面向小学数学的思维能力训练有效果吗？

黄月 曲新婷 董艳

摘要：在面向思维能力培养的基础教育教学中，研究者常基于数学学科开展有针对性的思维能力训练，但学习效果不一。为此，文章基于51篇相关的实验与准实验研究所得数据，采用元分析方法探讨了小学数学思维能力训练的学习效果。结果显示：我国面向小学数学的思维能力训练有中上程度的正向效果，但其效果在低阶或高阶思维能力上并无显著差异；不同数学课程内容与训练策略均能产生显著差异；学段、训练周期和是否使用信息技术工具并无显著差异。文章根据研究结果提出了有效开展思维能力训练的对策和建议，以期厘清研究脉络，并为实践者开展循证教学提供参考。

关键词：小学数学；思维能力训练；元分析；学习效果

【中图分类号】G40-057 【文献标识码】A 【论文编号】1009—8097（2024）06—0091—09 【DOI】10.3969/j.issn.1009-8097.2024.06.010

引言

我国基础教育领域一直关注对学习者思维能力的培养，其中数学作为核心学科，常被选为思维能力训练的载体。《义务教育数学课程标准（2022版）》（下文简称“2022新课标”）中重点提到“会用数学的思维思考现实世界”，并将数学思维描述为“主要表现为运算能力、推理意识或推理能力。通过数学思维过程，理解数学基本概念与关系法则，明确数学与现实世界间的联系，运用逻辑解释论证数学基本方法与结论，分析解决数学问题和实际问题，探究数学规律，进行数学再发现，发展批判性思维，形成理性精神”。良好的数学思维能力培养需要包含针对性练习的教学设计^[1]，近30年我国小学数学教育取得了一定的进展，建立了一套比较科学严密的课程体系，形成了具有中国特色的数学教学模式与经验^[2]。我国关注数学推理意识与能力的培养^[3]，也注重知识之间的包含关联与迁移变化^[4]。其中，珠象心算作为特有的训练工具，被广泛应用于国内早期的思维能力训练中^[5]。在小学数学思维能力训练领域内部，研究者还关注了年级差异^[6]、数学课程内容^[7][8]、训练策略^[9][10][11]、训练周期^[12][13]、信息技术工具的使用^[14]。然而，将小学数学思维能力训练看作一个整体考虑时，其学习效果却出现了分歧。部分研究显示了思维能力训练在小学数学中的积极作用^[15][16][17]。但另外一些研究认为学习效果不明显甚至起消极作用，如对小学生实施空间工作记忆任务训练^[18]、计算思维训练^[19]、空间可视化训练^[20]并不能显著促进数学学习的结果。小学思维能力训练是否能提升学习效果，尚未达成统一结论。

综上，本研究尝试在系统梳理已有研究的基础上，采用元分析法对国内外30年间发表的关于中国小学数学的实验或准实验研究论文进行综合分析，探讨思维能力训练对我国小学数学学习效果的影响，以及学段、数学课程内容、训练策略、训练周期、信息技术工具的使用共五个细分变量的调节影响，以期厘清研究脉络，并为实践者开展循证教学提供参考。

一 研究设计

鉴于Gene V. Glass^[21]提出的元分析评价程序受到了广泛认可，因此按照其展开研究，主要包括如下四个步骤：文献检索、文献筛选、文献编码、效应量计算。研究过程尽可能对程薇等^[22]针对元分析方法在教育领域中应用的问题做出回应，包括阐述编码过程、保证编码一致性等。

1 文献检索

本研究的中文文献来源于中国知网（CNKI）与主要师范院校、部分综合性大学的校内硕博论文数据库，文献检索时间均限定为30年。在知网检索期刊库时限定类型为CSSCI与核心期刊，并分前后两个阶段开展检索：第一轮通过检索式（TKA=‘小学数学）OR（SU=‘小学数学）获得2327篇文献；第二轮在此结果的基础上以检索式（TKA=‘实证+‘实验+‘实验研究法+‘基于设计的研究方法+‘行动研究法+‘研究+‘影响）OR（SU=‘实证+‘实验+‘实验研究法+‘基于设计的研究方法+‘行动研究法+‘研究+‘影响）进行检索，得到907篇文献。硕博士论文在各大院校的校内硕博士论文库以主题“小学数学”进行检索，合并检索结果得到1424篇文献。

本研究的英文文献来源于Web of Science、ERIC、SpringerLink、Scopus、ScienceDirect共5个主流的数据库，具体的检索式分别包括TS=（“math* learn*”or“math* edu*”or“math* instru*”or“math* pedagogy*”or“primary math*”or“elementary math*”or“K12 math*”）、TS=（“thinking”or“training”or“intervention”or“cognitive”or“metacognitive”or“metacognition”or“intelligence”）与ALL=（“china”or“chinese”），合并检索结果得到1741篇文献。

2 文献筛选

为确保文献分析的准确性和可靠性，本研究制订以下文献筛选标准：①实证研究，排除非实证研究；②与研究主题高度相关，排除无关主题；③包含对照实验，排除非对照实验；④报告思维能力训练的影响效果，排除无影响效果说明；⑤包含完整数据信息，排除缺少数据或无法得出效应量。经过两轮筛选最终纳入有效样本文献51篇（期刊10篇，硕博40篇，会议1篇）。

3 文献编码

本研究将纳入元分析的51篇文献按项特征值进行编码，部分论文编码情况如表1所示。其中，结果变量编码为学习效果。基于布鲁姆的学习目标分类理论，将知识、领会、应用层次的学习效果编码为低阶思维能力，分析、评价、创造层次的学习效果编码为高阶思维能力。

调节变量包括学段、数学课程内容、训练策略、训练周期、使用信息技术工具：①由于不同年级学生的认知水平和思维特征存在差异，因此区分学段开展针对性训练非常重要。基于2022新课标，本研究将学段编码分为第一学段（1～3年级）与第二学段（4～6年级）。②不同数学课程内容可能影响学习效果。基于2022新课标，本研究将数学课程内容编码为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个部分。③思维能力训练策略的不同也将影响学习效果。基于加涅^[27]的定义，本研究将训练策略编码为认知训练、元认知训练与其他训练。认知训练包括对注意、编码、练习、检索相关言语信息和智力技能进行训练的策略；元认知训练是针对个体对自己的认知过程和结果的意识与控制进行训练的策略；其他训练是指对与问题情境相关、以图式组织的言语信息和智力技能进行训练的策略。④训练周期的长短也可能对学习效果产生影响。本研究根据纳入元分析样本的实际训练时间将训练周期编码为一周内、一月内、一学期内、一学期以上四类。⑤由于信息技术对教育的影响，本研究对在思维能力训练时使用小程序、游戏等信息技术工具的情况进行单独编码，分为是、否两类。编码由本研究团队中两位经过元分析编码标准培训的作者分别进行，分歧之处由两人协商，保证双编码结果完全一致。

4 效应量计算

本研究元分析中的所有数据统计过程均使用软件CMA 3.7完成，采用标准化均差（Standardized Mean Difference）作为元分析的效应量，以评估面向小学数学思维能力训练的学习效果。根据Deeks等^[28]的研究，在满足效应量计算独立性的前提下，若一篇文献同时呈现多个独立样本，可以分别提取效应量。本研究纳入元分析的51篇文献中共提取出113个效应量。

二 结果与分析

1 发表偏倚检验

本研究采用漏斗图和失安全系数（Fail-safe Number）来检验发表偏倚情况。漏斗图如图1所示，大部分效应量相对均匀地分布在平均效应量两侧，说明发表偏移的可能性较小。本研究的失安全系数为9935，远大于检验标准575（5×113+10），说明未发表研究的效应量对该研究已纳入的效应量影响不大。综上，本研究具有较小的发表偏差，元分析研究结果具有稳健性。

2 异质性检验

本研究采用Q检验和I²检验两种办法检验样本的异质性。Q检验的标准通常设定为0.10。I²统计量体现了异质性部分占效应量总体的变异比例^[29]，I²值越高，异质性越强。样本异质性检验结果为Q=556.234，p=0.000＜0.10，I²=79.865，说明研究样本之间存在异质性。

3 整体效应

（1）面向小学数学的思维能力训练的整体学习效果

为适应研究样本的异质性，本研究选用随机效应模型（Random Effects Model）进行整体分析。面向小学数学的思维能力训练的合并效应量为0.582（p=0.000＜0.01），达到统计学显著水平。结合Cohen^[30]对效应量标准的界定，当效应量小于0.2时，表示有较小影响；当效应量介于0.2～0.5时，表示有中等影响；当效应量介于0.5～0.8时，表示有中上程度影响；当效应量大于0.8时，表示有高度影响。本研究的合并效应量为0.582，说明面向小学数学的思维能力训练具有中上程度的正向效果。进行敏感性分析发现，排除任意一个样本后效应量在0.559～0.591之间浮动，与总体估计值相差不大，表明元分析最终结果具有较高的稳定性。

（2）面向小学数学的思维能力训练的具体学习效果

思维能力训练对低阶或高阶思维能力的影响效果如表2所示，无论是低阶思维能力，还是高阶思维能力，两者的效应量均达到0.01水平下的显著（p＜0.01），说明现有思维能力训练对低阶或高阶思维能力的培养都具有正向作用。从高阶思维能力与低阶思维能力分别提取出73、40的样本量，它们的组间效应为0.150，p=0.698＞0.10，这说明虽然小学数学思维能力训练更多地将目标定位为培养高阶思维能力，但思维能力训练对两种能力的影响效果不存在显著差异。

4 调节效应

5个调节变量的调节效应分析结果如表3所示：

①学段。第一学段的合并效应量为0.606，第二学段为0.568，两个学段的合并效应量均达到统计显著水平，在0.01水平下显著（p＜0.01）。两个学段的组间效应为0.107，p=0.743＞0.10，即在不同学段开展思维能力训练的学习效果不存在显著差异。

②数学课程内容。“数与代数”的合并效应量为0.424，“图形与几何”为0.464，“统计与概率”为1.813，“综合与实践”为0.539。四者的合并效应量均在0.01水平下显著（p＜0.01）。四个部分的组间效应为18.804，p＜0.10，即思维能力训练对小学数学课程内容存在显著差异，这说明采取基于不同数学课程内容的思维能力训练能产生不同的学习效果，其中使用“统计与概率”的学习效果最明显，“综合与实践”“图形与几何”“数与代数”的学习效果依次递减。

③训练策略。认知训练的合并效应量为0.766，元认知训练为0.321，其他训练为0.560。三者均在0.01水平下显著（p＜0.01）。从样本量来看，采用认知训练策略的研究最多，其他训练策略次之，元认知训练策略最少。三者的组间效应为18.872，p＜0.01，即不同的训练策略产生的影响效果存在显著差异，说明不同的小学数学思维能力训练策略存在不同的学习效果，其中认知训练策略的学习效果最好，其次是其他训练策略，最后是元认知训练策略。

④训练周期。“一周内”的合并效应量为0.634，“一月内”为0.490，“一学期内”为0.576，“一学期以上”为0.656。四者的合并效应均在0.01水平下显著（p＜0.01），即在各个训练周期中数学思维能力训练都具有积极作用。其中，“一学期以上”达到的效果最好，“一周内”“一学期内”“一月内”达到的效果依次递减。四者的组间效应为1.596，p=0.660＞0.10，即训练周期对小学数学思维能力训练的学习效果不存在显著差异。

⑤使用信息技术工具。是否使用信息技术工具的合并效应量分别为0.641与0.554，两者均在0.01水平下显著（p＜0.01）。使用信息技术工具对思维能力训练（0.641＞0.554）确有帮助。但两者的组间效应为0.950，p=0.330＞0.10，即是否使用信息技术工具对小学数学思维能力训练的学习效果不存在显著差异。

由于本研究涉及的文献跨越时间周期较长，因此较多早期文献中并不包含信息技术工具的使用，即使使用了信息技术，对具体技术的描述也较为模糊。尽管后期文献涌现了较多新技术，但对应具体技术的研究样本依旧不够充足，难以从量化角度对信息技术工具的类型进行编码并形成有统计效力的结果。考虑信息技术对教育研究与实践的巨大价值，本研究对使用信息技术工具变量与学段、数学课程内容、训练策略、训练周期四个变量进行了交叉效应分析，其中使用信息技术工具与数学课程内容、训练周期两个变量的交叉效应达到了统计显著水平。如表4所示，使用信息技术工具在“数与代数”与“综合与实践”的数学课程内容中达到统计显著水平，组间差异分别在0.10（p=0.060＜0.10）和0.01（p=0.000＜0.01）水平下显著。而未使用信息技术工具在“统计与概率”数学课程内容中达到统计显著水平，在0.10（p=0.075＜0.10）水平下显著。但由于细分样本量过小（N=1对比N=2），本研究保留对此部分的结论。此外，使用信息技术工具在达到“一月内”的思维能力训练周期时达到统计显著水平，Q值为8.097，组间差异在0.01（p=0.004＜0.01）水平下显著，即小学数学思维能力训练开展周期为一月内时，使用信息技术工具的学习效果显著好于未使用信息技术工具。

三 结论与讨论

本研究采用元分析方法，梳理了1993～2023年51项小学数学思维能力训练的实验或准实验研究，探讨我国面向小学数学的思维能力训练对学习效果的综合影响，并进一步明晰了学段、数学课程内容、训练策略、训练周期、使用信息技术工具等五个调节变量的效果，结论如下：

1 面向小学数学的思维能力训练有正向效果，但对高低阶思维能力培养的差异效果不明显

面向小学数学的思维能力训练具有中上程度的正面效果，这与我国小学数学的培养目标导向是一致的，即希望学生能掌握一种学习能力和数学思维^[31]。尽管近年来数学教育领域强调促进小学生的深度学习^[32][33]，并提倡高阶思维能力的训练^[34]，促使研究者更多地将思维能力训练的目标放在培养高阶思维能力上。但是当前小学数学思维能力训练在低阶思维能力与高阶思维能力培养的效果方面并不存在显著差异，甚至低阶思维能力的学习效果略高于高阶思维能力。这与皮亚杰^[35]的儿童成长阶段论相符，也符合大多数儿童的能力成长是需要从低阶思维能力过渡到高阶思维能力的结论^[36]。因此，小学后再强化高阶思维能力训练，或许能获得更好的效果。

2 面向小学数学的思维能力训练效果因相关实验设计调节变量的差异而不同

①从学段来看，不同学段进行的思维能力训练效果差异不显著，第一学段的训练效果略高于第二学段。这可能是因为低年级小学生处于思维成长的初级阶段，更容易受到外界影响，所以进行有针对性的思维能力训练会更有效。

②从数学课程内容来看，基于不同数学课程内容的思维能力训练结果差异显著。“概率与统计”获得的合并效应量远高于其他三项，“综合与实践”次之。这可能与解决“概率与统计”问题本身的难度相关。一般而言，问题解决的难度与思维能力的增长正相关，即训练中解决的问题越难，可以获得的能力成长越显著。“概率与统计”的内容较难，直到小学四年级学生才开始学习，因此合并效应量最高。“综合与实践”的内容则是学生从一年级就开始学习，但通常安排在学期末，其内容也更考验学生的综合能力，因此其合并效应量次之。

③从训练策略来看，认知训练的合并效应量显著高于其他训练和元认知训练。这个结果符合皮亚杰的儿童认知发展阶段论，也符合学者前期研究^[37]，即小学阶段儿童的“注意”逐渐发展，但选择性差、稳定性不强。这可能是因为低学段学生以具体形象思维为主，需借助形象具体的对象和情境来理解概念。高学段学生逐步向抽象逻辑思维过渡，记忆也逐步过渡为抽象化记忆。因此，认知训练策略对小学阶段的学生最为有效。虽然这个结论与部分研究的结果相冲突，如郭成^[38]对比了元认知策略与一般思维策略训练的效果差异，认为元认知策略能获得更好的效果。该研究中的一般思维策略训练定义为“直接告诉学生这些策略的含义并力图让学生记忆这些策略”，可以归为认知策略。但是该研究中认知策略的使用并未搭配具体的情境设计，训练的内容对于处于从具体思维向抽象思维过渡时期的小学生来说难以理解。

④从训练周期来看，“一学期以上”训练周期达到的学习效果最好，“一周内”“一学期内”“一月内”训练周期的学习效果依次递减。虽然思维能力训练周期对学习效果不存在显著组间差异，但就研究结果来看，最长周期的思维能力训练获得最好的学习效果。这与一般认知相符，即最多的投入得到最好的结果。值得注意的是，整个周期的合并效应量基于周期的长短呈现“U型”趋势（0.634→0.49→0.576→0.656），超短期内的突击思维能力训练能马上得到较好的效果，然而随着训练周期拉长，效应量缓慢下降，直到思维能力训练成为一种习惯和日常，其效应量将逐步恢复，并增长到比超短期突击更高的水平。这表明思维能力训练是一个长期的、需要持续进行的过程，这与Lai等^[39]提出较短的训练周期不利于学生计算思维中认知能力发展的观点部分相符。但本研究得到短期与中期训练效果反而弱于超短期训练效果的结论，这可能是超短期训练带给学生的新奇冲击效果导致的，这种新奇冲击效果会随着周期的拉长而逐步衰退，弱化短期与中期训练效果。因此，最佳思维能力训练的训练周期需要坚持一学期以上。但是如果达不到该长度的训练周期，或许选择一周内的超短期思维能力训练更适宜。

⑤使用信息技术工具的合并效应量略高于未使用信息技术，但两者的组间差异不显著。其原因可能是，已有研究更倾向于在数学思维能力训练中使用传统工具而不是信息技术工具，整体上尚未充分发挥信息技术工具的潜力。但在细分问题领域中，是否使用信息技术工具显示出了显著的组间差异：首先，在数学课程内容上，研究结果表明，在“数与代数”与“综合与实践”部分使用信息技术工具更有效。这可能因为在小学数学的课程内容中，相对于更具体、更情境化的“图形与几何”，“数与代数”部分对学习者的抽象思维与逻辑思维要求更高，也更需要信息技术进行辅助。“综合与实践”部分对学生提出了更高的综合能力要求，其教与学的方式本身也为信息技术的发挥提供了更多空间。其次，在训练周期上，在“一月内”的短期思维能力训练中使用信息技术工具的学习效果显著性好于不使用。这可能是信息技术工具的使用延长了超短期（一周内）思维训练产生的新奇冲击效果所导致的。因此，如果想将超短期的思维训练周期延长到短期，搭配信息技术工具辅助训练或许能获得更好的学习效果。

四 优化建议

根据上述研究结论，本研究针对未来面向小学数学思维能力训练的设计与应用提出建议：

①可以尽早在低年级开展小学阶段的数学思维能力训练，因为年幼的儿童更容易建立数学思维并潜在地养成锻炼思维的习惯，这些效果可持续作用于整个小学阶段。也无须特别关注“高阶思维能力”的培养，因为小学阶段数学的低阶与高阶思维能力培养效果并无显著差异。

②在设计训练内容时，建议适当在低年级增加“综合与实践”的内容，在高年级增加“概率与统计”的内容。当数学课程内容是“数与代数”或“综合与实践”时，增加信息技术工具的使用或许能得到更好的学习效果。

③在设计训练策略时，应更重视认知策略的使用，进入中学后再适当增加元认知策略的比例。此外，使用认知策略时需要特别重视具体情境的搭配。

④在设计思维能力训练项目的周期时，建议研究者与实践者选择超短期的周内突击训练，或一学期以上的长期训练，通常跨学年的思维能力训练项目能获得较好的效果。对儿童而言，中等周期的思维能力训练项目可能容易让学习者产生厌倦，对持久思维习惯的培养也并无增强效益。如果要将超短期的周内训练延长至短期月内训练，建议增加信息技术工具的使用。

⑤建议教育研究与实践者在小学数学思维能力训练中应用更多的信息技术工具，充分挖掘信息技术工具在小学数学思维能力训练中的潜力。可以在训练过程中适当引入包含VR、AR、MR技术的教育虚拟环境^[40]，也可尝试使用AI类工具对学生进行适应性反馈与效果追踪。

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Is the Thinking Ability Training for Primary School Mathematics Effective？

——A Meta-analysis Based on 51 Empirical Studies at Home and Abroad

HUANG Yue¹    QU Xin-Ting¹    DONG Yan²

（1. School of Humanities， Beijing University of Posts and Telecommunications， Beijing，

China 100876;2. Faculty of Education， Beijing Normal University， Beijing， China 100875）

Abstract： In the basic education teaching oriented to the cultivation of thinking ability， researchers often carry out targeted thinking ability training based on the mathematics discipline， yet the learning effect is different. Therefore， based on data obtained from 51 relevant experimental and quasi-experimental research， this paper adopted meta-analysis method to explore the learning effects of of primary school mathematical thinking ability training. The results showed that thinking ability training for primary school mathematics in China had a moderate positive effect， but there was no significant difference in its effectiveness in low-order or high-order thinking abilities. Different mathematical course content and thinking training strategies could produce significant differences. There was no significant difference in terms of the grade level， training period， and whether information technology tools were used. Guided by these research findings， effective strategies and recommendations for effectively implementing thinking ability training were proposed， expecting to clarify research trends and provide guidance for practitioners to carry out evidence-based teaching.

Keywords： primary mathematics; thinking ability training; meta-analysis; learning effect

*基金项目：本文为北京教育科学规划青年专项课题“小学数学问题解决迁移的认知模型建构与教学应用研究”（项目编号：BCDA18046）的阶段性研究成果。

作者简介：黄月，副教授，博士，研究方向为小学数学思维能力培养、混合教学，邮箱为huangy@bupt.edu.cn。

编辑：小时