两种高阶非线性偏微分方程组守恒律的构造

刘亚峰，额尔敦布和，2，赵巧红

（1.内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族学院数学科学学院，内蒙古 呼和浩特 010051）

守恒律是非线性偏微分方程组（PDEs）最重要的解析性质之一，可以帮助对高阶PDEs进行求解和约化。学者们从20世纪初开始对PDEs守恒律进行研究，经过一个多世纪的不懈努力已经建立了乘子法［1-3］、对称作用于已知守恒律［4］、递推公式［5］、对称-共轭对称‘对’方法［6-9］以及Ibragimov新守恒定理［10-12］等一系列有效方法。此外，自20世纪80年代以来随着数学软件的不断发展，陆续问世了Maple、Mathematica 等数学软件，成为推导PDEs守恒律的强有力工具。笔者将分别使用Ibragimov 新守恒定理和对称-共轭对称‘对’方法推导3阶形变Boussinesq型方程［13］和耦合KdV方程［14］的守恒律，并对2种方法进行分析比较，揭示2种方法的内在联系。

1 预备知识

现给出一个PDEs

其中自变量x=(x1,x2,…,xn)，因变量u=(u1,u2,…,uN)，且∂ku表示u对x的所有k阶偏导数（k为正整数），即（以下表示为）。

下面，给出几个定义：

定义1定义

为xi的全导数算子，其中i,j,k=1,2,…,n，α=1,2,…,N。

定义2假设

为PDEs（1）的一个单参数Lie点变换群，其中ξ(x,u)=，η(x,u)=，并且可以使PDEs（1）保持不变，则Lie点变换群（3）称为PDEs（1）的点对称。

点对称（3）的无穷小生成元为：

下面分别是无穷小生成元式（4）的特征形式（5）和k阶延拓式（6）：

定义3假设u(x)为PDEs（1）的解，则存在下面的散度表达式

式（7）中Φi[u]称为局部守恒量。

2 对称-共轭对称‘对’方法

对称-共轭对称‘对’方法是利用PDEs线性化系统的解以及PDEs线性化系统的伴随系统的解来推导PDEs的守恒律。具体的步骤是：（a）通过Fréchet导数将PDEs线性化，求得PDEs的线性化系统；（b）对线性化系统使用共轭Fréchet导数，求得其共轭系统；（c）求解PDEs的线性化系统，即将PDEs拥有的点对称转化为局部对称的特征形式；（d）求解PDEs线性化伴随系统；（e）将（c）、（d）求得的解任意配对代入给出的斜对称公式中构造出PDEs的守恒律。

下面，介绍上述方法构造PDEs守恒律所涉及的一些计算公式。

1）步骤（a）中提到的Fréchet导数，其计算公式为

其中U(x)=(U1(x),…,Um(x))，V(x)=(V1(x),…,Vm(x))为2个任意的函数。

由于式（4）是点对称（3）所对应的无穷小生成元，而式（3）是PDEs（1）的点对称，则公式（8）中为确定方程的解，所以有（其中也可以由公式（5）给出）。

2）步骤（b）中提到的共轭Fréchet导数，其计算公式为

其中σ=1,…,r，且ω(x)=(ω1(x),…,ωr(x))是任意函数。

设U(x)=u(x)为PDEs（1）的解，如果它满足[u]ωσ[u]=0,ρ=1,…,N，则函数集就是PDEs（1）的共轭对称。

3）对于PDEs（1），公式（8）中求得的与公式（9）中求得的组成的任意一对满足守恒定律恒等式：

其对应守恒量为：

其中j1,…,jq和i1,…,ip是指标的有序组合，且1 ≤j1≤…≤jq≤i≤i1≤…≤ip≤n。

下面，将利用上述方法构造2个高阶PDEs的守恒律。

2.1 3阶形变Boussinesq型方程的守恒律

Boussinesq方程描述水波的运动情况，在很多非线性系统里面都能找到其变形方程。下面，将构造3阶形变Boussinesq型方程［13］

的守恒律。

根据式（8）、式（9）分别求得方程组（12）的线性算子和共轭算子

可求得方程组（12）拥有以下4个点对称：

再结合公式=ηρ(x,u)-，使得方程组（12）对应的线性系统的解：

由公式[u]ωσ[u]=0 及共轭算子（14）可以得到关于函数的共轭系统

经求解共轭系统（17），得到如下4组解：

由解（16）、解（18）可以看出方程组（12）有4组对称特征形式和4组共轭对称，它们可以有16种配‘对’，也就是有16 组对称-共轭对称‘对’。以解（16）中这一对为例，将这一对代入公式（11）中，可得如下守恒量：

将其他组合也分别代入公式（11）可得其他6个非平凡守恒量：

2.2 耦合KdV方程的守恒律

KdV方程是用来刻画水波运动状态的非线性偏微分方程，随着对KdV方程的深入研究，逐渐发现了耦合KdV方程，而耦合KdV方程描述一些长波在相互作用时传播的运动状态，并且这些长波都具有不同的色散关系。耦合KdV方程在物理领域有广泛的应用，下面将构造以下耦合KdV方程

的守恒律。其中q、r、u、v是4个位势函数，k为任意常数。

根据公式（8）求得方程组（21）的线性算子：

其中

根据公式（9）求得方程组（21）的共轭算子：

其中

可求得方程组（21）拥有以下5个点对称：

经求解共轭系统（26），得到如下5组解：

由解（25）、解（27）可以看出方程组（21）有5组对称特征形式和5组共轭对称，它们可以有25种配‘对’，也就是有25组对称-共轭对称‘对’。以解（25）中这一组合为例，将这一组代入公式（11）中，可得如下守恒量：

将其他‘对’也分别代入公式（11）可得其他6组非平凡守恒量：

3 Ibragimov新守恒定理的主要思想和运用

著名学者Ibragimov为了克服Noether定理［15］依赖变分对称的局限性而提出了新守恒定理。

下面，介绍一些该方法相关的定义和定理。

定义4PDEs（1）的拉格朗日函数表示为

式中{vα} 为一个新的因变量，称为势函数组。

欧拉微分算子的定义为

将上述算子作用于拉格朗日函数公式（30），可以得到PDEs（1）所对应的共轭方程组

定理PDEs（1）的任意一个点对称都能得到一组守恒律，其对应守恒向量公式为

其中对称特征形式wα=ηα-ξjuαj。

下面，将利用该方法构造3阶形变Boussinesq型方程和耦合KdV方程的守恒律。

3.1 3阶形变Boussinesq型方程的守恒律

通过将方程组（12）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函数为

式中m=(t,x,u,v)，n=(t,x,u,v)为势函数。

根据公式（32），得到方程组（12）的共轭方程组为

求解方程组（35），得到如下解

以式（15）中X1和解（36）中为例，将它们代入公式（33）中，可得如下守恒量：

3.2 耦合KdV方程的守恒律

通过将方程组（21）代入公式（30），可以得到其拉格朗日函数为

其中m=(t,x,u,v,q,r)，n=(t,x,u,v,q,r)，h=(t,x,u,v,q,r)，l=(t,x,u,v,q,r)。

根据公式（32），得到方程组（21）的共轭方程组为：

求解方程组（40），得到如下解

以式（24）中的X3和解（41）中(m1,n1,h1,l1)=(0,v,0,r)为例，将这一对代入公式（33）中，可得如下守恒量：

4 结论

笔者运用对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov的新守恒定理推导出2个高阶非线性偏微分方程的守恒律，通过观察2个方程的守恒定律发现(Φtk,Φkx)=(Ψtk,Ψxk)(k=1,2,…,7),说明2种方法构造的守恒律完全一致。其中，对称-共轭对称‘对’方法是借助Fréchet导数以及共轭Fréchet导数计算出目标PDEs的对称特征形式和共轭对称，然后任意配对代入公式（11）导出目标PDEs的守恒律；而Ibragimov新守恒定理主要是基于拉格朗日函数、PDEs的点对称以及其共轭系统的势函数，借助公式（33）推出目标PDEs的守恒律。虽然两者在原理上是不一样的，但可以看出对称-共轭对称‘对’方法中共轭系统的解ω^σ跟Ibragimov新守恒定理中共轭系统的势函数(mj,nj)（或(mj,nj,hj,lj)）是相同的，并且在2种方法的计算过程中也可以看出对称一共轭对称‘对’方法中与新守恒定律中[Xi,(mj,nj)]（或[Xi,(mj,nj,hj,lj)]）相互对应，说明2种方法是等价的，同时也验证了2种方法推导高阶PDEs守恒律的可行性和可操作性。