定义、变形、性质、特殊、应用

赵紫杉

【摘要】抽象函数的奇偶性及其应用问题，是函数及其应用中最重要的一个环节.文章抓住抽象函数的奇偶性问题应用中的五个基本层面———定义、变形、性质、特殊、应用，通过对这“五剑客”的概括与归纳，抓住抽象函数的奇偶性这一基本性质的本质与内涵，结合实例与变式练习，就“五剑客”的综合与应用加以全面展开与剖析，希望为数学教学与学习提供参考.

【关键词】抽象函数；奇偶性；定义；变形；性质；特殊；应用

函数的奇偶性反映了函数图像的对称性以及函数的解析式之间的关系等，充分体现了数与形可以互相转化的思维，是进行数学分析和数学研究的有力工具，对函数部分的知识体系构建和综合应用具有纽带的作用.在具体解决问题中，解题者要充分把握函数奇偶性的本质与内涵，从不同思维层面入手，借助一些具体抽象函数的题设条件来分析与处理.但对于一些抽象函数的奇偶性问题，如何加以正确分析与判定，具有一定的解题规律与技巧方法，下面加以实例剖析.

一、定义是根本

函数奇偶性的定义是解决与之相关问题的根本所在，是解决抽象函数奇偶性问题的“第一剑客”.

根据函数奇偶性的定义，在相应的定义域关于原点对称的前提下，若f（-x）=f（x），则该函数为偶函数；若f（-x）=-f（x），则该函数为奇函数；若f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）同时成立，则该函数既是奇函数，也是偶函数；若f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.

例1 设函数F（x）=f（x）-f（-x）是定义在R上的函数，试判断函数F（x）的奇偶性.

分析 本题没有给出相应解析式的抽象函数，而要判断其奇偶性，必须利用函数的奇偶性的定义，利用题设条件判断求出F（-x），进而对比F（-x）与F（x）的关系.

解 由于函数F（x）的定义域为R，关于坐标原点对称，又F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），所以函数F（x）是奇函数.

点评 证明抽象函数的奇偶性必须利用函数奇偶性的定义，函数奇偶性的定义是根本.找准问题的突破方向，合理、灵活地变形与凑配对应的抽象函数关系式，找出f（-x）与f（x）之间的关系再进行分析与判断.

变式练习1 若a>0，函数f（x）（x∈[-a，a]）是奇函数，g（x）（x∈R）是偶函数，试判定F（x）=f（x）g（x）的奇偶性.

解 在f（x），g（x）的公共定义域[-a，a]内，任取一个x，则F（-x）=f（-x）g（-x），

又由于函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，

则有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），

那么F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），

所以F（x）=f（x）g（x）在[-a，a]上为奇函数.

二、变形是创新

函数关系式的恒等变形与转化，为解决抽象函数奇偶性提供条件，成为解决抽象函数奇偶性问题的“第二剑客”.

抽象函数的奇偶性的判断与证明问题，往往会通过对相应函数关系式的变形与转化，结合特殊值的代入、关系式的变形运用等，以创新的角度，结合函数奇偶性的定义来判断与证明相应函数的奇偶性.

例2 已知函數f（x）的定义域为R，对任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，试判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明.

分析 根据题设关系中的等式条件，通过特殊值的赋值处理确定f（0）的值，再通过y=-x进一步赋值处理，巧妙构建相应的关系式，进而借助函数的奇偶性的定义加以分析与判断，从而得以证明.

解 函数y=f（x）是奇函数.具体证明如下：

由于对任意x，y∈R，均有等式f（x+y）=f（x）+f（y）成立，令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，再令y=-x，则可得f（0）=f（x）+f（-x），由于f（0）=0，则有f（-x）=-f（x），故y=f（x）是奇函数.

点评 本题所证明的结论是一个比较常用的“二级结论”.对函数关系式的变形与转化及特殊值的代入与应用等，都是判断抽象函数的奇偶性中的重要环节.

变式练习2 函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.试判断f（x）的奇偶性并证明.

解 f（x）为偶函数.证明如下：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），那么有f（1）=2f（-1）=0，解得f（-1）=0，令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），所以f（-x）=f（x），故f（x）为偶函数.

三、性质是拓展

函数奇偶性的基本性质是依托其定义得到的一些等价关系，为解决问题起到优化作用，是解决抽象函数奇偶性问题的“第三剑客”.

抽象函数的性质与应用问题，是函数的基本性质及其应用中的拓展，可以很好地融合函数的基本性质、复合函数及函数运算等问题，从更高、更深的层面来拓展与应用，实现对基本性质的综合与思维的拓展.

例3 （多选题）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，则下列结论正确的是（ ）

A.函数f（x2）是偶函数

B.函数[f（x）]2是奇函数

C.函数f（x）·x2是偶函数

D.函数f（x）+x是奇函数

分析 根据题设条件，解题者可由函数的奇偶性入手，结合抽象函数的奇偶性定义与性质加以分类讨论，进而得以判断相关抽象函数的奇偶性.这里要注意自变量的平方与函数的平方之间的区别与联系，不要混淆.

解析 已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，则有f（-x）=-f（x），对于选项A，由于f[（-x）2]=f（x2），所以f（x2）是偶函数，故选项A正确；对于选项B，由于[f（-x）]2=[-f（x）]2=[f（x）]2，所以[f（x）]2是偶函数，故选项B错误；对于选项C，由于f（-x）·（-x）2=-f（x）·x2，所以f（x）·x2是奇函数，故选项C错误；对于选项D，由于f（-x）+（-x）=-[f（x）+x]，所以f（x）+x是奇函数，故选项D正确.故选择答案：AD.

点评 涉及抽象函数的性质与应用，解题者可以从定义入手，也可以性质切入，还可以两者综合，综合起来分析与处理一些相关的综合应用问题，特别在一些多选题以及一些开放性问题中经常涉及.

变式练习3 （多选题）对于定义在R上的函数f（x），下列命题正确的有（ ）.

A.若f（x）是偶函数，则f（-1）=f（1）

B.若f（-1）=f（1），则f（x）是偶函数

C.若f（-1）≠f（1），则f（x）不是偶函数

D.若f（-1）=f（1），则f（x）不是奇函数

解析 对于选项A，若f（x）是定义域为R的偶函数，则有f（-1）=f（1），则选项A正确；对于选项B，若f（-1）=f（1），不能保证对于其定义域中的任意元素x，都有f（-x）=f（x），f（x）不一定是偶函数，则选项B错误；对于选项C，若f（-1）≠f（1），则f（x）不是偶函数，则选项C正确；对于选项D，若f（-1）=f（1）=0，則f（x）可能为奇函数，故选项D错误.故选择答案：AC.

四、特殊是思想

一般与特殊是辩证唯物主义中的一类重要思想，在具体解题与应用中经常加以变化，成为解决抽象函数奇偶性问题的“第四剑客”.

抓住抽象函数中奇偶性的结构特征，合理构建一些相应的特殊函数，以特殊思维切入，特殊函数包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数与对数函数以及三角函数等，特别在解决一些抽象函数的对称性、周期性等问题时，经常借助三角函数的基本性质，选取吻合题设条件的特殊三角函数来分析与解决.

五、应用是本质

函数奇偶性的应用是解决与之相关问题的关键，是解决抽象函数奇偶性问题的“第五剑客”.

利用函数的奇偶性及其他相关的函数性质，可以用来处理一些应用问题，比如函数求值、方程的根的问题等，关键是正常理解与掌握函数的奇偶性的概念与特征，抓住要点加以分析与应用.

结 语

对于抽象函数的奇偶性问题，关键是利用函数奇偶性的概念，以定义为根本，以变形为创新，以性质为拓展，以特殊为思想，以应用为本质，合理构建函数与图像之间的关系，充分把握并联系抽象与具体之间的联系，正确分析并解决与抽象函数的奇偶性相关的综合应用问题.

【参考文献】

[1]胡芳举.导函数与原函数的奇偶性、对称性、周期性的关系[J].中学生数学，2023（17）：3-5.

[2]徐晓建，李祎.基于逻辑推理素养培养的数学教学设计：以“函数的奇偶性”教学为例[J].数学通讯，2023（14）：13-16.

[3]朱芷玲.数学概念教学的实践与思考：以“函数的奇偶性”教学为例[J].高中数学教与学，2023（10）：14-16.

[4]吴艳芹，马杰.畅言智慧课堂下的“函数奇偶性”主题教学设计[J].中学数学研究，2023（4）：8-11.