一类带有奇异项和临界增长的Schrdinger-Possion次椭圆方程正解的存在性

朱怡颖，索洪敏*，安育成, 张 鹏

(1.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025；2.贵州工程应用技术学院 理学院,贵州 毕节 551700；3.遵义师范学院 数学学院，贵州 遵义 563006)

一、引言和主要结果

文中我们在Heisenberg 群上考虑具有奇异和临界增长的Schrödinger-Possion 系统

Loiudice在文献[2]中考虑了如下的次椭圆方程

最近, Heisenberg 群上的微分方程的研究已经引起了许多学者的关注. 这是因为Heisenberg 群在力学,复变量,调和分析和偏微分方程中扮演了一个重要的角色,参见文献[7-10,13,14].

特别地, 在文献[1]中,An 等人在Heisenberg 群上研究了以下的Schrödinger-Possion 型系统

值得一提的是,在文献[21]中An 考虑了下列的奇异次椭圆方程

二、预备知识

本节介绍Heisenberg 群的相关知识, 更完整的叙述可以参见文献[15,16].记是拓扑维度为3 的Heisenberg Lie 群,即以R3作为背景流形的Lie 群,赋予如下运算法则

这里

其中

这里

左不变向量场的Lie 代数由以下向量场生成

在H1上的左不变距离dH定义如下

由文献[22]知函数

是方程

的正解.设r0是一个固定的正常数,使得,设

令

在证明定理1.1 之前,我们先回顾以下引理.

引理2.1[1]对每一个,存在唯一解满足

且有

(5)设是函数并且对任意的

设

令

并且

由上可得

设,有

使得

并且

从(2.4)和(2.5)可得

另一方面,通过(2.6),有

引理2.3 泛函I 在N 中是强制的并且是有下界的.

使得

证明:证明的方法与文献[20]的引理3.1 相似,下面给出证明.

成立.这里

由(2.8)式,有

并且

通过(2.14)式和Brézis-Lieb 引理可以得出

由Sobolev 不等式,有

一方面,通过(2.16)式和Young 不等式,得出

另一方面, 通过Brézis-Lieb 引理和(2.16)式, 有下式

由Fatou 引理,有

此外

系统1.1 存在第二个正解

证明：由[1]可知

可得

这里

由[1],有

设

有

使得

因此