勾股定理与其逆定理

田载今

直角三角形的三边之间具有一种特殊 的数量关系，即两条直角边的平方和等于斜 边的平方.由此产生了关于直角三角形的一 个重要定理——勾股定理.由于三边之间的 这种关系为直角三角形独有，锐角三角形和 钝角三角形都不具备，所以它又成为判定直 角三角形的依据.由此又产生了关于直角三 角形的另一个重要定理——勾股定理的逆 定理.

一、勾股定理——直角三角形的性質定 理

中国古人称直角三角形的两条直角边 分别为“勾”和“股”，称斜边为“弦”.在中国古 代数学著作《周髀算经》中，记载了周朝人商 高发现有一种直角三角形的三边满足“勾三，股四，弦五”（即三角形三边长度之比为3：4： 5）.3，4，5这三个数满足32+42=52，这表明这 种直角三角形的勾与股的平方和等于弦的 平方.《周髀算经》中还记载了周朝人陈子在 讨论测量问题时，提出对直角三角形可用 “勾股各自乘，并以开方除之”的方式计算 弦，其意即“弦=√勾2+股2”.陈子所说的已 不限于“勾三，股四，弦五”这种特殊的直角 三角形了，而是说一般的直角三角形都满足 “勾2+股2=弦2”.