从一道学考代数压轴题的一题多解谈代数思想

阮应红 杨顺福 栾菊

从云南省统一命制的2021、2022、2023年初中学业水平考试（以下简称“学考”）数学试卷最后一题，我们可以看出命题人对2022年版《义务教育数学课程标准》（以下简称“新课标”）的准确把握.新课标虽然是在2022年才正式出版，但在云南省2021年的中考命题中就有对新课标理念的渗透.党的十八大、十九大明确提出教育要落实立德树人的根本任务，于是2014年教育部提出通过核心素养落实育人目标，同时对高中课标提出明确要求.新课标改编的基本原则一个是增强几何直观，另一个就是增加代数推理.从这个角度看，我们也就不难理解为什么云南省连续三年的数学学考压轴题都是代数题.

代数思想在初中数学阶段的教学中被广泛应用，并且已被证明是数学核心素养的重要组成部分.初中数学是学生进一步探索数学世界的重要阶段，而代数思想对于学生在这个阶段的数学学习和发展至关重要.在数学教学中，代数思想是用符号代替实际数值进行计算和解决问题的能力，不仅可以帮助学生更好地理解数学概念，同时也可以为学生提供解决各种实际问题的工具.基于以上分析，笔者尝试以2023年云南省学考代数压轴题第24题为载体，分析代数思想在培养学生逻辑思维能力和解决问题能力上的不可替代性，帮助学生更好地面对未来的职业和生活挑战，也希望能引起广大教师的关注，在初中阶段就注重培养学生的代数思维能力，让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.

一、试题的呈现与解法赏析

题目：数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性;形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.

同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T.

（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点;

（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值;若不存在，请说明理由.

题目的第（1）问，主要考查学生代数表达能力和代数计算能力.特别是当a≠-时，如果想确定函数与x轴的交点个数，就需要判断△的正负.但在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4这个函数中含有参数a，并不能直接算出△的正负.所以我们可以尝试用含a的式子表示△，当得出△=100a2-140a+49后，需要进一步运用代数运算将其化为完全平方式△=（10a-7）2，进而判断△的正负.

题目的第（2）问涉及一题多解，具体的解题方法如下：

解法一：公式法

解：当a=-时，不符合题意.

当a≠-时，对于函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，则有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

由（1）可知△=（10a-7）2，

由求根公式可得x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整数，a是整数，

∴|2a+1|是6的约数，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

综上所述，存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点且a的值为-2，-1，0，1.

解法分析：该解法的优点是紧扣第一小问的思路，因为第一问已经求出了△，而且△刚好可以开方，于是直接利用求根公式就可以得到x1=-，x2=.当用含a的式子表示出x的值后，我们再根据x是整数这个条件建立方程即可.

解法二：配方法

解：当a=-时，不符合题意.

当a≠-时，对于函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，则有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴x2+x+=0，

∴x2+x=-，

∴x2+x+    =-+    ，

∴     =，

∴x+=±，

∴x+=±，

∴x=±-，

∴x=，

∴x1=-，x2=，

∵x2==2-，

∵x2是整数，a是整数，

∴|2a+1|是6的约数，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

综上所述，存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点且a的值为-2，-1，0，1.

解法分析：该方法主要解题思路和方法一差不多，考查学生代数表达能力，先用含a的式子表示出x，然后建立关于a的方程.两种解法的主要区别在于求x采用了不同的方法，解法二运用了平时训练比较多的配方法，这种方法虽然有点鸡肋，但重在突出一元二次方程解法的通法.

解法三：十字分解法

解：当a=-时，不符合题意.

当a≠-时，对于函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

令y=0，则有（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4=0.

∴（2x+1）[（2a+1）x-4a+4]=0，

∴（2x+1）=0或（2a+1）x-4a+4=0，

∴x1=-，x2=

∵x2==2-，

∵x2是整数，a是整数，

∴|2a+1|是6的约数，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

综上所述，存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点且a的值为-2，-1，0，1.

解法分析：该方法技巧性比较强，对学生数学观察能力要求比较高，优点在于计算量比较小.

解法四：分离参数法

解：当a=-时，不符合题意.

当a≠-时，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

∴y=2a（2x+1）（x-2）+（2x+1）（x+4），

∴y=（2x+1）（2ax+x-4ax+4），

∴当2x+1=0时，y=0，

∴该函数横过点（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根与系数的关系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整数，a是整数，

∴|2a+1|是6的约数，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

综上所述，存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点且a的值为-2，-1，0，1.

解题分析：该方法需要学生对含参数函数有比较深刻的理解.通过分离参数的方法，我们可以得到含参数的函数恒过的定点，从而得到x1，再由根与系数的关系求出x2.

解法五：转换法

解：当=-时，不符合题意.

当a≠-时，

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

∴y=4ax2-6ax-4a+2x2+9x+4，

∴y=2a（2x2-3x-2）+（2x2+9x+4），

可以将上述函数看成是y关于a的函数，

∴联立2x2-3x-2=0

2x2+9x+4=0，解得[

y=0][x=-].

∴该函数恒过点（-，0），

∴x1=-.

∵y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，

由根与系数的关系得x1+x2=.

又∵x1=-

∴x2=+==2-，

∵x2是整数，a是整数，

∴|2a+1|是6的约数，

∴2a+1=±1或2a+1=±3，

∴a=0或a=-1或a=1或a=-2.

综上所述，存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点且a的值为-2，-1，0，1.

解法分析：该方法将关于x的二次函数转化成关于a的一次函数进行研究，降低了函数研究难度，更容易确定参数函数的定点.

本题旨在测试学生的数学能力，主要考查一次函数和二次函数的基本性质，以及它们与一元二次方程的关系.对于此类题目，熟练掌握一次函数的性质，了解二次函数的性质对于解题非常关键.然而，学生仅仅掌握知识是不够的.需要通过思维的方式去理解这类问题，才能真正触类旁通，进而解决更复杂的问题.在解决这些问题时，我们需要不断地运用代数思想，即代数表达和代数计算，包括将数学概念转化为符号和表达式，进行代数计算，推导出解法.通过实际练习，学生可以不断地提高自己的代数思维能力，从而更好地应对数学问题.因此，学生在备考数学时，需要在不断掌握知识的基础上，注重思维能力的训练和提高.

二、代数思想的重要性

初中阶段正是学生开始接触代数，掌握最基本的代数思想的时候，在这个阶段打好代数基础显得格外重要.代数思想作为一种用符号表示一般数量和关系的数学思想（如例题中，通过代数计算成功用含a的代数式表示出了x2的值，x2=2-这个式子也反映了x与a之间的一般关系），具有抽象和普遍性的特点，并一直被认为是数学领域中最基本的思想之一.代数思想又分为代数表达和代数计算两部分：代数表达是指用字母和符号表示数学问题中的未知数和关系;代数计算是指在代数表达的基础上，通过运算发现未知数或确定变量之间的关系.

代数思想是数学中非常重要的一个概念，它通过各种符号和符号规则的运用，帮助学生更好地理解和应用数学概念.代数思想与数学核心素养密不可分，代数思想是数学核心素养的重要组成部分.初中阶段打好代数基础，掌握代数思想的应用方法，可以培养出批判性、逻辑性、创新性等一系列数学素养，进而提高数学核心素养.代数思维与数学核心素养的关联主要体现在以下几方面：

（1）数学思维素养.代数思想在数学学科中广泛应用，可以帮助学生学习和运用正确的数学思维方法.在掌握代数思想的过程中，学生还会逐渐培养出批判性、逻辑性、创新性等一系列数学思维素养.

（2）数学方法素养.代数思想在解决数学问题时起到了重要的引导作用，学生可以通过代数方法来解决一些实际问题.代数思想虽然抽象难懂，但在数学方法素养的培养过程中，学生可以逐步理解和掌握其应用方法.

（3）数学表达素养.代数思想通过符号、式子和方程式等方式来表达和计算数学问题.学生在掌握代数思想的同时，还会逐渐掌握符号规则、运算法则等数学表达技能，从而提高数学表达能力，使其能够清晰准确地表达数学思想.

（4）数学信念素养.代数思想能够帮助学生逐渐建立科学的数学信念，进而提高数学素养.学生在学习代数思想的过程中，处理难题时要坚持不断思考、提炼和总结，从而培养出循序渐进的良好学习习惯.

三、培养代数思想的教学策略

无论从学考考点的角度还是从提高学生数学核心素养的角度分析，在初中阶段教师都应该重点培养好学生的代数思想.代数思想不仅可以帮助学生更好地理解数学概念，还可以培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和抽象思维能力.

1.融入实例教学优化代数思想的教学

融入实例教学是一种有效的教学策略，它可以让学生更好地理解代数思想，提高他们的学习兴趣和成绩.在初中数学教学中，融入实例教学也可以用来优化代数思想的教学.

首先，让我们来了解一下什么是实例教学.实例教学是通过实例来阐释知识、体现规律，让学生通过具体事物来理解抽象概念的一种教学方式.这种教学方式可以帮助学生更好地理解代数思想的概念、性质和运算方法，提高学生的代数思维能力.在初中数学教学中，教师可以通过具体实例来解释代数符号的含义和应用方法.举例来说，当讲到解方程时，教师可以通过生活实际或物理问题来介绍方程式的概念和解题步骤，让学生更好地理解并掌握方程式的应用方法.类似地，教师也可以对解不等式、因式分解等代数概念进行讲解，并配以实例来帮助学生深入了解其使用方法和应用场景.通过实例教学，学生可以更快、更深入地理解代数思想，并愉悦地参与到教学过程中.另外，在实例教学中，学生可以积极探索实际问题，提升创造力和解决问题的能力，充分体现教育的目标是让学生更好地掌握知识，而非仅仅完成考试要求.

2.打破传统限制提升学生的代数思维能力

在初中阶段学习代数思想并打好代数基础对于未来的数学学习和发展至关重要.然而，许多传统的教学方法，如死记硬背公式和机械式运算，不利于学生代数思维能力的发展.因此，我们需要打破传统限制，采取创新的教学策略，提升学生的代数思维能力，深入理解概念：代数思想需要通过数学概念的理解和运用进行学习.传统方法通常依靠不断的实践来学习，但是这种方法容易忽略概念学习的重要性.因此，我们需要寻找到一些新的教学方法来帮助学生更好地掌握和理解数学概念.而启发式教学正是其中之一.

传统的教学方法通常是按照一定步骤进行的，这种方法对于发展学生的创造力和思维能力并不利，而启发式教学是一种更加开放，具有探究性的教学方法.通过启发式教学，学生可以更自由地探索问题，从而锻炼他们的思维能力和创造力.这种方法可以鼓励学生独立思考和运用代数思想来解决问题.

我们还需要改变传统的考试方式，采用更加多元化的评价方式来评估学生的代数思维能力.这种评价方式可以包括口头表达、创意作品、解决实际问题等方式.这不仅可以给学生提供更多的展示机会，还可以帮助他们更加全面地发展其代数思维能力.

通过打破传统限制，采取创新的教学策略，我们可以提升学生的代数思维能力，并为他们未来的数学学习和发展打好基础.这包括深入理解代数概念、采用启发式教学和实践，以及使用多元化评价方式等.这些策略将帮助我们建立更加开放和富有创造性的学习环境，使学生获得更好的学习效果.

3.探索新的教学方法发挥代数思想的育人功能

在初中阶段，学生打好代数基础对于后续的数学学习至关重要.因此，我们需要探索新的教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握代数思想.

以下是几种可能的探索方法：

（1）利用数学游戏的方式教授代数思想.数学游戏可以帮助学生在娱乐中学习并掌握代数思想.如学生可以通过填充数字游戏学习解方程的基本方法，或者通过数字消除游戏加深对因式分解的理解.这些游戏不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够让学生更深刻地理解代数思想的概念和应用，同时培养学生的逻辑思维能力.

（2）利用实践性质教授代数思想.实践性质指的是将代数思想应用到实际问题中.这可以帮助学生更加深入地理解代数思想的概念和应用，同时提高他们的学业水平.如在球类比赛中，教师可以利用比赛数据来教授学生解方程的基本方法，或者通过实际问题来教授因式分解的方法.这些实践性质的问题不仅能够提高学生的学科水平，还能够让他们更好地理解与应用代数思想.

（3）利用现代技术教授代数思想.现代技术为学生学习代数思想提供了更多的便捷性和选择性.如学生可以通过在线课程等平台进行自主学习或通过交互式学习工具来提高代数思维能力.同时，利用网络画板等现代技术平台，教师可以让学生更直观地理解和应用代数思想.这些现代技术不仅能够提高学生的兴趣和学科水平，还培养了学生自主学习和解决问题的能力.

综上所述，探索新的教学方法可以帮助学生更好地理解代数思想，提高他们的学科水平.同时，这些方法也能够培养学生的逻辑思维能力和自我学习能力，使他们更好地应对未来的职业和日常生活的挑战.

近年来，“双减”政策的实施给初中数学教育带来了很多挑战.我们以减轻学生的学习压力为出发点，但同时也必须寻找提高教学质量的方法.学生已不能仅仅依靠大量刷题来提高考试分数，教师必须从思维的角度入手，才能真正实现“减负提质”的目标.代数思想的重要性在于它的普遍性和对学生抽象思维能力的培养，它可以帮助学生更好地理解数学本质.同时，教师需要在教学中让学生更好地运用代数思想解决实际问题，以发展学生的数学思维，培养学生的数学能力，为提高教育教学质量贡献一份力量.