画图法在小学数学解题中的应用技巧

周强

【摘要】数量关系与空间形式是数学的主要研究内容，根据二者的转换关系画图解题，可在一定程度上降低问题难度，达到活化思维，提高解题效率的目的.文章简单介绍了画图法的内涵，基于实际案例探讨线段图、格子图、集合图、面积图在小学数学解题中的应用技巧，应用该方法指导学生解决小学数学难题，有利于发展其数学思维，提高其解题能力，为拓宽学生解题思路提供参考.

【关键词】画图法；小学数学；解题；应用

引 言

《义务教育数学课程标准（2022年版）》倡导教师在教学过程中引导学生发现情境中的数量关系与空间形式，使其学会运用画图等方法简化、解决实际问题，形成应用意识.小学数学问题可大致分为填空、选择、计算、应用等四大类，一些问题形式简单，可通过直接套用数学公式求解.但另外一些问题较为复杂，需要借助线段图、格子图、集合图等图示表示其数量、逻辑关系，再进行转化求解.实际教学中，教师应注意整理画图法解决不同类型数学问题的案例，从中提炼该方法的应用技巧，并将其传授给学生，由此发展学生的几何直观、逻辑意识等核心素养.

一、画图法概述

画图法是数学问题解决方法的一种，主要借助线段图、示意图、集合图等图示将抽象问题形象化，由此直观呈现蕴藏在问题之中的数量、逻辑关系，以便确定解题切入点.其中，线段图、示意图等图示以线段、格子、小棒等图形为构成要素，用于直观体现问题中的数量关系，可用于引导学生由直观思维过渡到抽象思维，使其形成抽象思考现实问题中数量关系的思维习惯.集合图以Venn图为主要形式，用于确定求值范围、排除重叠答案等，对于培养学生的集合思维有着积极意义.

二、画图法在小学数学解题中的应用技巧

（一）线段图在小学数学解题中的应用技巧

由线段、箭头、数字符号等要素构成的图示被称为线段图.线段的长度是有限的，所以线段图一般被用于表示有限的量.在数学解题中，可以用一条较长线段表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上，当出现多种数量关系时，“和”的关系还可以用大括号来表示.以此类推，线段图还可用于表示数学问题中数量的差、倍关系等.目前常用于小学数学解题中的线段图可大致分为单线分段图、复式并列图、变式线段图等三类.应用线段图求解问题时，要借助线段的长短表示量的大小，并对应标上数据.针对不同问题，应灵活选用以上三类线段图，确定标准量与比较量，在解决“比……多”的问题时，多的部分画实线，在解决“比……少”的问题时，少的部分画虚线，同时应标上数据.

1.单线分段图

单线分段图即借助单条线段表示整体、部分量之间的关系的线段图，常被用于小学低段数学运算解题、中低段应用题求解过程当中.其应用的基本步骤是：根据题意确定标准量（单位“1”），根据解题需要表示部分量，最后根据题目给出的信息、要求的信息进行标注，将文字问题转化为识图问题.以人教版二年级数学上册“表内乘法（一）”涉及的应用题求解为例：

例1 小明与父母去果园摘桃子.他将摘到的桃子平均分成了4堆，3堆送给了他的好朋友们，留下一堆自己吃.小明留下自己吃的桃子有6个，他一共摘了多少个桃子？

解析 小明留下自己吃的桃子有6个，可将其作为切入点确定单位“1”，之后画出单线分段图（如图1所示），表示问题的数量关系.

根据线段图可以得出，小明将桃子平均分成了4堆，每堆6个桃子，可列式求出桃子总数.解答过程为：6×4=24（个），小明一共摘了24个桃子.

2.复式并列图

复式并列图指的是用两条或两条以上的线段表示几个并列量之间关系的线段图，常被用于解决小学数学中复杂的应用问题.其应用基本步骤是：根据问题主干信息确定标准量，再根据解题需求画出比较量，最后在线段图中标注所求问题，分析求解.以人教版六年级数学上册“分数乘法”涉及的应用题求解为例：

3.变式线段图

变式线段图是在单线分段图、复式并列图基础之上变形得到的线段图，多被用于解决形式、内容复杂的实际问题，如工程问题、相遇问题等.它的画法灵活多变，需要根据问题的实际情况进行绘制.以人教版三年级数学上册“多位数乘一位数”涉及的相遇问题求解为例：

例3 卡车从A地驶向B地，轿车从B地驶向A地.二车在中途第一次相遇，相遇地距A地60千米.之后二车继续行驶.当二车到达终点（A，B两地）后立即返回，二车在中途第二次相遇，相遇地距B地30千米，那么A，B两地距离是多少？

解析 如图3所示，先画出卡车、轿车第一次相遇点.用虚线表示轿车行驶的路程，实线表示卡车行驶的路程.之后再画出二车第二次相遇点，并标注第二次相遇点距B地30千米的有效信息.

观察图示，两辆车初次相遇时，卡车行驶了60千米；两辆车二次相遇时，两车共行驶了三个全程，则卡车共行驶了60×3=180（千米）.由图可知，卡车共行驶了一个全程还多30千米，所以180-30所得的差即为A，B两地的距离.具体解答过程为：60×3-30=150（千米），A，B两地相距150千米.

（二）格子图在小学数学解题中的应用技巧

格子图指的是借助方格等图形语言清晰展现问题中数量关系的一类图示，通常由方格、数字符号、文字信息三部分内容构成.格子图具有直观、简洁的特征，可用于表示复杂问题中的数量关系，达到化简难题的目的.应用格子图，应先确定单位“1”，之后依据题意绘制方格，用数字进行标注.以人教版五年级数学上册“小数除法”中的复杂问题求解为例：

例4 甲、乙、丙三人准备了相同的钱购买气球.乙手中的气球比甲手中的气球多6个，丙与乙手中的气球数量相同，同时两人各付给甲1.2元.那么，气球的单价是多少？

解析 通常情况下，物品单价=总价÷数量.但这一问题并未直接给出气球总数、购物总价，难以用常规思路求解.可考虑题目给出的已知信息，由“甲、乙、丙三人准备了相同的钱购买气球”可知，三人最初购买气球的个数相同，由“丙与乙手中的气球数量相同”可知，乙、丙比甲各多拿6个气球.由此进行逆向推理，如果乙、丙两人各分给甲2个气球，则甲、乙、丙三人的气球数量相同，如图4所示.

根据图示回顾题目信息，乙、丙两人各付给甲1.2元，反面证明了两个气球的总价为1.2元，由此可求出气球单价.具体解题过程为：1.2÷（6-6×2÷3）=1.2÷（6-4）=1.2÷2=0.6（元），每个气球的售价为0.6元.

（三）集合图在小学数学解题中的应用技巧

集合图指的是利用封闭曲线表示集合的图.小学数学教科书（人教版）虽未给出过多说明，但其经常出现于统计问题、重叠问题等问题的解决过程中.应用此类图示解决问题时，可在审题过程中对已知信息进行分类，并应用集合图将分类结果展现出来，获取问题结果.以人教版三年级数学上册“倍的认识”涉及的重叠问题解题为例：

例5 现有一张长为24厘米，宽为16厘米的长方形，将其分割成边长是整数厘米的正方形，可以怎样分割？正方形的边长可以是多少厘米？

解析 将长为24厘米，宽为16厘米的长方形分割为正方形，那么正方形的边长一定同时满足“是24的因数”与“是16的因数”两个条件.借助集合图（如图5所示），将可能的答案列举出来：

观察图示，发现同时满足两项条件的数有1，2，4，8四个数，得到问题的答案：分割出的正方形边长可能是1，2，4，8厘米.

（四）面积图在小学数学解题中的应用技巧

面积图一般以长方形面积图、正方形面积图的形式出现，用于表示问题中整体、部分量的关系.

面积图用于乘、除法运算解题时，用于表示算式中的倍数关系、和差关系等.应用面积图解答计算题时，需要另辟蹊径，先明确算式内容确定单位“1”，绘制面积为具体数的图形，再结合计算需要绘制面积为不同数的图形，并对面积图进行叠加或分割处理，得到计算结果.以人教版五年级数学下册“分数的加法和减法”中涉及的计算解题为例：

结 语

画图法以数形结合思想为核心，利用线段图、格子图、集合图、面积图等图示梳理数学问题的数量与逻辑关系，实现对复杂问题的简化.教师应当认识到画图法的应用价值，同时根据相遇问题、植树问题等不同类型数学问题的特征、解题要求指导学生选择恰当的图示分析、解决问题，促使学生在分析、讨论、探究的过程中总结画图法的应用技巧，形成快速解决数学问题的关键能力.

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