如何基于平均分理解分数与除法的关系

吴荻

在教学五年级“分数与除法的关系”一课时，应重视学生对“a÷b=[ab]（b≠0）”这一关系本质的理解，而非仅仅让学生进行形式记忆。如何帮助学生基于平均分从本质上理解分数与除法的关系？具体可以设计如下教学过程。

一、平均分饼回顾数量关系

1.教师出示问题：在图1中，4个同学分月饼，平均每人分到几个月饼？

让学生根据图1分别列式计算。

2.分一分，比较异同。

引导学生发现图1中的数量关系为：月饼总个数÷人数=每人分到的月饼个数。

根据图式分别得到：8÷4=2（个）；4÷4=1（个）；1÷4=[14]（个）。

3.回顾梳理：1÷4表示什么意思？得到1÷4表示把1个月饼平均分成4份，每份是这个月饼的[14]，也就是[14]个月饼。

二、动手操作感知不同分法

1.教师呈现学习任务一：把3个月饼平均分给4个人，每人分到多少个月饼？先用圆形纸片代替月饼，用手折一折，再画一画分的过程和结果。

2.学生先独立思考操作，再全班交流反馈。

（1）呈现分法①（如图2）。

思考：为什么要把每个月饼平均分成4份？

（2）呈现分法②（如图3）。

思考：分法②和分法①有什么不同？

交流讨论后发现：分法①是将月饼一个一个地分，分法②是将3个月饼叠起来一起分。

（3）呈现分法③（如图4）。

思考：这种分法可以吗？每人得到多少个月饼？分得的结果一样吗？

交流讨论后发现：分法③是分两步分，先将2个月饼看作一个整体平均分成4份，每份[12]个；再将剩下的1个月饼平均分成4份，每份[14]个；最后将[12]个月饼和[14]个月饼合起来，得到每份是[34]个月饼。

3.比较三种不同分法，思考：有什么异同？

学生发现：分法①是按单个分，分法②是按整体分，方法③是分步分。无论怎样分，都可以得到3÷4=[34]（个）。

三、想象操作建立分数模型

1.教师呈现学习任务二：5个月饼平均分给4个人，每人得到多少个月饼？

（1）猜想：5÷4可能是多少？

（2）思考：想象分的过程与结果。

（3）操作：验证结果是否正确。

2.交流反馈。学生用按单个分、整体分、分步分等分法都可以得到：5÷4=[54]（个）或5÷4=（4+1）÷4=1+[14]=1[14]（个）。

3.建立模型。

（1）教师出示算式：7÷4= 、9÷4= 、11÷5= 、a÷b= 。

提出要求：先想象平均分的过程，再尝试用分数表示计算结果，最后说一说你是怎样想的。

（2）全班交流。

预设：7÷4就是把7个月饼平均分成4份，求每份是多少个月饼。具体而言，可以将每个月饼平均分成4份，每份是[14]個，分7次，每份就是7个[14]，也就是[74]个月饼；也可以把7个月饼叠起来平均分成4份，每份有7个[14]，就是[74]个月饼。

由此，学生依次得到：7÷4=[74][、]9÷4=[94][、]11÷5=[115][、]a÷b=[ab]。

（3）解释：为什么a÷b=[ab]？对a和b有什么要求？

预设：a÷b表示“把a个月饼平均分成b份，求每份是多少个月饼”。具体而言，可以把每个月饼平均分成b份，每份是一个月饼的[1b]，分a个月饼后每份就是a个[1b]，也就是[ab]个月饼；也可以把a个月饼叠起来平均分成b份，每份有a个[1b]，就是[ab]个月饼。因为b是除数，也就是分母，所以b≠0。

（4）总结分数与除法的关系：a÷b=[ab]（b≠0）。

以上教学过程充分抓住平均分的意义，通过从实践操作到想象操作的逐步引导，帮助学生更好地建立分数与除法的关系，从本质上理解a÷b=[ab]（b≠0）。

（杭州师范大学第一附属小学）