非粘性Boussinesq方程的爆破准则

摘要：为了改进非粘性Boussinesq方程在Besov-Morrey空间上的爆破准则，利用粒子轨道映射和Gronwall不等式，建立了非粘性Boussinesq方程在Besov-Morrey空间上新的爆破准则.研究表明：新的爆破准则仅与涡度有关，与温度无关.

关键词：非粘性Boussinesq方程；Besov-Morrey空间；爆破准则；涡度

中图分类号：O175.29文献标志码：A

Blow-up Criterion for the Inviscid Boussinesq Equations

XIE Mingfeng

（Hongshan College，Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing 210003，China）

Abstract： In order to improve the blow-up criterion of the inviscid Boussinesq equations in Besov-Morrey spaces， a new blow-up criterion for inviscid Boussinesq equations in Besov-Morrey spaces is established by using particle orbit mapping and Gronwall inequality. The results show that the new blow-up criterion is only related to vorticity and not to temperature.

Key words： inviscid Boussinesq equations; Besov-Morrey spaces; Blow-up criterion; vorticity

1引言

本文考虑的模型为非粘性Boussinesq方程：

tu+（u·

SymbolQC@

）u+

SymbolQC@

P=θen，tθ+（u·

SymbolQC@

）θ=0，divu=0，u|t=0=u0（x），θ|t=0=θ0（x）（1）

其中（x，t）∈

瘙綆

n×（0，

SymboleB@

）（n≥2），u（x，t）=（u1，u2，…，un）表示速度，P=P（x，t）表示压强，

θ（x，t）表示温度，en表示单位垂直矢量，u0（x），θ0（x）分别表示满足divu0=0条件下的初始速度和温度.

Boussinesq方程描述了在重力影响下较轻或较密的不可压缩流体的运动.非粘性Boussiesq 方程在一些函数空间上的局部存在性和一些爆破准则已被一些学者研究，例如Chae等［1］在Sobolev空间中研究了非粘性Boussiesq 方程的局部存在性和一些爆破准则；刘晓峰等［2］在临界Besov空间中研究了非粘性Boussiesq 方程的局部存在性和一些爆破准则；崔晓娜等［3］在Holder空间上也进行了研究.本文作者谢鸣凤［4-5］分别给出了Boussiesq方程在Besov-Morrey空间的局部存在性和爆破准则.下面先给出具体结论：

定理1.1（1）局部存在性［4］设1lt;q≤plt;

SymboleB@

，让s，r满足sgt;1+n/p，1≤r≤

SymboleB@

，或s=1+n/p，r=1.假设初始数据（u0，θ0）∈（Nsp，q，r）n+1并满足divu0=0，则存在T1=T1（‖u0‖Nsp，q，r，‖θ0‖Nsp，q，r）gt;0使得（1.1）有唯一解（u，θ）∈（C（［0，T1］，Nsp，q，r））n+1.

（2）爆破准则［5］当s，r满足sgt;1+n/p，1≤r≤

SymboleB@

，局部解（u，θ）∈（C（［0，T1］，Nsp，q，r））n+1在空间Nsp，q，r上有限时间Tgt;T1 爆破，即

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖Nsp，q，r=+

SymboleB@

∫T0‖（ω，

SymbolQC@

θ）（t）‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

dt=+

SymboleB@

当s，r满足s=1+n/p，r=1，局部解（u，θ）∈（C（［0，T1］，Nsp，q，r））n+1在空间N1+n/pp，q，1上有限时间Tgt;T1 爆破，即

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖N1+n/pp，q，1=+

SymboleB@

∫T0‖ω，

SymbolQC@

θ（t）‖B·0

SymboleB@

，1dt=+

SymboleB@

定理1.1给出了只有当涡度和温度在给定的范数下关于时间t从0到T的积分值都小于无穷时，局部解才不会爆破.受启发于Danchin［6］ 利用粒子轨道映射，可以使定理1.1中爆破准则的结论仅依赖于涡度ω，具体来说，只要涡度在同样给定的范数下关于时间t从0到T的积分值小于无穷，局部解就不会爆破，这对于用Boussinesq方程研究在重力影响下较轻或较密的不可压缩流体的运动，比如在大气科学上，有着一定的借鉴意义.接下来，将具体结论陈述如下：

定理1.2（1）当s，r满足sgt;1+n/p，1≤r≤

SymboleB@

，定理1.1中构建的局部解（u，θ）∈（C（［0，T1］，Nsp，q，r））n+1在空间Nsp，q，r上有限时间Tgt;T1 爆破，即

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖Nsp，q，r=+

SymboleB@

∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

dt=+

SymboleB@

（2）当s，r满足s=1+n/p，r=1，局部解（u，θ）∈（C（［0，T1］，Nsp，q，r））n+1在空间N1+n/pp，q，1上有限时间Tgt;T1 爆破，即

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖N1+n/pp，q，1=+

SymboleB@

∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，1dt=+

SymboleB@

2预备

接下来，给出本文的主要定义和引理：

定义2.1［7-8］设1≤q≤p≤

SymboleB@

，Morrey空间Mpq被定义为一系列函数f（x）∈Lqloc（Rn）的集合

‖f‖MpqRn：=supx0∈Rnsuprgt;0rn/p－n/q∫Bx0，rfyqdy1/qlt;

SymboleB@

定义2.2［7-8］设s∈R，1≤q≤p≤

SymboleB@

，1≤r≤

SymboleB@

，齐次Besov-Morrey 空间N·sp，q，r被定义为

N·sp，q，r={f∈S′/P：‖f‖N·sp，q，rlt;

SymboleB@

}

其中

‖f‖N·sp，q，r=∑j∈Z2js‖Δjf‖Mpqr1/r，rlt;

SymboleB@

supj∈Z2js‖Δjf‖Mpq，r=

SymboleB@

引理2.1［7］ 对sgt;0，1≤q≤p≤

SymboleB@

，1≤r≤

SymboleB@

，则N·sp，q，r嵌入到空间B·s－n/p

SymboleB@

，r，Nsp，q，r嵌入到空间Bs－n/p

SymboleB@

，r.

当sgt;n/p，1≤p，r≤

SymboleB@

，或者s=n/p，1≤p≤

SymboleB@

，r=1，利用B·sp，r和Bsp，r可分别嵌入到L

SymboleB@

，我们可以得到引理2.2.

引理2.2［7］当 sgt;n/p，1≤q≤p≤

SymboleB@

，r∈1，

SymboleB@

或者s=n/p，1≤q≤p≤

SymboleB@

，r=1时，N·sp，q，r，Nsp，q，r是Banach 代数.

引理2.3［9］对sgt;n/p，1≤q≤plt;

SymboleB@

，1≤r≤

SymboleB@

，设f∈Nsp，q，r则这里存在一个常数C使得

‖f‖L

SymboleB@

≤C（1+‖f‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

（log+‖f‖Nsp，q，r+1））

3定理1.2证明

证明：关于温度方程取梯度得

t

SymbolQC@

θ+（u·

SymbolQC@

）

SymbolQC@

θ=-

SymbolQC@

u·

SymbolQC@

θ

利用粒子轨道映射

tX（α，t）=u（X（α，t），t）X（α，0）=α.

我们得到

t

SymbolQC@

θ（X（α，t））=（t

SymbolQC@

θ+（u·

SymbolQC@

）

SymbolQC@

θ）x，t=（X（α，t），t）

于是我们推导出

SymbolQC@

θ（X（α，t），t）≤

SymbolQC@

θ（X（α，0），0）+∫t0（

SymbolQC@

u·

SymbolQC@

θ）

（X（α，τ），τ）dτ

因此，

‖

SymbolQC@

θ‖L

SymboleB@

≤‖

SymbolQC@

θ0‖L

SymboleB@

+∫t0‖

SymbolQC@

u‖L

SymboleB@

‖

SymbolQC@

θ‖L

SymboleB@

dτ

此时由Gronwall 不等式和引理2.2知

‖

SymbolQC@

θ‖L

SymboleB@

≤‖θ0‖Nsp，q，rexp∫t0‖

SymbolQC@

u‖L

SymboleB@

dτ（2）

由文献［4］知

‖（u，θ）‖Nsp，q，r≤‖（u0，θ0）‖Nsp，q，r+C∫t0（1+‖（

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ）‖L

SymboleB@

）‖（u，θ）（τ）‖Nsp，q，rdτ（3）

由 Biot-Savart 准则［10］知

SymbolQC@

u=RR×ωx，t，此处 R=R1，R2…Rn是n维 Riesz 变换，当sgt;1+n/p时，利用引理2.3和式（2），我们可得

‖（

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ）‖L

SymboleB@

≤C（1+‖

SymbolQC@

u‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

（log+‖

SymbolQC@

u‖Ns－1p，q，r+1））

≤C（1+‖ω‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

（log+‖u‖Nsp，q，r+1））（4）

将式（4）带入式（3），再利用Growall不等式，

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖Nsp，q，r=+

SymboleB@

∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

dt=+

SymboleB@

另一方面，∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

dt≤∫T0‖

SymbolQC@

u‖L

SymboleB@

dt≤∫T0‖（

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ）‖L

SymboleB@

dt≤Tsupt∈0，T‖u，θ‖Nsp，q，r

可得

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖Nsp，q，r=+

SymboleB@

∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，

SymboleB@

dt=+

SymboleB@

当s=1+n/p时，由式（2）可知‖

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ‖L

SymboleB@

≤‖

SymbolQC@

u‖B·0

SymboleB@

，1≤‖ω‖B·0

SymboleB@

，1，式（3）变为

‖u，θ‖Nsp，q，r≤‖（u0，θ0）‖Nsp，q，rexp∫t01+‖ω‖B·0

SymboleB@

，1dτ，

故

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖N1+n/pp，q，1=+

SymboleB@

∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，1dt=+

SymboleB@

另外，∫T0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，1dt≤∫T0‖（

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ）‖B·0

SymboleB@

，1dt≤∫T0‖（

SymbolQC@

u，

SymbolQC@

θ）‖Nn/pp，q，1dt≤Tsupt∈0，T‖（u，θ）‖N1+n/pp，q，1

故

limt→Tsup‖（u，θ）（t）‖N1+n/pp，q，1=+

SymboleB@

∫T*0‖ω（t）‖B·0

SymboleB@

，1dt=+

SymboleB@

定理1.2得证.

［参考文献］

［1］CHAE D，NAM H S.Local existence and blow-up criterion for the Boussinesq equations［J］.Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A，1997，127：935-946.

［2］LIU X F，WANG M，ZHANG Z F.Local well-posedness and blow-up criterion of the boussinesq equations in critical Besov spaces［J］.J.Math.Fluid Mech，2010，12：280-292.

［3］CUI X N，DOU C S，JIU Q S.Local well-posedness and blow up criterion for the inviscid Boussinesq system in H¨older spaces［J］.J.Partial Diff.Equs，2012，25：220-238.

［4］谢鸣凤.Boussinesq方程的适定性［J］.西安文理学院学报（自然科学版），2015，18（3）：9-14.

［5］谢鸣凤.Boussinesq方程的破裂准则［J］.西安文理学院学报（自然科学版），2017，20（2）：12-14.

［6］DACHIN R.Remarks on the lifespan of the solutions to some models of incompressible fluid Mechanics［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2013，141（6）：1979-1993.

［7］KOZOHO H，YAMAZAKI M.Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equations with distributions in new funtion spaces as initial data［J］.Comm Partial Differential Equations，1994，19：959-1014.

［8］MAZZUCATO A.Besov-Morrey spaces：function spaces theory and applications to non-linear PDE［J］.Trans.AMS，2002，355：1297-1364.

［9］TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space［EB/OL］.＼＼textit{http：//www.math.pku.edu.cn：8000/var/preprint/572.pdf}.

［10］MAJDA A，BERTOZZI A L.Vorticity and incompressible flow［M］.Cambridge： Cambridge University Press，2002.

［责任编辑赵小侠］