“思政+实验”下全概率公式、贝叶斯公式的教学探索

毕学慧 刘华明 王秀友 范国婷 李怀敏

摘要：在传统的概率统计教学中，受多种因素的影响，一般只注重专业理论知识的传授，往往忽视了思政元素的融入以及动手能力、创新能力等多种能力的提高。以概率统计中两个重要的公式——全概率公式和贝叶斯公式为例，探讨了如何在概率统计中充分挖掘思政元素并合理开展实验教学，以实现专业知识传授与思政教育的同向同行，理论知识传授与实践教育的相辅相成，真正地开展立德树人工作，培育出符合社会需求的高素质人才。

关键词：全概率公式；贝叶斯公式；课程思政；实验教学

中图分类号：O211      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2024）07-0127-04

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0 引言

世界正在发生着巨大的变化，教育也必须进行大变革。课程思政在高校人才培养中起着关键作用，因此，在高校教育改革中，应在提出专业教学目标的同时，明确提出德育教学目标，引导学生将所学到的知识和技能转化为内在德性和素养，潜移默化地为培养学生具有良好品行、良好素养而服务[1]。随着大数据时代的来临，当代大学生仅仅掌握课本理论知识，已远远不能满足社会需求，社会更需要应用、创新等能力较强的高素质人才，在数学等基础学科的教学中，实验教学的引入势在必行。

在传统的概率统计教学中，主要以传授理论知识为主，较少涉及价值引领、立德树人和应用创新能力培养等问题。如何在专业知识的海洋中挖掘到丰富的文化内涵，实现专业知识传授与思政教育同向同行，理论教学和实验教学交叉融合，是当前迫切需要研究并解决的问题。全概率公式和贝叶斯公式是概率统计课程中非常重要的公式，两者联系密切，本文以它们为例，主要探讨如何进行“思政+实验”教学，为社会培养具有正确三观的高素质人才。

1 全概率公式教学

全概率公式是条件概率的延伸和拓展，是计算复杂事件发生概率的一种有效方法，在经济、保险、生物、医疗等众多领域有着广泛的应用。

全概率公式[2]设试验[E]的样本空间为[S]，[A]为[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]为[S]的一个划分，且[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，则：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+...+P（ABn）P（Bn）]

1.1 基本思想——化整为零，逐个击破

全概率公式的主要用途是求复杂事件发生的概率，基本思想是将复杂事件[A]化为一个个简单的事件，如图1所示。因为这些小事件两两互斥，所以[A]发生的概率等于这些小事件发生的概率之和，这样就将一个复杂事件的概率计算问题转化为一些简单事件的概率计算问题。

启示1：在日常生活和学习中，经常会面临很多难题，当大家遇到困难时不要害怕和退缩，要勇于面对问题，学会将难题转化为一个一个小问题，再逐个击破，最终问题就会迎刃而解。

1.2 整体论——全面分析，拒绝片面

在全概率公式中，可以将[B1，B2，...，Bn]理解为导致[A]产生的一系列原因，再对构成整体的这些原因一一查找，全面考查，最后利用概率的有限可加性即可求出概率。用概率树图展示这种关系，如图2所示。

启示2：在实际中，要学会从全局分析问题，不要将问题片面化，才能将问题看透徹，很好地解决问题。

1.3 解决专业问题——理论和实践相结合

学数学的目的是应用数学知识解决专业和实际中的一些问题。就全概率公式而言，医学院的学生应该熟悉该公式在医疗诊断中的应用；商学院的学生应该了解并讨论该公式在保险、生产生活中责任分担、股票交易等方面的应用；计算机学院的学生应该讨论基于全概率公式的网络性能分析和在人脸识别中的应用[3]。表1是有关某种疾病的一些数据，结合数学软件，分析全概率公式在医学中的应用。

借助数学软件Matlab或Excel可以求出各国感染率。下面以学生熟悉的Excel软件，自己编辑公式进行求出感染率（先将光标定位到D2单元格，输入“=B2/C2”，再按回车键即可求出0.000728，其他感染率的数据可以通过拖拽的方式得到，无须一一输入公式去求，方便简洁），结果如图3所示。

再用图形展示，如图4所示，在视觉上有更清晰的了解（选择A列和D列，将数据转化为图表）。

以上面的数据为依据，引入全概率公式的相关例题。

例1[4]一架飞机上共有200位乘客，来自A、B、C、D、E、F国家的乘客数量分别为20人，40人，30人，50人，10人和50人。从这架飞机上随机地选取1位乘客，问其患这种疾病的可能性是多大？

解：设[A]：这位乘客患病，[Bi]：这位乘客来自第[i]个国家，[i=1，2，3，4，5，6]，其中第[1，2，3，4，5，6]个国家分别指[A，B，C，D，E，F] 6国。则：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+P（AB3）P（B3）+P（AB4）P（B4）]

[+P（AB5）P（B5）+P（AB6）P（B6）]

[=0.000728×20200+0.000848×40200+0.001882×30200+0.000827×50200]

[+0.001124×10200+0.001175×50200]

[=0.001081]

这里，仍可借助Excel进行计算，快速准确。计算过程如图5所示。

以上是借助Excel解决的生物学中的一个问题。数学软件的引入，大大减少了工作量，激发了学生的学习兴趣，学生解决问题的效率明显提升。

启示3：在学生了解了所学知识点在本专业的应用的基础上，将理论和实践结合起来，学有所用，会加深对所学知识的印象，增强专业认同感，进一步增加学习兴趣。

2 贝叶斯公式教学

贝叶斯公式是由果溯因，解决推断问题的一种有效方法，在数学、工程、金融、医疗等领域的应用意义很强。

贝叶斯公式[2]设试验[E]的样本空间为[S]，[A]为[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]为[S]的一个划分，且[P（A）>0]，[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，则：

[P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）j=1nP（A|Bj）P（Bj），i=1，2，...，n]

2.1 生平事迹——追求真理，持之以恒

贝叶斯是英国的一位神学家、数学家和哲学家，他提出的一整套贝叶斯理论在很长一段时间内都未被接受[5]。我国著名数理统计学家陈希儒教授曾这样评价过：“虽然这个产生于 18 世纪的统计学学派在19 世纪上半叶备受争议和冷落，但在20世纪，它却占据了数理统计学这块领地的半壁江山，撑起了统计学的半边天。”[6]

启示4：通过贝叶斯的事迹可以看出，追求真理的过程往往是一个漫长的过程，只有持之以恒，才能勇攀高峰。

2.2 寓言——引出公式，强调诚信

在教学过程中，教师可以通过伊索寓言中“狼来了”的故事先引起学生的兴趣，再介绍贝叶斯公式内容，最后运用贝叶斯公式解释“为什么最后没有村民相信孩子的话”。

例2[7]   在“狼来了”的故事中，设[A]：孩子说谎，[B]：孩子可信。孩子说谎前，[P（B）=0.8]，[P（A|B）=0.1]，[P（A|B）=0.5]，求说谎一次后，孩子的可信度[P（B|A）]。

[解： P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444]

如果孩子说谎两次后，信任程度又變为多少呢？

这时可以继续运用贝叶斯公式进行计算，这里[P（B）=0.444，P（B）=0.556]。

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138]

可见，信任程度已由0.444降为0.138了。

此时，可能还有少数善良的村民选择继续相信孩子。那么，孩子说谎三次后，信任程度又变为多少呢？此时[P（B）=0.138，P（B）=0.862]

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.138×0.10.138×0.1+0.862×0.5=0.031]

利用Matlab软件，可以求出说谎n次后可信程度[P（B|A）]的值。Matlab代码如下：

PB= 0.8 ;  % P（B）：

P_A_B = 0.1; % P（A|B） = 0.1

P_A_B1 = 0.5; % P（A|B^） = 0.5

i = 1;

A= zeros（10）;

while i<=10

P_B_A =（ PB* P_A_B）/（ PB* P_A_B + （1-PB）* P_A_B1）; % 求P（B|A）

PB= P_B_A;    %  P（B） = P（B|A）

disp（P_B_A）;  % 输出P（B|A）的值

A（i）= P_B_A ;    % P（B|A）保存在数组中

i=i+1;

end

n = 1：1：10;

figure;plot（A）; % 画图

xlabel（'n'）;

ylabel（'P（B|A）'）;

利用Matlab软件，求出说谎次数[n]后可信程度[P（B|A）]的值如表2所示。

利用Matlab中的plot函数，绘制出[n]和[P（B|A）]的关系图，如图6所示。

表3和图6给出了[n=1，…，10]的孩子的可信程度，从中可以看出，随着说谎次数的增多，孩子的可信程度下降很快。

启示5：诚信是人必备的基本品质之一，是社会主义核心价值观的重要体现。大学生作为祖国未来的建设者和接班人，已接受多年教育，在诚信方面更应走在前列，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而努力。

2.3 传承哲学思想——培养学生哲学辩证思维能力

贝叶斯公式是运用先验知识并结合样本知识获得后验概率的过程，反映了从认识到实践，再从实践到认识的过程，即不断用新获得的数据资料来调整原有的知识和看法[8]。

启示6：在实际中，要学会用辩证的思维方法认识事物发展规律，勇于创新，不断地修正自己的看法并解决实践中遇到的问题。

2.4 自我审视——理性分析，查缺补漏

概率统计这门课程一般开设在大二上学期，此时的大学生基本上已成年，除学习外，对恋爱也越来越向往，如何树立正确的恋爱观？毕业班学生如何挑选到自己满意的工作？生活中被很多人误解，又如何处理？这些问题都可以借助贝叶斯公式去理性分析，分析过程即是一个自我审视的过程，通过分析可以发现自己的不足，进而逐步提升自己[9]。

3 两个公式间的联系及共同展现的思政元素

3.1 公式间的联系

全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的两个基本公式，简单来说，全概率公式是由因索果，贝叶斯公式是由果索因，两者之间的联系如图7所示[10]。

通过仔细观察并分析得到，贝叶斯公式求得的后验概率是利用先验概率、条件概率和全概率公式得到的，具体如图8所示。

3.2 次品率问题——科学分析数据，治学严谨

例3[3]某电子设备制造厂所用的元件是由三家原件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

设这些产品均匀混合。1） 设[A]：任取的一只元件是次品，求[P（A）]；2） 在仓库中任取一只元件，发現是次品，分析该次品来自何厂的可能性最大。

分析：1） 三个元件制造厂中的每个厂都可能生产次品，这是原因；在仓库中任取一只元件，是次品，出现了结果。先因后果，用全概率公式求解。

2） 在仓库中任取一只元件，发现是次品，已知出现了结果；现要追查，考查来自何厂的可能性最大，这是要寻找原因。由结果寻找原因，用贝叶斯公式求解。有的学生觉得3厂的次品率最高，所以来自3厂的可能性最大；有的学生觉得2厂所占的份额最大，所以来自2厂的可能性最大。那么，到底来自哪个厂的可能性最大呢？

解：[B1，B2，B3]表示所取到的产品分别是由第1，2，3家提供的。由题意知：[P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05]，[P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03]

1） 由全概率公式，[P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125]

2） 由贝叶斯公式，[P（B1|A）=P（A|B1）P（B1）P（A）=0.02×0.150.0125=0.24]，同理  [P（B2|A）=0.64]，[P（B3|A）=0.12]，所以，抽到的这只次品来自2厂的可能性最大。

启示7：次品率问题是全概率公式和贝叶斯公式中的典型例题，通过该例题的学习，可以使学生更清楚地了解这两个公式的内涵，同时要科学地分析数据，正确得出结论，不能想当然。

4 结束语

在全概率公式的教学中，先介绍公式内容，再通过图形解释公式的基本思想和内涵，最后通过讨论公式在解决专业问题方面的运用，增强了学生的专业认同感，帮助学生树立了正确的价值观。在讲授贝叶斯公式的过程中，先介绍贝叶斯的生平事迹，告诉学生学习贵在坚持；再通过伊索寓言“狼来了”的故事引入贝叶斯公式，同时强调了诚信的重要性；进一步让学生感受到要用辩证思维认识事物，并学会用贝叶斯公式理性分析，查缺补漏，解决学习、就业和生活中的问题。最后，分析并通过图形展现了全概率公式和贝叶斯公式的联系，给学生一个直观形象的认识，并通过典型的“次品率问题”告诉学生要科学地分析数据，得到正确结论。另外，选取了“狼来了”这个案例，展示了数学软件可以快速、精准地求解概率，通过图形直观形象地展示信息，让学生切身感受信息技术所带来的便捷性。

在宝贵的课堂中，教师一定要在传授理论学科知识的同时，无声地融入思政元素，并辅以实验教学，让学生不仅能提高思想认识，而且能提升自身的实践能力和创新能力，把学生培养成社会需要的高素质人才。

参考文献：

[1] 吴宏锷，梁瑛，郭学军.由一堂正态分布课展现的课程思政[J].南阳理工学院学报，2021，13（3）：95-97，111.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[3] 李萍，钟守铭，李沛瑜，等.以“金课”建设为导向的混合式教学探索——以概率论与数理统计为例[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2022，41（1）：85-89.

[4] 章美月.基于Mathematica的《概率论与数理统计》课程教学改革探索与实践[J].大学数学，2020，36（5）：49-56.

[5] 邓小华，许宇翔，罗晓萍.新时代高校数学课程思政教学改革实践探析[J].遵义师范学院学报，2022，24（2）：122-126，131.

[6] 陈希孺.数理统计学简史[M].长沙：湖南教育出版社，2002.

[7] 封希媛.Bayes公式在实践教学中的应用[J].青海师范大学学报（自然科学版），2017，33（2）：39-41.

[8] 陈耀庚，孙博文，王娜，等.以贝叶斯公式为案例的医学统计学课程思政教学设计[J].医学教育研究与实践，2021，29（5）：781-784.

[9] 李广玉，田研.“课程思政”理念指导下的贝叶斯公式教学[J].惠州学院学报，2020，40（6）：126-128.

[10] 陈中明.全概率公式与贝叶斯公式的启发式教学设计浅谈[J].教育教学论坛，2019（25）：202-203.

【通联编辑：谢媛媛】