（y+2023）+1≥2e2023y+2023·（y+2023）+1=2e2023+1]，当且仅当[e2023y+2023=（y+2023）]，即[y=e2023-2023]时等号成立，所以[ex+y+2024]的最小值是[2e2023+1]。

点评：本题把[ex+x-2023=e2023y+2023-ln（y+2023）]变形为[ex+lnex=e2023y+2023+lne2023y+2023]，通过构造函数[f（x）=x+lnx]，从而实现了方程向函数的转化，利用函数单调性得到[ex=e2023y+2023]是解题关键。

（责任编辑 黄桂坚）