一道函数类不等式的多证探究
2024-06-23陈小娟
陈小娟
函数与导数以及不等式知识的交汇应用，一直是近年高考数学解答题的必考内容，因此，关注函数类不等式的多证探究，有利于帮助我们不断积累解题经验，拓宽解题思路，提高对相关数学知识、思想方法在解题中的灵活运用能力，进而提升数学核心素养.
1 好题采撷
设函数f（x）=aexln x+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.
（1）求a，b；
（2）证明：f（x）>1.
2 多证探究
本试题第（1）问简单，易得a=1，b=2，下面重点探究第（2）问.
思路一：通过不等式两边同乘e-x变形知，即证ln x+2ex>e-x，再变形知即证xln x+2e>xe-x.据此，可以先构造两个不同的函数，再利用函数的最值构建出两个不等式，最后根据不等式的传递性加以灵活证明.
证法1：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞）.于是，要证f（x）>1，即证exln x+2ex-1x>1，即证ln x+2ex>e-x，亦即证xln x+2e>xe-x，其中x>0.设函数g（x）=xln x+2e（x>0），则求导得g′（x）=ln x+1.据此可知，当x>1e时，有g′（x）>0；当0
综上，可知求证结论成立，即f（x）>1.
评注：该证法先等价转化目标问题，再借助不等式的传递性“若a≥b，b≥c，则a≥c”加以灵活证明，突出体现了“函数思想”在解题中的充分运用——根据函数的单调性，可确定函数的最值，进而可构建不等式.
思路二：由于求证式可等价变形为ln x+2ex>e-x，再变形知即证ln x+1ex+1ex-e-x>0.据此，可以先构造两个不同的函数，再利用函数的最值构建出两个不等式，最后根据同向不等式的可加性加以灵活证明.
证法2：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞）.于是，要证f（x）>1，即证exln x+2ex-1x>1，即证ln x+2ex>e-x，亦即证ln x+1ex+1ex-e-x>0，其中x>0.
设函数g（x）=ln x+1ex（x>0），则求导得g′（x）=1x-1ex2=ex-1ex2.据此可知：当x>1e时，有g′（x）>0；当0 接下来，利用多种不同的构造函数的方法，具体证明：不等式1ex-e-x≥0（记为④式），当且仅当x=1时等号成立. 构造函数方法1：设函数h（x）=ex-1-x（x>0），则求导得h′（x）=ex-1-1.据此可知：当x>1时，有h′（x）>0；当0 构造函数方法2：设函数h（x）=ex-1x（x>0），则求导得h′（x）=ex-1（x-1）x2.据此可知：当x>1时，有h′（x）>0；当0 综上，由③④式及取等号的条件，即可证得f（x）＞1. 评注：该证法先等价转化目标问题（将所求证不等式写成两个式子之和大于零的形式），再借助同向不等式的可加性“若a≥b，c≥d，则a+c≥b+d”加以灵活证明，突出体现了“函数思想”在解题中的充分运用，其中不等式1ex-e-x≥0（x>0）的证明，证法灵活、多样，故值得关注和认真学习，这有利于帮助我们不断提高解题思维的创新性、灵活性. 思路三：由于求证式可等价变形为ln x+2ex>e-x，再变形知即证eln x+2x>e1-x.又根据切线不等式“ex≥x+1（当且仅当x=0时不等式取等号）”可对代数式“e1-x”进行放缩处理，适当放大之后，可将欲证明的不等式eln x+2x>e1-x加以转化，然后再利用构造函数的思想灵活求解，即可顺利获证. 证法3：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞）.于是，要证f（x）>1，即证exln x+2ex-1x>1，即证ln x+2ex>e-x，亦即证eln x+2x>e1-x，其中x>0.根据切线不等式“ex≥x+1（当且仅当x=0时不等式取等号）”，可知ex-1≥x（当且仅当x=1时不等式取等号），所以当x>0时，两边取倒数得e1-x≤1x，当且仅当x=1时不等式取等号.据此可知，只需证明eln x+2x≥1x，即证eln x+1x≥0，且不等式取等号的条件不是x=1即可. 构造函数g（x）=eln x+1x（x>0），则求导得g′（x）=ex-1x2=ex-1x2.据此可知：当x>1e时，有g′（x）>0；当0 综上，可知求证结论成立，即f（x）>1. 评注：该证法的关键是先放缩（得到e1-x≤1x）再转化（得到只需证明eln x+1x≥0，且不等式取等号的条件不是x=1），突出体现了证明不等式具有较强的技巧性、灵活性，同时也说明“转化思想”与“函数思想”在证明不等式中往往需要加以综合运用.需要注意的是，一般地，在分析、解决有关函数类不等式问题时，往往需要关注切线不等式——ex≥x+1（当且仅当x=0时不等式取等号）和ln x≤x-1（当且仅当x=1时不等式取等号）在解题中的灵活运用. 总之，该考题第（2）问的设计比较好，由于求证式中同时出现了指数式与对数式，导致不等式的证明具有较强的综合性、灵活性，从而需要先对求证式实施适当的等价变形，再利用“函数思想”和不等式的传递性、同向不等式的可加性加以证明（如证法1、证法2），或者先对求证式实施适当的放缩处理，再利用“转化思想”和“函数思想”加以证明（如证法3）.
