数值分析双语课程建设的探索与实践

檀结庆

(合肥工业大学 数学学院,合肥 230601)

0 引 言

数值分析是一门重要的专业基础课程,该课程所涵盖的内容、方法和思想在工业、农业、国防和科学技术各领域都具有显著的应用价值,该课程也是几乎所有高校数学学院本科生触及科学计算方法的第一门课程.通过该课程的学习,主要培养学生科学的思维方法、良好的计算修养以及较强的分析问题和解决问题的能力.数值分析的理论、方法和思想无疑将为人工智能时代的大数据分析与处理奠定坚实的算法基础.

党的二十大报告强调,要全面提高人才自主培养质量,着力造就拔尖创新人才.要强化国家战略科技力量,提升国家创新体系整体效能,形成具有全球竞争力的开放创新生态.[1]

大变局时代使我国科技创新的外部环境变得更加严峻,补短板强弱项的时代任务变得更加艰巨,壮大国家战略科技力量的崇高使命也变得更加迫切.如何创建与国际接轨的基础学科课程体系,如何使学生不出国门就能达到知识的世界级标准,已成为广大教育工作者思考的时代命题.

“夫事未有不生于微而成于著,圣人之虑远,故能谨其微而治之,众人之识近,故必待其著而后救之;治其微则用力寡而功多,救其著则竭力而不能及也.”这是出自《资治通鉴》[2]的名言,意思是,见微知著,着眼长远,才能防患于未然.未雨绸缪,加快基础学科核心课程的国际化建设步伐,助力高层次高素质创新型国际化专业人才的自主培养,无疑应纳入我们的战略考量.

数值分析课程采用双语教学,旨在使学生在系统学习专业基础知识的同时,还能较好地学习专业英语,既涵养家国情怀,又兼具国际视野,做到一箭双雕,使学生具备跨文化的专业交流能力,提升国际竞争力,为将来走向国际舞台,深度参与全球创新治理打下良好基础.因此,数值分析双语课程建设无疑是基础学科核心课程国际化建设的一种有益尝试,也是创新型国际化人才自主培养的一种积极探索.

1 数值分析双语课程教学改革

1.1 教材建设

多年来,笔者所在学院一直选用高等教育出版社出版的影印版全英文教材《Numerical Analysis》(Seventh Edition),该教材由Burden R L和Faires J D编写,已在美国、英国、澳大利亚、墨西哥、加拿大、新加坡以及西班牙等国家的大学中普遍采用,也是国家教育部推荐的优秀教材之一.该影印版教材内容较丰富,而实际课堂教学课时有限,没有足够的时间讲授完教材中的所有内容,教学内容的取舍成为一个不得不面对的现实问题.通过十余年的双语教学实践,深深感受到,编写一本契合实际需要的数值分析双语教材,显得很有必要.双语教材主要内容拟定为数学基础知识,包括常见数学公式及数学表达式的英语读法、微积分回顾、误差与有效数字等;求解线性方程组的直接方法,包括Gauss 消元法、选主元策略、矩阵分解法等;矩阵代数迭代技术,包括向量范数与矩阵范数、特征值与特征向量、解线性方程组的迭代法、收敛性分析与SOR迭代法、条件数和迭代优化等;一元方程求根,包括二分法、不动点迭代与误差分析、Newton法、弦截法等;多项式插值,包括Lagrange插值、Neville插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值等;逼近论,包括离散最小二乘逼近、正交多项式、最小平方逼近、Chebyshev多项式、幂级数的约化等;数值微分与数值积分,包括数值微分、Richard外推、数值积分、复化求积公式、Romberg积分、Gauss求积等;常微分方程初值问题,包括初值问题基本理论、Euler方法、Runge-Kutta方法、多步方法等.

考虑到数值分析双语教材应尽可能体现出双语特色,因此,该教材既不能编撰成国外出版的英文版教材的注释版,也不能编写成像某些英语文学作品那样的英汉对照版,而要对教材的组织架构重新进行设计,使其达到既“利于学”,又“便于教”的双重效果.有鉴于此,双语教材的编写逻辑体现在以下两个方面:一是使学生能够在规定的学时内顺利地完成该教程的系统学习;二是完成本教程的学习后,学生的学科专业知识将得到进一步夯实,专业英语应用能力也将有较大程度的提高.双语教材的编写思路是,尽力促使学生在学习该课程时,能心无旁骛地将注意力集中在对课程内容的理解、消化和吸收上,而不是面对专业英语,感到一脸茫然,一筹莫展,将大量时间和精力花费在对英语语言的理解上.双语教材的主要特色体现在以下八个方面:一是每个章节标题均有中英文对照,方便学生了解章节内容概貌;二是在每一章具体内容之前,均用中文列出该章的学习目标,使学生怀着明确的目的去学习;三是正文内容用英语陈述,对关键词或关键术语用中文进行标注,从而减少语言阻尼时间;四是每章后面均配置丰富的Matlab算法程序与计算实例,帮助学生巩固所学知识,感受算法的魅力与乐趣;五是每章后面均用中文概括出该章的要点,帮助学生强化所学内容,达到去粗取精的目的;六是每章后均配置若干与该章内容相关的问题供学生思考与讨论,进一步激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力,实现内涵与外延的有机统一;七是每章后均以英汉对照的方式列出该章出现的关键术语,使学生轻松熟悉专业英语词汇和习惯表达;八是每章最后设计“延伸阅读”模块,该模块用中文撰写,主要内容包括:数学家传记、非线性方程组求解方法、有理函数插值、连分式插值、Padé逼近、最佳一致逼近、高斯求积公式的收敛性、Radau求积公式与Lobatto求积公式、Euler-Maclaurin展开、常微分方程边值问题等,作为对课堂教学内容的自然延伸和补充,供学生课外阅读,籍此拓展学生的视野.

编写的《数值分析双语教程》[3](六十余万字)已入选工业与信息化部“十四五”规划教材,并于2023年9月由科学出版社出版.

1.2 教学改革

本团队十余年来的数值分析双语教学实践表明,课程教学改革常常被盲点、痛点、堵点、难点这“四点”所困扰,其中,双语教学理念的创新是盲点,双语教学模式的创新是痛点,双语教学方法的创新是堵点,双语教学环境的创新是难点.去盲点、治痛点、疏堵点、破难点,一直伴随着艰辛的数值分析双语教学改革过程.创新双语教学理念,首先,要从“国之大者”和“民之关切”两个层面将双语教学的目的和意义讲清楚.胸怀“国之大者”应具备宽广的政治视野和深远的战略思维,理性引导学生的价值追求;情系“民之关切”应激发学生自励的学习动机和强烈的求知欲望,合理引导学生的心理预期,努力做到精于传道、勤于授业、敏于解惑.其次,要将数值分析的内容、方法和思想道明白.数值分析的本质就是科学计算方法,“让所有对象可联接”“让所有应用可模型”“让所有决策可计算”,已成为人工智能时代的标签.打造坚实的算力底座,护航人工智能的迭代升级,需要坚实的数值分析基础和强大的科学计算能力.创新双语教学模式,应注重因材施教,从全英文教材逐渐过渡到自编的双语特色教材,树立科学的教学观、质量观,坚持传授知识、塑造能力、提高素质、涵养情怀协调发展,打破传统教学模式,充分发挥教师和学生的双主体作用.创新双语教学方法,应充分运用启发式、探究式、讨论式、参与式等教学方法,调动学生学习的积极性、主动性、能动性,使学生实现从被动接受到主动进取的方式转变,从消极懈怠到积极思考的态度转变,从“要我学”到“我要学”的情怀转变.为推进学生知识能力素质的有机融合,培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维,我们设计了看似简单实则不平凡的教学案例.例如,在课堂教学中以无理数的计算为切入点,学生利用所学到的知识给出尽可能多的解决方案,并对不同的数值计算方法进行分析、比较和评价.管中窥豹,见微知著,既可籍此讲述数学史上的第一次数学危机,又可介绍一些课本中没有涉及到的新方法,从而开启心智,致广大而尽精微.通过讨论与反思来提高思维能力和情感智慧,学生领悟科学计算魅力的同时,揭示小切口蕴藏着大视野,我们目前所掌握的方法可能是科学计算海洋中的沧海一粟,激励学生秉持“惟进步,不止步”的学习态度,恪守“没有最好,只有更好”的执著追求.又如,在讲授Hermite插值时,可考虑两个方面的自然延伸.一是,在简要介绍Hermite学术贡献的同时,顺便提及,Hermite培养了一个杰出学生,他的名字叫做Poincaré(庞加莱),由此引出著名的庞加莱猜想(Poincaré conjecture)以及与此猜想证明相关联的数学家传奇故事;二是,通过对两点三次Hermite插值的几何描述,顺理成章地切入到计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design 简称CAGD)领域基于控制多边形的几何建模思想方法,并启发同学们思考,控制多边形满足什么条件时,两点三次Hermite插值对应的控制多边形内切三次曲线与三点五次Hermite插值对应的控制多边形内切五次曲线均退化为同一条二次曲线(抛物线)?创新双语教学环境,应善于引经据典讲述与课程内容相关的数学家成长成才故事,营造轻松活泼、守正创新的优秀文化氛围,通过阐述本课程所蕴含的科学计算思想,让学生感知和领悟“算例、算法、算力”驱动的新一代人工智能技术[4]如何与数值分析方法密切关联.教师因与学生分享自己的知识而快乐,学生因向教师反馈他们的见解而满足,从而双向赋能,相互成就.

1.3 团队建设

数值分析教学团队结构优化、力量较雄厚,团队成员中享受国务院政府特殊津贴1人,安徽省2023年高端人才引育行动项目杰出人才1人、领军人才1人,安徽省教学名师3人,安徽省教坛新秀4人,合肥工业大学教学名师4人,合肥工业大学最受欢迎老师5人.青山载月素履往,不啻微芒化炬阳.主要成员多年从事数值分析课程教学,积累了丰富的教学经验,他们立德树人、教书育人、爱岗敬业、默默奉献,在高质量完成本科生和研究生教学任务的同时,还身体力行,积极参与教学研究和科学研究活动,取得了大批教研成果和科研成果,以自我心底之光,为青年教师点起微芒,照亮他们前行的方向.

团队围绕能力导向一体化教学体系,对照国家级一流本科课程建设标准“两性一度”的要求,在课程的高阶性、创新性、挑战度上不断探索,培养学生解决复杂问题的综合能力和高级思维,不断改革和创新教学方案设计,在三个“相统一”上做文章.首先,在课程内容上追求前沿性和时代性相统一,例如,在讲授多项式回归这个知识点时,穿插介绍数据挖掘、知识发现、云计算、机器学习等相关人工智能领域知识,使学生将所学内容与当代前沿热点紧密关联起来.其次,在教学形式上追求先进性和互动性相统一,每一次课堂教学中,都会设计一些问题向学生提问,增添了课堂的热烈气氛.最后,在学习结果上追求探究性与个性化的统一,这方面的主要举措体现在课堂测试上,代之于千人一卷的传统测试模式,按学号对学生进行分组,各组通过抽签方式获取测试题,测试题具有一定的探究性和开放性,学生在规定时间内完成测试题的解答后,在每一组随机请一位成员代表其所在的小组进行汇报.考评不拘泥于细节,而侧重于解题思路,设计这样的测试环节旨在有意识地培育团队意识、责任意识和协作精神,从而实现互学互鉴、共同进步.团队成员不断探索课程思政新方法新途径,坚持文化引领,坚持科研驱动,坚持创新导向,不断提高课程教学质量和团队的整体教学水平.

在数值分析双语示范课程建设过程中,积极吸纳新生代教师加入团队,致力于培养年轻的后备人才,努力建设一支学术造诣深、教学水平高、师德高尚、年龄结构和知识结构合理、充满活力和朝气的教学团队.

团队致力于改进和完善具有自我特色的教学方法,在保证高质量课堂教学质量的同时,通过指导学生参加各类创新创业训练计划项目、互联网+大赛、挑战杯等途径来不断提升团队的实践教学水平,多名本科生在团队成员指导下主持了国家级、省级和校级大学生创新创业训练计划项目,并在国际知名学术期刊上发表了英文论文.团队成员指导本科生的研究成果“基于高维分段线性插值函数的油藏参数反演”参加“挑战杯”比赛,获得了安徽省挑战杯一等奖、国家级挑战杯三等奖,该研究成果已集成到自主研发的软件中,得到了大庆油田的高度评价.

2 数值分析双语课程建设成效

数值分析双语课程经过十余年的建设,取得了一些可喜成效和值得分享的经验,形成的特色及教学改革创新点具体体现在以下“五个导向”.一是明确的双语导向.坚持使用英文教材,因材施教,注重营造良好的专业英语环境,不因面临困难而退却,不因环境变化而影响.在课堂教学过程中,灵活运用语言切换技巧,合理调控中英文的讲授比例;课后,通过QQ群适时地推送国外著名高校本课程对应内容的短视频,作为调味品,既可温故知新,又能满足好奇,不使学生因恐惧专业英语而对这门课程望而生畏.二是合理的目标导向.通过课堂提问等方式,引导学生心无旁骛地将注意力集中在对课程内容的理解、消化和吸收上,而不是将大量时间和精力花费在对英语语言的理解上,进而迷失方向.三是巧妙的问题导向.精心设计与课程内容密切相关的数值计算问题,定期开展课堂讨论活动和学术沙龙活动.例如,在学生学完多项式插值后,可针对诸如“如何计算π和ln2的近似值?”之类的问题,开展课堂讨论,教师在作点评时,可引导学生思考一些尚未学过的新方法,从而为后续相关内容的讲授巧妙地做好了铺垫.通过开展该项活动,不仅能够活跃课堂教学气氛,也能使学生更好地理解所学的数值分析内容,掌握必备的知识要点,增加学习的主动性,激发学习数值分析的浓厚兴趣,对学习后续内容充满期待,有利于培养学生的独立思考能力和创新精神,助力构建能力导向的知识体系.四是科学的方法导向.在课堂教学中,强调要以继承和发展的观点去学习、去思考.为此,必须在消化内容的基础上掌握方法,在掌握方法的基础上力图洞察方法背后的思想.经常给学生灌输“三要”理念,要把内容记在脑海里,要把方法铭刻在心中,要把思想融化在血液里.特别注重培养学生的批判性思维、创造性思维和开拓创新精神,引导学生多疑、多问、多思.告诫学生,学习数值分析不能仅仅满足于对内容的消化和对一些常规方法的掌握上,而应力图洞悉深层次的思想,思想应成为追求的最高境界.五是坚定的育人导向.不仅注重培养学生的国际视野,更注重厚植学生的家国情怀,引导学生树立正确的历史观、民族观、国家观、世界观、人生观、价值观和文化观.课程思政力求做到春风化雨、润物无声.例如,在讲授契比雪夫正交多项式时,首先,会阐明下述基本事实:契比雪夫是俄罗斯数学家、彼德堡学派创始人、莫斯科大学杰出校友,在莫斯科大学标志性主楼前的广场上矗立着十二座著名科学家和哲学家的雕像,契比雪夫位列其中.然后,以莫斯科大学标志性主楼作为切入点,沿着时光隧道追溯至一个闪光的历史瞬间,1957年11月17日,一代伟人毛泽东在莫斯科大学主楼大礼堂对数千名中国留学生发表了著名的演讲:“世界是你们的,也是我们的,但是归根结底是你们的.你们青年人朝气蓬勃,正在兴旺时期,好像早晨八九点钟的太阳.希望寄托在你们身上.”鼓励同学们珍惜韶华,不负青春,在努力学习掌握专业知识的同时,注重自己能力、人格、修养、意志等内在品质的塑造,使自己的思维视野、思想观念、认识水平跟上越来越快的时代发展,理解和适应快速变化的国际环境.

数值分析课程2009年被遴选为国家级双语示范课程,2021年被遴选为安徽省一流本科课程,2023年被遴选为国家级一流本科课程.“数值分析课程建设成果”2020年获安徽省教学成果奖一等奖,数值分析教学团队2020年被评为安徽省教学团队.

3 结 论

生如芥子,心藏须弥.历经十余载双语课程建设的探索与实践,数值分析教学团队在教材建设、教学改革、能力塑造等方面取得了一些初步成效,但距离课程建设目标依然任重道远.“千里不辞行路远,时光早晚到天涯”.课程团队坚定胸怀天下启智润心的执着,坚守言为士则行为世范的品质,坚持海纳百川弘道追求的信念,勤学笃行,和光同尘,砥砺深耕,履践致远,全心打磨双语合璧融合生辉的精品教材,全意建设追求卓越登高望远的一流团队,全力弘扬思接千载心游万仞的创新精神.“迎得春来非自足,百花千卉共芬芳”.但愿数值分析双语课程建设的探索与实践能为基础学科其他核心课程的国际化建设提供有益的借鉴.

致谢作者非常感谢审稿专家提出的宝贵意见.