协同拟凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分不等式

2024-06-12王淑红

内蒙古民族大学学报(自然科学版) 2024年2期

郑茜，王淑红

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古通辽 028043）

函数的凸性是一个经典的概念，其在数学规划论、博弈论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制论等领域具有基础性的作用［1］，而在经济学中大量理论和实际问题所遇到的函数并非是经典的凸函数类，只能退而求其次，考虑较弱的广义凸性。1949年DE［2］提出历史上第一种广义凸函数，FENCHEL［3］于1951年将其命名为拟凸函数。拟凸性是凸性的放宽，保留了凸函数的一些重要性质。

2001年DRAGOMIR［4］给出了平面R2上二元函数的凸性和协同凸性的定义，并建立了二元协同凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。2012年，ÖZDEMIR等［5］定义了协调拟凸函数，并建立了协同拟凸函数的Hermite-Hadamard 型积分不等式。2014年，SARıKAYA［6］利用Riemann-Liouville 分数阶积分建立了协同凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式。笔者将利用平面R2上二元函数的协同拟凸性建立若干个协同拟凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分不等式。

1 预备知识

定义1［5］设f:Δ=[a,b] ×[c,d] ⊂R2→R是平面R2的一个二元函数，对于任意(x,y),(z,w)∈Δ 和λ∈[0 ,1] ，如果不等式

成立，则称二元函数f为Δ 上的拟凸函数。

定义2［5］设二元函数f(x,y):Δ=[a,b] ×[c,d] ⊂R2→R，对于y∈[c,d] ，定义偏映射fy:[a,b] →R,fy(u):=f(u,y)；对于x∈[a,b] ，定义偏映射fx：[c,d] →R，fx(v):=f(u,v)。

若偏映射fy(u)和fx(v)分别在[a,b]和[c,d]上是凸函数，则称二元函数f(x,y)为Δ 上的协同拟凸函数。

协同拟凸函数的等价定义如下：

定义3［5］设f:Δ=[a,b] ×[c,d] ⊂R2→R是平面R2的一个二元函数，对于任意(x,y),(z,w)∈Δ 和s,t∈[0 ,1] ，如果不等式f(tx+(1-t)z,sy+(1-s)w)≤max{f(x,y),f(x,w),f(z,y),f(z,w)}成立，称二元函数f(x,y)为Δ 上的协同拟凸函数。

显然若二元函数f(x,y)为Δ 上的拟凸函数，则其也为Δ 上的协同拟凸函数。反之不一定成立。

定义4［6-9］设f∈L1[a,b] ，其中阶α＞0 和a≥0，Riemann-Liouville积分Jaα+f和Jbα-f被定义为

和

其中Γ(α)是Gamma函数。

定义5［6-9］设f∈L1([a,b] ×[c,d] )，其中阶α,β＞0 和a,c≥0，Riemann- Liouville积分和被定义为

和

其中Γ(α)是Gamma函数。

显然有

定理1［10-11］（Hermite-Hadamard不等式）设函数f(x)是区间I⊆R上的凸函数，a,b∈I，a＜b，则

定理2［6］设f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ⊂R2→R在Δ 上是协同拟凸函数，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d,f∈L1( Δ )，则

引理1［6］设f:Δ:=[a,b] ×[c,d] ⊂R2→R在Δ上是偏可微映射，且0 ≤a＜b,0 ≤c＜d。若，则

其中