具有输入时滞和预设性能的非线性系统有限时间动态面控制
2024-05-31夏晓南尹治林李春张鑫磊吴嵩
夏晓南 尹治林 李春 张鑫磊 吴嵩
DOI： 10.3969/j.issn.1671-7775.2024.03.010
開放科学（资源服务）标识码（OSID）：
摘要：针对一类具有输入时滞和动态不确定性的非严格反馈非线性系统的跟踪问题，提出一种新的基于预设性能的有限时间自适应跟踪控制方案.利用Pade逼近和辅助中间变量将有时滞系统转化为无时滞系统，采用由一阶辅助系统生成的动态信号处理未建模动态，引入双曲正切函数实现预设性能跟踪控制，并给出基于动态面控制方法的稳定性分析.在MATLAB环境中，以具有未建模动态和输入时滞的二阶非线性系统为例，对所提出的控制策略进行数值仿真.结果表明：所提出的控制方案能够避免现有有限时间控制所出现的虚拟控制求导奇异性问题，所有信号有限时间有界， 跟踪误差收敛到预设的时变区间，可见控制算法切实有效.
关键词： 非线性系统； 非严格反馈系统； 未建模动态； 输入时滞； 预设性能； 自适应控制； 动态面控制； 有限时间稳定
中图分类号： TP273 文献标志码： A 文章编号： 1671-7775（2024）03-0316-07
引文格式： 夏晓南，尹治林，李 春，等. 具有输入时滞和预设性能的非线性系统有限时间动态面控制［J］.江苏大学学报（自然科学版），2024，45（3）：316-322.
收稿日期： 2023-02-15
基金项目： 江苏省产学研合作项目（BY2021489）; 扬州市科技计划项目产业前瞻技术研发项目（YZ2021022）; 扬州大学2022年创新创业“扬帆计划”项目（YZYF202220）
作者简介： 夏晓南（1970—），女，江苏镇江人，副教授（xnxia@yzu.edu.cn），主要从事自适应控制与智能控制研究.
尹治林（2002—），男，重庆垫江人，本科生（共同一作，2973479175@qq.com），扬帆计划项目主持人，主要从事系统建模与仿真研究.
Finite-time dynamic surface control for nonlinear systems with
input delay and prescribed performance
XIA Xiaonan， YIN Zhilin， LI Chun， ZHANG Xinlei， WU Song
（College of Information Engineering， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225127， China）
Abstract： A new finite-time adaptive tracking control scheme based on prescribed performance was developed to solve the control problem of non-strict feedback systems with input delays and dynamic uncertainties. The time-delay systems were transformed into delay-free systems by Pade approximation and auxiliary intermediate variable， and the unmodeled dynamics was handled by the dynamic signal generated by the first-order auxiliary system. The prescribed performance adaptive tracking control was implemented by the hyperbolic tangent function， and the stability analysis was presented based on dynamic surface control method. Taking the second-order nonlinear system with unmodeled dynamics and input delay as example， the numerical simulation of the proposed control strategy was conducted in MATLAB environment . The results show that the proposed control scheme can avoid the singularity in the derivation of virtual control， and all signals in the closed-loop system are bounded in finite time. The tracking error can converge to prescribed time-varying region， and the control algorithm is effective.
Key words： nonlinear system; non-strict feedback system; unmodeled dynamics; input delay; prescribed performance; adaptive control; dynamic surface control; finite-time stability
非线性系统的自适应控制一直是控制理论研究的热点问题.文献［1-2］研究了复杂分数阶非线性系统的自适应控制问题.近年来，非线性系统的有限时间控制问题逐渐得到控制领域学者的普遍关注.有限时间控制是系统的状态在有限时间内趋于稳定，然后保持在稳定状态.对于非线性系统，文献［3］利用李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数求解了时变时滞系统的有限时间稳定性.文献［4］综述了非线性系统的有限时间控制方法.文献［5］研究了一类严格反馈非线性系统的有限时间问题.文献［6-7］研究了基于后推设计的不同系统的有限时间控制.然而，后推技术可能会导致计算复杂度问题.文献［8］采用动态面控制，降低了控制器复杂度，但文献［8］中仍然存在奇异性问题.文献［9］研究了具有全状态约束的非线性系统有限时间控制问题，预设性能控制和输出约束都是要求系统满足稳定性能的同时保证瞬时性能.文献［10-11］针对具有输入故障的非线性系统给出了基于命令滤波器的有限时间控制方案.文献［12］基于后推技术构造了自适应预设性能跟踪控制器，利用雙曲正切函数的有界性进行了误差变换.上述文献都未考虑输入时滞对控制系统的影响.
输入时滞是核反应堆、电网和生物系统等许多实际工程中经常遇到的普遍现象.输入时滞可能导致闭环系统性能下降甚至不稳定.文献［13-14］基于Pade近似信息处理输入时滞，对于较小的已知输入时滞是一种有效的处理方法.与现有文献比较，文献［11-12］没有考虑输入时滞问题，文献［5-8］只考虑了有限时间控制，没有考虑预设性能控制和系统存在输入时滞问题，文献［13-14］没有考虑有限时间控制和预设性能控制.
文中受文献［13-14］的启发，在利用Pade逼近的方法并引入中间变量对含输入时滞的非严格反馈系统进行变换基础上，考虑系统具有动态不确定性，基于预设性能和动态面控制方法，提出有限时间自适应跟踪控制方案.文中拟利用Pade逼近、加项减项、对数变换方法分别处理系统中的输入时滞、非严格反馈及预设性能问题，并给出基于动态面控制方法的有限时间控制器设计策略和稳定性证明.
1 问题描述与基本假设
考虑如下含未建模动态的纯反馈非线性系统：
h·=Q（h，x，t），
x·i=fi（xi，xi+1）+di（h，x，t），i=1，2，…，n-1，
x·n=fn（xn）+u（t-τ）+dn（h，x，t），
y=x1，（1）
式中：状态向量xi=［x1x2…xi］T∈Ri， i=1，2，…，n，x=xn;输出信号y∈R；u（t-τ）是时滞为τ的输入信号；fi（xi，xi+1）、fn（xn）是光滑未知函数；h∈Rn0是未建模动态；Q（h，x，t）是由满足Lipschitz条件的未知连续函数组成的向量；di（h，x，t）是未知扰动，i=1，2，…，n，n≥2.
控制目标是对系统（1）设计自适应控制u（t）， 使得输出y跟踪给定期望轨迹yd， 闭环系统所有信号在有限时间半全局一致终结有界， 且满足预设性能.
假设1［15］ 参考输入Xd=［yd y·d y··d］T∈Ωd光滑可测，且Ωd={xd：y2d+y·2d+y··2d≤B0}，B0为已知正常数.
假设2［15］ 未建模动态h为指数输入状态实用稳定，即对系统h·=Q（h，x，t），存在K∞函数α1、α2和Lyapunov函数V（h）使得
α1（‖h‖）≤V（h）≤α2（‖h‖）， （2）
V（h）hQ（t，h，x）≤-cV0（h）+γ（|x1|）+dr（3）
成立，其中c>0，dr≥0是已知常数，γ（·）是已知K∞类函数.
假设3［15］ 存在未知非负连续函数Δi1（·）和非减连续函数Δi2（·）使得|di（h，x，t）|≤Δi1（‖xi‖）+Δi2（‖h‖），其中Δi2（0）=0，i=1，2，…，n.
引理1［15］ 对于系统h·=Q（h，x，t），如果V是指数输入状态实用稳定函数，即式（2）、（3）成立，则对任一常数c∈（0，c），任一初始条件h0=h（t0），r0>0，任一连续函数γ（|y|）≥γ（|y|），存在有限时间T0=max{0，ln［V（h0）/r0］/（c-c）}≥0和非负函数D（t0，t），设计信号r·=-cr+γ（‖xi‖）+dr，r（t0）=r0，使得当D（t0，t）=0，有V（h）≤r（t）+D（t0，t），D（t0，t）=max{0，e-c（t-t0）V（h0）-e-c（t-t0）r0}.不失一般性，假设γ（‖xi‖）=γ（‖xi‖）.
引理2［10］ 对于非线性系统x·=f（x），如果存在正定C1函数V（x）：Rn→R，紧集ΣRn，K∞类函数ζ1，ζ2，以及常量α>0，β>0，0 Tr=t0+1α（1-q）lnαV1-m（x0）+νβνβ. 引理3［12］ 对于η1，η2，…，ηN∈R+以及0 在紧集ΠZi上利用径向基函数神经网络逼近未知函数Φi（Zi），即Φi（Zi）=θ*iTφi（Zi）+εi（Zi），其中基函数向量φi（Zi）=［φi1（Zi）φi2（Zi）…φili（Zi）］T∈Rli，φij（Zi）可选为以φij和μij为宽度和中心的高斯函数φij（Zi）=exp-（Zi-μij）T（Zi-μij）φ2ij，i=1，2，…，n;j=1，2，…，li，li是节点数量，理想权值θ*i=argminθi∈Rli（supZi∈ΩZi|θTiφi（Zi）-Φi（Zi）|）. 2 预设性能变换与Pade逼近 引入预设性能函数（t）=（0-∞）e-k0t+∞，其中0、∞、k0是正的设计常数，且0>∞.跟踪误差e1=y-yd需要满足-kc（t） S·=1kc（t）（1-tanh2S）e·1- e1·2kc（t）（1-tanh2S）-k·c（t）tanh Skc（t）（1-tanh2S）.（4） 为方便表示，定义 m（t）=1kc（t）（1-tanh2S）>0， n（t）=-e1·2kc（t）（1-tanh2S）-k·c（t）tanh Skc（t）（1-tanh2S），（5） 因此，S·=m（t）e·1+n（t）. 利用Pade逼近處理较小的输入时滞，用（·）表示拉普拉斯变换，即 {u（t-τ）}=e-τq（u（t））= e-τq/2eτq/2（u（t））≈1-τq/21+τq/2（u（t）），（6） 式中：q是拉氏变换因子.引入中间变量xn+1，则有 （xn+1（t））-（u（t））=1-τq/21+τq/2（u（t）），（7） 即 2（u（t））=（xn+1（t））+τq（xn+1（t））/2.（8） 令J=2τ，则有 x·n+1=2Ju-Jxn+1.（9） 3 自适应有限时间控制 系统（1）转换成如下形式： h·=Q（h，x，t）， x·i=Fi（xi+1）+xi+1+di（h，x，t）， x·n=Fn（xn）-u+xn+1+dn（h，x，t）， xn+1=2Ju-Jxn+1， y=x1，（10） 式中： Fi（xi+1）=fi（xi，xi+1）-xi+1，i=1，2，…，n-1；Fn（xn）=fn（xn）. 定义误差系统为 z1=S， zi=xi-ωi，i=2，3，…，n-1， zn=xn-ωn+xn+1/J，（11） 式中： ωi是滤波器τω·i+ωi=αi-1的输出，αi-1为该滤波器输入，i=2，3，…，n. 定义如下记号： λi=‖θ*i‖2，λ～i=λ^i-λi，zi=［z1z2…zi］T，yj=［y2y3…yj］T，λ^i=［λ^1 λ^2… λ^i］T，1≤i≤n，2≤j≤n，其中λ^i为λi的估计，yj=ωj-αj-1.定义Lyapunov函数Vi=12z2i+12λ～2i. 动态面控制器设计步骤分为n步.其中第1步的设计过程如下： z·1=m（t）（F1（x2）+y2+z2+α1+ d1（t，h，x）-y·d）+n（t）.（12） V1的导数为 V·1=z1［m（t）（F1（x2）+y2+z2+α1+ d1（t，h，x）-y·d）+n（t）］+λ～1λ^·1.（13） 利用Young不等式、假设3和引理1，可得 z1m（t）d1（t，h，x）≤ z1m（t）［Δ11（|x1|）+Δ12（‖h1‖）］≤ z21m2［Δ11（|x1|）+Δ12α1（r+D0）］2+14，（14） z1z2m（t）≤14z21m2+z22，（15） z1y2m（t）≤14z21m2+y22.（16） 令Φ1（Z1）=mF1（x2）-my·d+z1m2［Δ11（|x1|）+Δ12α-11（r+D0）］2+n（t），其中Z1=［xT2z1yd y·d·kc（t） k·c（t）r］T.利用Young不等式，可得z1θ*1Tφ1（Z1）≤‖φ1（Z1）‖2z21λ12a21+a212，其中a1是正常数. 构造虚拟控制律和自适应律如下： α1=-1mk1+1+12m2z1+k1zq1+‖φ1（Z1）‖2z1λ^12a21，（17） λ^·1=‖φ1（Z1）‖2z212a21-σ1λ^1，（18） 式中： σ1>0、k1>0是设计常数. 非负连续函数δ1（z2，λ^1，yd，y·d，y2，r，kc（t），k·c（t））满足 ε1（Z1）≤δ1（z2，λ^1，yd，y·d，y2，r，kc（t），k·c（t））.（19） 由Young不等式，可得 z1ε1≤z21+14δ21，（20） -σ1λ～1λ^1≤-σ12λ～21+σ12λ21.（21） 因此，可得 V·1≤-k1z21-k1z1q+1+y22+z22-σ12λ～21+σ12λ21+a212+14+14δ21.（22） 第i步的设计过程如下： z·i=Fi（xi+1）+yi+1+zi+1+αi-ω·i+di（t，h，x），（23） V·i=zi［Fi（xi+1）+yi+1+zi+1+αi-ω·i+ di（t，h，x）］+λ～iλ^·i.（24） 令Φi（Zi）=Fi（xi+1）-ω·i+zi［Δi1（‖xi‖）+Δi2α-11（r+D0）］2，其中Zi=［xTi+1ziyir］T.构造虚拟控制律和自适应律如下： αi=-kizi-kizqi+‖φi（Zi）‖2ziλ^i2a2i，（25） λ^·i=‖φi（Zi）‖2z2i2a2i-σiλ^i，（26） 式中： σi>0、ki>0是設计常数.将式（25）和（26）代入式（24），可得 V·i≤-ki-32z2i-kiziq+1+14δ2i+z2i+1+ y2i+1+12a2i-σi2λ～2i+σi2λ2i+14.（27） 由控制误差定义，可知y·i=ω·i-α·i-1=-yiτi-α·i-1，存在非负函数ηi（zi+1，yi+1，λ^i，yd，y·d，y··d，r，kc（t），k·c（t），k··c（t），，·，··）满足 |y·i+yiτi|≤ηi（zi+1，yi+1，λ^i，yd，y·d，y··d，r，kc（t）， k·c（t），k··c（t），，·，··）.（28） 因而，可以得到 yiy·i≤-1τiy2i+y2i+14η2i.（29） 第n步的设计过程如下： 由zn=xn-ωn+xn+1/J，可得z·n=Fn（xn）+u+dn（h，x，t）-ω·n.类似地，设计 u=-knzn-knzqn+‖φn（Zn）‖2znλ^n2a2n，（30） λ^·n=‖φn（Zn）‖2z2n2a2n-σnλ^n，（31） 式中：σn>0、kn>0是设计常数.由式（30）、（31），可得 V·n≤-（kn-12）z2n-knznq+1+14δ2n+12a2n- σn2λ～2n+σn2λ2n+14.（32） 由y·n=-ynτn-α·n-1可知存在非负函数ηn（zn，ynλ^n，yd，y·d，y··d，r，kc（t），k·c（t），k··c（t），，·，··）满足|y·n+ynτn|≤ηn（zn，yn，λ^n，yd，y·d，y··d，r，kc（t），k·c（t），k··c（t），，·，··）.因而，可以得到 yny·n≤-1τny2n+y2n+14η2n.（33） 4 主要结果 构造总的李雅普诺夫函数如下： V（X）=∑ni=1Vi+∑ni=212y2i.（34） 定义紧集： Ω={［zTn yTn λ～Tn］T：V≤P}Rpn，（35） Ωkc={［kc k·c k··c］T：k2c+k·2c+k··2c≤Pkc}，（36） 式中：X=zTn yTn λTnT；P是任意给定常数；pn=3n-1.连续函数ηi（·）和δi（·）在紧集Ω×Ωkc上的最大值分别为Mi和Ni. 定理1 考虑由系统（1）、假设1和3、控制律（30），虚拟控制律（17）和（25），以及自适应律（18）、（26）和（31）构成的闭环系统.如果初始条件满足V（0）≤P，则存在设计常数σi、τi和ki使得闭环系统所有信号有界，且跟踪误差e（t）能收敛到预设紧集（-kc（t），kc（t）），其中设计常数σi、τi和ki满足下面的不等式： ki>52+a2，1≤i≤n， 1τi>94+a2，2≤i≤n， a=min12σi，1≤i≤n， b=min（2mkmin，2m-2σi，2m-2）.（37） 证明 引入常数m∈（0，1］，m=μ+12，对V求导并做如下变换： V·≤-∑ni=1ki-52z2i-kmin∑ni=1z2mi+14∑ni=1δ2i- ∑ni=21τi-2y2i-∑ni=1σi2λ～2i+∑ni=1σi2λ2i- ∑ni=114σi（λ～2i）m+∑ni=114σi（λ～2i）m-∑ni=214y2im+ ∑ni=214（y2i）m+14∑ni=2η2i+12∑ni=1a2i+n4，（38） 式中： kmin=min{ki}>0，i=1，2，…，n. 14σiλ～2im≤14σiλ～2i+14σi1-mmm1-m， 14y2im≤14y2i+141-mmm1-m.（39） 将式（39）代入式（38），得到 V·≤-∑ni=1ki-52z2i-kmin∑ni=1z2mi+14∑ni=1δ2i- ∑ni=21τi-2y2i-∑ni=1σi2λ～2i+∑ni=1σi2λ2i- ∑ni=114σi（λ～2i）m+14σiλ～2i-∑ni=214（y2i）m+ 14y2i+14（1+σi）（1-m）mm1-m+ 14∑ni=2η2i+12∑ni=1a2i+n4.（40） 如果V（X）≤P，zn、yn、λ^n是有界的.由式（25）和（30），得到αi和u是有界的，由yi=ωi-hi-1，得到ωi是有界的.根据xi=zi+yi+αi-1，得到xi有界.因此ηi（·）和δi（·）在紧集Ω×Ωkc上分别有最大值Mi和Ni.因此，可以得到 V·≤-aV-bVm+μ，（41） 式中：μ=12∑ni=1a2i+∑ni=1σi2λ2i+∑ni=114N2i+∑ni=214M2i+4（1+σi）（1-m）mm1-m+n4. 如果V（X）=P及满足b>μPm，由于a>0，则V·（X）≤0.因而对于t≥0，如果V（X（0））≤P，则存在V（X）≤P.因此，如果V（X（0））≤P初始条件满足，类似于上述的讨论，由引理2，可以得到闭环系统所有信号在有限时间内半全局一致终结有界，有限时间为Tr=1a（1-m）lnaV1-m（0）+νbνb. 5 仿真结果 本节针对动态模型 z·=-z+0.5x21， x·1=x31+x2+z2sin x1， x·2=x1x22+u（t-τ）+x1z， y=x1，（42） 给出仿真实例，验证所提出方案的有效性. 期望轨迹选为yd=0.5sin t.输入时滞τ=0.1 s，（t）=0.7e-3t+0.1;时变约束函数kc（t）=0.7+0.2cos t，动态信号设计为r·=-r+1.5x31+0.8. 初始条件设置如下：x1（0）=0.2，x2（0）=0.1，x3（0）=0.15，λ^1（0）=0.1，λ^2（0）=0.6，λ^3（0）=0.3，ω2（0）=0.1，r（0）=0.3，z（0）=0.1，l1=l2=10. 设计参数设置如下：k1=2，k2=50，a1=a2=1，σ1=0.1，σ2=0.1，τ2=0.3，m=0.5.仿真结果如图1-4所示. 6 结 论 1） 文中针对具有输入时滞、未建模动态和预设性能的非严格反馈非线性系统，提出了一种新的有限时间自适应控制方案. 2） 利用Pade逼近和辅助中间变量处理输入时滞，结合相应的Lyapunov函数，解决了具有输入时滞系统有限时间控制设计和稳定性分析问题.利用双曲正切函数的特性构造了一个可逆非线性映射处理预设性能. 3） 理论分析表明，控制系统所有信号在有限时间内都有界，系统的跟踪误差可以收敛到规定的时变区域. 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