如何求最短运动时间

张燕飞

最短运动时间问题是力学习题中较为常见的问题，遇到此类问题应该如何处理呢？下面总结了几种常用方法，供同学们参考。

一、图像法

图像法能够直观、形象、简洁地展现两个物理量之间的关系，清晰地表达物理过程，正确地反映实验规律。利用图像法需要注意：（1）图像坐标，弄清图像反映了哪两个物理量之间的关系，明确图像坐标表示的物理量的单位;（2）图像的变化，根据图像的走向确定一个物理量随着另一个物理量变化的趋势;（3）图像的斜率，根据斜率的数学定义k=Δy/Δt和物理概念的定义确定图像斜率的物理意义，如位移—时间图像（不论直线、曲线）的斜率k=Δx/Δt，根据速度的定义式v=Δx/Δt 可知，图像上某一点的切线斜率等于这一时刻物体的瞬时速度，图像上两点连线的斜率表示这段时间内物体的平均速度;（4）截距，明确图像与横轴或纵轴交点坐标的物理意义，如在闭合电路中路端电压随电流的变化图像中，纵轴截距表示电源的电动势，横轴截距表示短路电流;（5）面积，明确图像与横轴（纵轴）所围图形的面积的物理意义，如F-t 图像与横轴所围图形的面积S=Ft 表示力F 在时间t 内的冲量;（6）交点，当同一个坐标系中有两个相交图像时，交点坐标表示两个过程中的共同的物理状态，如两个速度—时间图像的交点坐标表示在这一时刻两物体具有相同的速度，表示U=E-Ir 和U =IR 的两个U-I 图像的交點坐标表示电阻为R 的元件与电动势为E、内阻为r 的电源构成闭合回路时的工作状态。

例1 质点从甲地由静止出发到乙地停下，加速过程与减速过程的加速度大小均为1 m/s2，已知甲、乙两地相距100 m。求质点从甲地到乙地所用的最短时间。

解析：质点从甲地由静止出发到乙地停下，若想质点的运动时间最短，则需利用图像法分析质点的运动状态。作出质点的v-t 图像如图1所示，观察图像可以发现，通过相同的路程（v-t 图像与横轴所围图形的面积相同），质点先做匀加速运动后做匀减速运动，所用的时间最短。质点在加速过程与减速过程中的加速度大小相同，根据对称性可知，质点做匀加速运动和匀减速运动所用的时间均为t/2，质点做匀加速运动产生的位移大小和做匀减速运动产生的位移大小相同，则x=2×1/2a（t/2）2，其中x=100 m，a=1 m/s2，解得t=20 s。

二、物理公式法

物理公式法是适用于大部分最短运动时间问题的求解方法。利用物理公式法需要注意：（1）过程分析，若没有最大速度限制，则物体直接以最大加速度做匀加速运动;若有最大速度限制，则需先以最大加速度做匀加速运动达到某个速度（小于或等于最大速度），再以此速度做匀速运动;若要求到达目的地时的速度为零，则还需要以最大加速度做匀减速运动，使得物体到达目的地时恰好减速为零。