基于GGB软件技术的可视化高中数学课堂构建

郑惠 曹欣楠

摘要：教育数字化时代背景下，随着新课程改革的不断推进，教师将信息技术广泛应用于教育教学当中，可以促进学生学科素养的培养。特别是在高中数学教学当中，对GeoGebra（以下简称“GGB”）软件的良好应用，可以提高教学效率。GGB软件有助于教师完成可视化的数学课堂教学，创新数学课程的教学模式，培养学生“数据分析”核心素养。

关键词：GeoGebra；高中数学；可视化课堂

GGB软件是一款动态的教学软件，在绘图时涵盖了点、直线、线段、多边形、向量、圆锥曲线和函数等基本元素，这些绘图元素均可在创建后直接在屏幕上或者使用命令动态改变。与传统的几何画板相比，GGB软件可完成几何画板的一切相关功能，并且非常显著地简化了操作过程，即可将教师难以口头表达或板书不易展现的抽象知识动态展现给学生，充分提高数学课堂的教学效率。

一、以GGB软件促进统计的可视化教学

（一）随机数表法的前期准备

在人教B版高中数学教材必修二“数据的收集”一课中，列举了常见的简单随机抽样方法：抽签法、随机数表法。对于随机数表法，学生只能通过教材第60页的随机数表进行简单地了解和使用，这一过程其实是比较抽象的，而通过GGB软件直接生成随机数，学生在具体实践中可以感受到数据的冲击及数字化的魅力。教材提供了“在Excel中多次使用RANDBETWEEN函数，从1，2，……，90中抽出5个数”的例子（见教材60页），运用类比的方法，GGB软件也可以生成均匀分布随机数、泊松分布随机数、正态分布随机数等，学生在实践中可以感受大数据时代信息技术功能的强大。

【案例一】

师：（演示操作GGB软件）请大家生成一组从1到100、样本数量为10的均匀分布随机数。

生：利用GGB软件，只要确定好想选择的随机数类别、起始数、终值数、样本数量，就能随机生成数据，每按一次“回车键”，数据就会改变一次，并且这些数据都是没有规律的。

师：大家结合生活中的实例想一想，生成的随机数能为我们提供什么样的便利呢？

生：比如，我们班级想通过抽签的方式，从42人中派20人参与问卷调查，为了保證数据的公平性，可以全班同学的学号为序，生成42个随机数，从大到小排列，选取前20名或后20名。

（二）数字特征的处理

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下通称“新课标”）要求，学生掌握平均数、中位数、众数、最值、标准差、方差、极差等数据的数字特征。大部分学生对于计算步骤没有过多的疑惑，而教材中的例题、教辅中的练习和测试中的题目，通常不会在计算量上增加难度。这就意味着，在脱离了初等教育的高等数学统计学的研究中，学生有必要掌握利用计算机处理数据的能力。在数据的处理过程中，大部分学生目前可以在Excel中使用相应的函数求出最值、平均值等数字特征，而GGB软件的表格区也可实现类似的功能，只是函数名称不一致，教材中对同一组数据：18.9，19.5，19.5，19.2，19，18.8，19.5，分别在Excel和GGB软件中进行了处理（见教材67页），给学生以直观的感受。

【案例二】

对于图1中生成的10个随机数，学生可利用GGB软件中的函数进行数据处理。由于学生对Excel的使用相对娴熟，所以在使用GGB软件进行操作时会相对轻松。

（三）数据的直观表示

在统计的课堂教学中，根据数据分析的需求，学生应当会选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的统计规律，最终解决相应的实际问题。在以往的教学过程中，统计的教学活动几乎都是通过典型案例进行的，如果学生能有机会经历较为系统的数据处理全过程，逐渐理解数据分析的思路，学会如何处理典型案例，并在此过程中学习数据分析的方法，运用所学知识和方法解决实际问题，那么在未来面对样本量较大的数据时，学生就能通过认知能力的提升，自主培养解决实际问题的能力。因此，新课标鼓励学生尽可能运用计算器、计算机进行模拟活动、处理数据，更好地体会概率的意义和统计思想。

借助计算机软件，教师可以快捷地做出有关统计图表，如教材第71页，在Excel中输入有关数据后，就可以用有关作图命令画出柱形图（条形图），而且可以方便地改变呈现形式。在GGB软件中，利用表格区输入数据，然后利用“单变量分析”，可以得到数据的直方图等信息，而且各种参数都可以自行设定。

【演示一】

由于频率分布直方图的绘制较为繁琐，所以由学生提供绘制思路，教师提供软件的操作步骤，师生共同绘制出教材第72页“情景与问题”中案例对应的直方图（见图2）。

（四）一元线性回归模型

在教材选择性必修二中，对变量之间的相关关系、回归直线方程及其性质、相关系数、非线性回归进行了要求。新课标要求结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，通过相关系数比较多组成对数据的相关性；结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件。线性回归模型对于大部分学生来说陌生且不易接受。教师可以在课堂上演示如何在GGB软件中作出线性回归模型，有条件或有需求的学生可以在此基础上自主研究。

【演示二】

冬日里，随着气温的逐渐降低，茶馆的生意日益火爆。某茶馆为了解茶水销售量与最低气温之间的关系，随机统计并制作了某六天的茶水销售量（单位：杯）与当天最低气温（单位：℃）的对照表（见表1）。

1.分析茶水销售量与最低气温之间是否有关系，如果有，是什么关系？

2.若某一天最低气温为-5℃，能否估计这天茶馆卖出茶水的杯数？

步骤一：绘制散点图。启动 GGB 软件后，在表格区输入表 1 中的“最低气温”“茶水销售量”及对应数量。接着，框选数据，通过右键弹出对话框，选择对话框中的“创建”—“点列”栏目，绘图区内生成数据散点图。

步骤二：建立一次函数模型。散点图生成后，教师引导学生观察其特征，回顾已掌握的函数图象，学生以小组为单位，猜想并尝试建立回归模型。大部分学生都能得出“散点图分布在一条直线附近”的结论，也会有一部分学生猜想二次函数、幂函数的情况。这时，教师要及时给予表扬，引导学生先尝试建立一次函数回归模型，并将其他情况作为拓展任务，暂不展开。

首先，教师指导学生在指令栏里输入“多项式拟合”，根据指令提示，在绘图区中生成一次函数图象 f（x）。同时，在代数区内显示函数 f（x） = -1.71x + 58.86。在计算机生成一次回归函数后，教师引导学生回归直线的数学定义：用直线方程近似表示的相关关系叫作线性关系，这条直线称为回归直线。学生回答出计算机生成的回归系数为“a =1.71，b =58.86”。

步骤三：一次函数模型“残差”分析环节。教师在指令区内输入“殘差图”，根据指令提示，在绘图区内呈现出一次函数模型的残差图。在残差图的直观演示下，教师引导学生将“残差”与方差进行对比，促进学生对“残差”这一概念的理解。然后，教师再借助残差图，简要介绍“残差”的平方和表达式以及求解回归系数的最小二乘法。最后，给出一元回归直线的系数计算公式。

二、以GGB软件促进概率的可视化教学

（一）二项分布

通过“抛硬币”的实例和对伯努利试验的理解，教材引出了二项分布即n次独立重复试验及其数字特征，新课标要求学生能解决关于二项分布的简单实际问题。教材第74页引用了“将一枚均匀的硬币抛100次，求出正好出现50次正面的概率”的案例，若设正面出现的次数为X，则X服从参数为100，0.5的二项分布，即X～B（100，0.5），因此所求概率为：

P（X=50） = [C50100] × 0.550 × （1 - 0.5）50 = [C50100] × 0.5100。

手动算出这个概率的小数形式并不容易，教材介绍了在Excel中解决此问题的方法，而GGB软件也可以达到这个效果。

【演示三】

根据图3的步骤进行演示，得到表格和频率分布直方图（见下页图4）。

（二）超几何分布

同二项分布的概率值一样，超几何分布的概率值也可以用GGB求出，这对于解决二项分布和超几何分布简单的实际问题有很大的助力。

【案例三】

经历二项分布的实践，超几何分布操作会更顺利，学生基本可以自行解决（见下页图5）。

三、以GGB软件促进可视化教学时需要注意的事项

（一）熟练应用信息技术，提高课堂效率

教学中的重要目标之一是让学生经历统计的过程。为了提高课堂效率和质量，同时避免手动画图带来的误差，教师利用GGB软件展现作图，直观地为学生提供了有理有据的图表，进而引导和指导学生亲自动手实践，提升了课堂的趣味性和教学效果，也有助于数据的分析。

（二）合理利用信息技术，提高课堂质量

寻找教学与信息技术融合的内容和方式之一是教师深入研究教学重难点。高中数学教材中经常会蕴藏如转化、逼近、数形结合等丰富多样的数学理念与思维模式。教师要深入研究教材和教学内容，设计的全部课程内容均应符合数学本质，要对蕴藏其中的数学理念与思维过程加以展示；要使信息技术用得有效，能够让学生更深刻地理解知识的本质，这样才能达到融合的目的。教师在演示的时候要提醒学生关注知识本身，而不是追求图形的绚丽多彩或表面的场景变化，这就需要教师预设课堂情境，提前思考相关情况，并在课上通过语言去引导学生，从而达到真正提高课堂质量的目的。

（三）深入发掘信息技术，展现数学价值

数学具有多方面价值，它是科学的、实用的、文化的、思想的，教师在教学中融入信息技术时不能仅局限于教材中的知识点，而是要深入挖掘数学知识中存在的各个方面的价值，并将其生动地展现给学生。GGB软件因在数学教学中的准确周密、省时美观、参数交互等特点，以及置入的动画动态绘图系统，便于学生对抽象化的数学知识点进行直观地学习，养成图形思维，提升数形结合的水平。GGB软件支撑下的数学课堂能够发挥数字化优势，营造交互性、可视化的数学学习氛围。在课余时间，教师还可以通过绚丽多彩的“勾股树”展示数学定理，可以用形态多样的“万花尺”来体现数学的美学价值，这些都是培养学生的理性思维、激发学生探寻数学的历史发展、增强学生数学文化素养和创新意识的有效途径。

综上，借助GGB软件，教师可以展示出数学知识形成的过程，推动学生从实质上理解数学知识的本质，对不同数学教学流程加以完善，使学生增强数学思维能力，更好地体会数学的本质。

参考文献：

［1］朱悦音.基于GeoGebra的高中数学“可视化”探究实践［J］.现代教学，2023（S1）.

［2］谭春荣.GeoGebra与高中数学教学深度融合的实践［J］.新课程教学（电子版），2023（5）.

［3］刘太杰，刘定勇.助数学思维发展促核心素养提升：以GGB在问题解决中的应用为例［J］.中学数学研究，2023（10）.

（责任编辑：杨强）