教材中的两道例习题解法对比及问题探究

侯怀有 王志华

习题是教材的重要组成部分，是课堂教学内容的巩固和深化，也应当为学生发展数学核心素养提供平台［1］.大量的习题是在典型例题的基础上通过各种变式演变而成的，属于数学通性通法的解题策略也不多，大部分属于一题一用的解题技巧.因此，如果能够优化教科书习题的设计，聚焦核心的数学概念和通性通法，不仅有助于学生对核心数学内容的理解，积累重要的数学活动经验和理解重要的数学思想方法，而且可以减轻学生的负担.本文对两道例习题的解法进行对比，引出对φ的范围以及求解φ值的方法两个问题进行探究，寻找求解φ值的通性通法.

一、问题提出

普通高中教科书数学必修第三册（人教A版）第245页例1：如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b.

（1）求这一天6～14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

教科书给出的解答：（1）由图1可知，这段时间的最大溫差是20℃.

普通高中教科书数学必修第三册（人教B版）第68页第8题：如图2，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b，其中A＞0，且函数在6时与14时分别取得最小值（最低温度）和最大值（最高温度）.

（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

教师教学用书给出的解答：（1）由题中图2可知，这段时间的最大温差是30-10=20（℃）.

二、问题探究

1.φ有没有取值范围

φ有没有取值范围？φ的取值范围是什么呢？笔者查阅了普通高中教科书（人教A版）和普通高中教科书（人教B版），以及相应的教师教学用书，对于φ的取值范围都没有明确规定，深感失望.笔者从另一个角度出发，对教材中求解析式的习题进行统计，如表1所示，来寻找φ取值范围的蛛丝马迹.

由表可知，人教A版、人教B版、北师大版和苏教版普通高中教科书涉及求解析式的问题共18题，给出取值范围有7题，约占38.9％，都是根据函数的图像求函数的解析式；没有给出范围的有10题，约

由于例1和习题第8题没有给出取值范围，得到了两种截然不同的正确结果.在给出范围且区间长度为2π的习题中，都会产生增根，原因在于在已知三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解.只有在有限的范围才能得出一个解.

2.求φ值有没有通性通法

对于φ值的求法，有多种杂志都刊载了这方面的文章.如文［2］中，逆用“五点法”确定初相φ的值；文［4］中，给出了单调性法、最值点法和五点法求φ的值；文［5］中，介绍了最值法、五点法、单调性法和平移法；文［6］中，指出非最值点+单调性、最值点法和五点作图法是正确求解初相φ的必由之路.归纳起来，求φ值的主要方法有四种：非最值点+单调性、最值点法、五点作图法和平移法.其中，单调性法（非最值点+单调性）、最值点法、平移法与五点作图法有内在的联系，非最值点和最值点都是五点中的某个点，而平移法需要先判定起始点.笔者根据多年的教学实践，五点作图法学生最容易接受，解题过程比单调性法、最值点法简便，且答案唯一，准确率较高，比平移法思路更清晰.因此，我们认为，解决求解正（余）弦型函数解析式或相关的问题，五点作图法最简便，可谓是通性通法.

我们通常用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）或y=cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜｜φ｜＜π）在一个周期上的图像.

逆用“五点法”的关键是辨清起始点，即点P1，起始点清楚了，问题中已知点对应五点中的第几点便一目了然.这是一个难点，要向学生讲清楚，学生要深刻体会，真正理解.

正弦型函数图像的起始点就是与x轴的交点，位于y左侧或右侧，距离y轴最近且处于单调上升曲线中的点.从起始点向右，依次是第二个点（最大值点），第三个点，第四个点（最小值点），第五个点.

余弦型函数图像的起始点就是最大值点，位于y左侧或右侧，距离y轴最近的点.从起始点向右，依次是第二个点，第三个点（最小值），第四个点，第五个点（最大值点）.

弄清楚已知点对应五点中的第几点后，将该点的横坐标代入ωx+φ，解方程即可求出φ的值.

下面列举数列予以说明.

由此可见，逆用“五点作图法”可以作为求解函数解析式以及相关问题的通性通法，既避免了代入平衡点产生增根的弊端，又简化了代入最值点的解题过程，还克服了平移法中平移方向左、右不清和平移量不准确的错误.因此，在平时的教学中，要优化精选习题，提高练习的有效性，掌握核心概念和通性通法，不仅可以培养学生“发现和提出问题，分析和解决问题的能力”，还可以培养学生的数学运算、直观形象、数学建模等数学核心素养.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020修订版）［S］.北京：人民教育出版社，2020：93.

［2］翟洪亮，杜惠平．逆用“五点法”确定初相φ的值［J］．数学通讯，2023（4）：37-41．

［3］汪继波．初相角有没有取值范围［J］．中学数学杂志，2013（7）：63-64．

［4］郭守虎．消除求初相φ的误区［J］．高中数学教与学，2018（8）：12-13．

［5］张惠．例谈函数y=Asin（ωx+φ）的初相的确定［J］．中学数学，2021年1月．

［6］秦文波．求解初相φ的错解辨析和模型建构［J］．中学生理科应试，2023（2）：14-16．