例谈同构法在指对混合式问题中的应用

黄梅娟

在解决不等式恒成立或能成立问题时，我们常常根据不等式的特征将其左侧和右侧变成结构一致，再通过构造函数，利用所构造函数的单调性，简化运算和降低难度，此方法称为同构法. 本文通过实例分析，利用同构法处理等式问题或不等式恒成立问题.

例1 （2020年全国Ⅰ卷理12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a>b2

析解：本题是选择题压轴题，试题涉及指数函数、对数函数、不等式.对学生的要求较高，但学生如果能对等式两侧的结构特点加以分析，再利用函数的性质，能得到正确答案.构造函数f（x）=2x+logx2，显然y=f（x）在（0，+∞）上单调递增.又2a+loga2=4b+2logb4=22b+logb2<22b+log2b2，所以f（a）

例2 （2021年湖北孝感期末）若x0为函数f（x）=e2lnx+x－2+lnx－2的一个零点，则e2－x0+lnx0的值为.

析解：由于x0为函数y=f（x）的一个零点，因此e2lnx0+x0－2=2－lnx0.这是一个超越方程，直接求x0是求不出来的，但分析等式两边的结构特征，通过整体代换的思想，也能解决此问题. 显然有2－lnx0>0，因此等式可以化为2lnx0+x0－2=ln（2－lnx0），进一步可以化为lnx0+x0=ln（2－lnx0）+（2－lnx0）. 很显然，等号左右两侧具有相同的结构，构造函数g（x）=lnx+x，因此有g（x0）=g（2－lnx0），又因为y=g（x）在（0，+∞）单调递增，所以x0=2－lnx0，因此e2－x0+lnx0=x0+2－x0=2.

评注：一般地，对于aea≥blnb型指对共存，其同构方式有三种形式：

例5 （2020年新高考全国I卷）若aex－1－lnx+lna≥1对x>0恒成立，求实数a的取值范围.

析解：本題是利用导数研究不等式恒成立问题，一般方法是将参数看着常数直接构造函数，常用分类讨论思想，利用导数研究函数的单调性、最值，从而得出参数的取值范围.

对学生的数学核心素养较高，有一定的难度.但如果能将不等式结构看清楚，运用同构的思想，能很快解决此问题. 由于aex－1=elna+x－1，因此对x>0，aex－1－lnx+lna≥1恒成立等价于ex+lna－1+x+lna－1≥lnx+x，可得ex+lna－1+（x+lna－1）≥lnx+elnx. 构造函数g（x）=ex+x，很显然y=g（x）单调增加，且g（lna+x－1）≥g（lnx），因此lna+x－1≥lnx，分离参数lna≥lnx－x+1，再次构造函数φ（x）=lnx－x+1，很容易求得φ（x）的最大值为0，因此实数a的取值范围为［1，+∞）.

评注：一般地，对于ea+a≥b+lnb型指对共存，同构方式有两种形式：

（1）左同构，构造函数f（x）=ex+x；

（2）右同构ea+lnea≥b+lnb，构造函数f（x）=lnx+x.

A. a=bB. abD.a，b的大小关系不能确定

析解：本题利用导数研究函数最值问题，如将

通过以上实例可见，适当的放缩能减少很多计算量，指对共存的函数关系中如果用同构思想和切线不等联合能起到很好的效果，解决此类问题首先需要运用两个恒等式a=lnea和a=elna局部变形，然后利用ex≥x+1和ln（x+1）

参考文献

［1］ 孙 平.例谈指对数混合式问题的同构解法［J］，中学数学研究（华南师大）， 2022，11，27-28.

［2］ 李军民.同构法——数学结构分析的视角［J］，中学数学教学研究，2022，05，56-57.