HARA效用下考虑DC养老金带有死亡和伤残返还条款的最优投资问题

杨铭 夏登峰 徐文静 韩雪伟

摘要：考虑了一个带有死亡和伤残返还的DC型养老金计划的最优投资问题。以终端财富期望效用最大化为目标，利用动态规划原理建立相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，在双曲绝对风险厌恶（HARA）效用函数下得到最优解，通过数值模拟分析重要参数对最优投资策略的影响。

关键词：DC型养老金模型；死亡返还；伤残返还；HARA效用；HJB方程

中图分类号：F830.59文献标志码：A文章编号：1001-2443（2024）02-0112-06

引言

当前，人口老龄化问题影响着社会保障体系的可持续性，凸显了养老管理的重要性。 固定缴款（Defined Contribution， DC）养老金计划是养老金计划的主要类型之一，与固定收益（Defined Benefit， DB）养老金计划相比，DC养老金计划在减轻压力方面具有明显的优势，它将经济和寿命风险从发起人转移到退休人员身上。 在DC养老金计划中，成员持续向养老基金缴纳预定数额的钱或其工资的固定比例，并根据基金投资组合的回报，在退休时领取福利。

Vigna和Haberman［1］ 开创性的提出了离散养老金，随着时间推移让投资经理找到每年的最优投资策略；Thomson［2］ 研究了期望效用最大化理論，并且首次采用连续时间随机动态规划方法获得到了养老金参与者退休前的最优投资策略；Devolder等［3］ 在Asset-Liability-Management（ALM）约束下求得最优投资策略；Deelstra等［4］ 基于Cox-Ingersoll-Rossmodel（CIR）利率引入最低保障，得到终端财富必须大于最低保障的最优投资策略； Gerrard等［5］ 应用随机最优控制研究了养老金参与者定期定量提取金额的最优投资策略；Xiao等［6］ 巧妙地利用勒让德变换和对偶理论，找到了DC养老计划最优策略的显性解；Shao等［7］ 研究了在混合随机波动模型下考虑通货膨胀风险和随机工资的DC型养老金最优投资策略。

另外在效用函数理论研究中，Boulier等［8］ 在常系数相对风险厌恶（CRRA）幂效用函数下探析了担保福利在随机利率下的最优管理问题；Cairns等［9］ 在幂效用函数下对比了不可对冲的工资风险的最优资产配置策略；李春丽和蔡玉杰［10］ 在对数效用函数下研究了资产组合的最优长期投资和最优消费问题；Gao［11］ 在常系数绝对风险厌恶（CARA）指数效用函数下采用了扩展的几何布朗运动的恒定方差弹性（CEV）模型研究了DC型养老的最优投资组合问题；常浩等［12］ 将最优控制理论与勒让德变换－对偶理论相结合得到了最具代表性的HARA效用下的DC养老金的投资方案；马娟［13］ 在股票价格服从Heston随机波动率模型下研究了带有HARA效用函数的资产负债管理问题。

同时在实际研究过程中我们发现，当涉及到养老金计划的设计时，死亡率是一个至关重要的参数，具有极强的现实意义，于是不少的DC养老金计划都为此设计保费返还条款，以此来保护退休前发生意外的成员的权益。 在这类保费返还条款中，死亡的成员可以按照预先签订的合同以约定好的金额返还保费，这之间产生的差额将在幸存的成员中均额分配。因此，基金规模的变化不仅会受到金融市场的影响，还受到参保成员死亡风险的影响。 据我们所知，He和Liang［14］ 首先将保费返还条款引入到DC养老金计划的资产配置中；Li等［15］ 考虑了具有违约风险的恒定方差弹性（CEV）模型中的保费返还条款；在多期框架下，Bian等［15］ 讨论了保费返还条款和DC养老金计划中的制度和转换现象的影响；陈佳辰等［17］ 首次在带有保费返还条款的DC养老金中考虑投保人伤残意外情形。

本文在王远野等［18］ 研究结果的基础上，引入投保人意外伤残情形，为了保障这类投保人的权益，应当给予意外返还。在HARA效用函数下，得到投保人发生死亡和伤残情形下带有保费返还的最优投资策略，最后通过数值模拟分析重要参数对该最优策略的影响。

1 建立模型

设定[（Ω，?，?tt≥0P）]是一个完备概率空间，[?t]为市场上截止到时刻[t]的信息流，所有随机过程均为[{?t，t∈[0，T]}]适应的。市场上有一种风险资产（股票）和另外一种无风险资产（债券）两种资产被基金管理者选择。

无风险资产[S0]在[t]时刻的价格过程为

其中，[r（t）]是在[t]时刻的市场无风险利率。

风险资产被定义为[S1]，[t]时刻的价格过程服从几何布朗运动

在DC型养老金模型中，设在积累阶段养老基金的持有者单位时间内缴纳的保费为[L]，初始时刻为[ω0]，终止时刻[ω0+T]。在这个时间段[[0，T]]内，管理者为了使得基金财富值增加，会以投资比例分别为[π（t）]和[1-π（t）]投资在股票和债券上获取收益。基金持有者在退休时领取福利，为了保障在累积阶段发生死亡以及未死亡但存在伤残情形的基金持有者的权益，本文将保费返还引入养老金计划。死亡的投保人可以获得合同上约定的赔偿，同理，当被保险人发生身体伤残事故时，也可以获得一定的赔偿。假定[M]是合同约定的死亡赔偿，[Δtqω0+t]表示年龄为[ω0+t]的人在时间段[[ω0+t，ω0+t+Δt]]内死亡的概率。当基金持有者死亡，基金赔付值与积累值的差额将在存活基金持有者账户进行平均分配。意外伤残赔付，由一个复合泊松过程进行刻画，此时投保人没有死亡，赔付后的差额将不会在存活的基金持有者账户上进行分配。

2 HJB方程和最优投资策略

3 数值分析

本节进行数值模拟分析，分析重要参数对于最优决策的影响。本文参数设定参考陈佳辰等［17］ 和王远野等［18］ 研究结果的数值设置，本文的参数设置如下表。

4 总结和展望

本文考虑了一个带有返还条款的DC型养老金计划的最优投资问题，保障了发生死亡和伤残情形基金持有者的权益。通过数值模拟分析了重要参数对最优投资策略的影响，结果表明模型参数对投资策略的影响符合实际市场，具有一定的经济意义。鉴于通胀对经济影响较大，本文将进一步研究，考虑通货膨胀对最优投资策略的影响。

参考文献

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Optimal Investment Problem for DC Pension Plan with the Death and Disability Return Clause under HARA Utility

YANG Ming， XIA Deng-feng， XU Wen-jing， HAN Xue-wei

（School of Mathematics-Physics and Finance， Anhui Polytechnic University， Wuhu 241000， China）

Abstract： This paper considers the optimal investment problem of a DC pension plan with death and disability returns. Taking the utility maximization problem of terminal wealth expectation as the goal， the corresponding Hamilton Jacobi Bellman （HJB） equation is established by using the principle of dynamic programming. The optimal solution is obtained under the Hyperbolic Absolute Risk Aversion （HARA） utility function， and the impact of important parameters on the optimal investment strategy is analyzed through numerical simulation.

Key words： DC pension model; death return; disability return; HARA utility; HJB equation

（責任编辑：马乃玉）