次线性期望下宽相依随机变量的完全f -矩收敛性

张子峰，华志强

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

在众多统计问题中，常常假设随机变量是相互独立的，但在解决实际问题时，这种独立性假设通常不成立。为了更好地理解和解决这些问题，研究相依随机变量的极限理论问题变得非常重要。因此，WANG等［1］提出经典概率空间中WOD随机变量的定义，如下：

定义1［1］随机变量X1,X2,…,Xn被认为是宽上相依（WUOD）随机变量，如果存在一个有限正数序列gU(n)，使得对于所有有限实数xi,1 ≤i≤n，有

随机变量X1,X2,…,Xn被认为是宽下相依（WLOD）随机变量，如果存在一个有限正数序列gL(n)，使得对于所有有限实数xi,1 ≤i≤n，有

当一组随机变量X1,X2,…,Xn同时具有宽上相依（WUOD）和宽下相依（WLOD）时，称它们是宽相依（WOD）随机变量，其中gU(n)、gL(n)称为控制系数。如果一个随机变量序列{Xn,n≥1} 的每个有限子集都是WOD 的，那么将其称为WOD 随机变量。另外，如果对于每个n≥1，{Xni,1 ≤i≤kn} 都是WOD 的（即每个子集都满足WOD性质），那么将这个随机变量阵列{Xni,1 ≤i≤kn,n≥1} 称为行内WOD随机变量。

由于华志强等［2］的深入研究，使得有关宽相依（WOD）随机变量的研究理论得到进一步推广。完全收敛的概念由HSU等［3］引入，CHOW［4］在完全收敛的基础上引入了完全矩收敛概念，它在概率极限理论和数理统计等不同领域的应用中起到了关键作用，已经得到了许多不同类型的结果。完全f-矩收敛的概念最早由WU等［5］提出，它比完全矩收敛更强，如下所示。

定义2［5］设{Sn,n≥1} 为随机变量序列，{an,n≥1} 为正常数序列，f:ℝ+→ℝ+为非递减函数，且f( 0 )=0。那么可以说{Sn,n≥1} 完全f-矩收敛，如果对于任意ε＞0，

在某些适当的条件下，可以选择函数f，使得这种收敛性质得到广泛适用，意味着完全f-矩收敛包含了完全矩收敛和完全收敛，关于完全f-矩收敛的更多内容，可以参考LU等［6］的研究内容。

在实际应用中，许多不确定性现象并不总是满足期望值的可加性假设。因此，在这种情况下，PENG［7-9］引入了次线性期望的概念，这是对经典线性期望的扩展。

本文中使用了PENG［8］提出的框架和概念。令(Ω,ℱ )是一个可测空间，令ℋ 是被定义在(Ω,ℱ )上的一个由实值函数组成的线性空间，对于任意的φ∈Cl,Lip(Rn)，如果X1,X2,…,Xn∈ℋ，那么φ(X1,X2,…,Xn)∈ℋ，其中Cl,Lip(Rn)表示在线性空间的局部Lipschitz函数。即对任意φ∈Cl,Lip(Rn)，存在常数c＞0,ε∈N 取决于φ，都有

也称ℋ 是由随机变量所构成的空间，并记X∈ℋ。

定义3［8］称E:ℋ →:=[-∞,+∞]为次线性期望。如果对任意X,Y∈ℋ 都有以下的性质：

1）单调性：如果X≥Y，则E[X]≥E[Y]；2）保常数性：E[c] =c；3）次可加性：E[X+Y]≤E[X]+E[Y]；4）正齐次性：E[λX]=λE[X]，其中λ≥0 称三元组(Ω,ℋ,E )为次线性期望空间。给定一个次线性期望E，定义它的共轭期望ℰ 为ℰ[X]:= -E[-X]，∀X∈ℋ。

定义4［8］令ℐ ⊂ℱ，一个函数V:ℐ →[0 ,1] 成为容度，如果

1）V(φ)=0,V( Ω )=1；2）对任意A⊂B,A,B∈ℐ，都有V(A) ≤V(B)。

如果对所有的A,B∈ℐ 且A⋃B∈ℐ，都有V(A⋃B)≤V(A) +V(B)，则称V 具有次可加性。在次线性空间(Ω,ℋ,E )，定义一对容度（V，V），即对任意A∈ℱ，有

其中Ac是A的补集。

定义5［8］Choquet 积分为可以用V 和V 代替V得到相应的积分。

1 预备知识

在本节中，提供一些引理来证明主要结果。下面给出了WOD 随机变量的一个基本性质，可以在WANG等［10］中找到。

引理1［10］设{Xn,n≥1} 为WOD 随机变量序列，如果{fn(·),n≥1} 为均非升（或非降）函数，则{fn(Xn),n≥1} 仍为WOD随机变量序列。

下面介绍CHEN等［11］中2个次线性期望下的重要不等式。

引理2［11］（切比雪夫不等式）令f(x)＞0 是一个在R上的不减函数，那么对任何x＞0 ，有V(X≥x)≤E[f(x)]f(x)。

引理3［11］（Jensen不等式）令f(x)是R的凸函数，若E[X]和E[f(X)]都存在，则E[f(X)]≤f(E[X])。

下一个是V的指数不等式，其证明类似于孟垚［12］中的引理3.2，因此，省略这部分的证明。

引理4［12］令{Xn,n≥1} 是(Ω,ℱ,E )下的WOD 随机变量序列。假设对任意n≥1 有E[Xn] =0，那么对所有x＞0,y＞0 有

由次线性期望的定义和性质，很容易可以得到以下引理。

引理5设X和Y是(Ω,ℱ,E )上的2个随机变量，那么|E[X]-E[Y]|≤E[|X-Y|]。

LIN等［13］首次给出了在次线性期望下WOD随机变量的定义和相关的结论。

引理6［13］令X1,X2,…,Xn+1是(Ω,ℱ )上的实值可测随机变量，Xn+1在次线性期望下宽相依于(X1,X2,…,Xn)。如果对于每一个非负可测函数φi(·) 在ℝ 上有相同的单调性，且E[φi(Xi)]＜∞,i=1,…,n+1，存在一个正的有限的实数h(n+1) 满足

在次线性期望空间中，I(|X|≤a)并不一定是连续的。因此，E[I(|X|≤a)]未必成立。所以对定义在Cl,Lip上的函数，需要对示性函数进行修正。于是，对函数∈Cl,Lip(ℝ )进行如下定义：

对于0＜μ＜1，设(x)∈Cl,lip(R)在x≥0 是单调下降的，且是一个偶函数，使得对∀x∈R，0 ≤≤1，且当 |x|≤u(x)=1；当 |x|＞1~(x)=0，则

鉴于上述观点，得到了类似孟垚［12］中定理3.1的结论。

引理7［12］设{Xnk,1 ≤k≤kn,n≥1} 是在(Ω,ℱ,E )下的行内WOD随机变量阵列，且{an,n≥1} 是一列正的常数列。假设满足以下2个条件：

（Ⅰ）对任何θ＞0，设

（Ⅱ）存在常数η＞0,0＜p≤2和δ＞0，使得

那么，对于任意的ε＞0，有

2 主要内容

定理1设{Xnk,1 ≤k≤kn,n≥1} 是一列在(Ω,ℱ,E )下的行内WOD 随机变量阵列，{an,n≥1} 是一列正的常数。设f(x)＞0,x∈( 0,∞)为增函数，f( 0 )=0。且η≥1，0 ≤μ≤1为常数。假设以下条件成立：

1）对任意θ＞0，

2）对任意κ＞0，

3）存在常数0＜p≤2 和δ＞0，使得

4）当n→∞时，有

5）定义g(x)为f(t)的反函数，即g(f(t))=t,t≥0。且

证明因为f(x)递增且η≥1，0 ≤μ≤1，根据条件（1），所以有

对所有θ＞0，根据引理2和条件（2），有

这满足了引理7的条件（Ⅰ），条件（3）显然使引理7的条件（Ⅱ）成立。

对n≥1，定义，对∀ε＞0，通过Choquet积分的定义，有

由引理7可知

下一步，为了证明式（3），仅需要证明I2＜∞

对于I3，根据引理2和式（4），有

为了证I4＜∞，定义两列随机变量{Ynk} 和{Znk} ，对n≥1，1 ≤k≤kn和t≥f(δ)，定义

通过引理1，很容易看出{Ynk-E[Ynk],1 ≤k≤kn,n≥1} 是一个行内WOD随机变量阵列，通过条件（4），当n→∞，有

因此，当t≥f(δ)时，结合引理5，对所有足够大的n，有

于是对所有足够大的n

从而可得

对于I5，根据引理2和式（4），有

对于I6，有E[Ynk-E[Ynk] ]=0，应用引理4，令，得到

通过条件（4），当n→∞，得到

因此，对所有足够大的n，

从而可得

对于I8，通过引理3、引理5和Cr-不等式，有

因为g(t)是递增的，且η≥1，所以0＜g-η(t)≤g-η(f(δ))=δ-η，而S(t)是不减的，所以，因此有g-η(t)≤δ-η-1f(δ)S(t)和g-2η(t)≤CS(t)g-η(t)。

为了估计I9，因为和1＜p≤2，根据条件（3）和条件（5），有

对于I10，显然有

从条件（4）可得出，对所有足够大的n，

根据条件（2）和条件（5）

最后，对于I11，因为t≥f(δ)，由引理2和条件（4）可得，对所有足够大的n

于是再次由式（4），可以得到

因此，从式（5）～式（16）能够得出式（3）。

综上，完成了定理1的证明。

3 结束语

对次线性期望空间中WOD随机变量的完全f-矩收敛性进行了研究，推广了LU等［6］的经典概率空间下WOD随机变量的完全f-矩收敛，得到了次线性期望下WOD随机变量的完全f-矩收敛。