关于角平分线的研究拓展与应用

浙江省宁波市效实中学(315012) 徐靖杰 童益民

数学解题就是在探求已知条件和目标之间的联系通道,此为数学解题的本质.角平分线是高中数学中频繁出现的条件, 其性质丰富多样, 应用技巧灵活多变, 有诸多特殊结论.对于有关角平分线基本结构的归纳、总结与拓展,对数学解题应用有很大的帮助.

1 角平分线的研究拓展

基本结构1 已知∆ABC中边b,c与角A,处理角平分线AD.

题1 如图1, 已知∆ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=4,c= 2,A= 120°,求角平分线AD的长.

解1: 利用面积方法

小结1: 利用面积方法处理角平分线的问题是常用的方法,利用面积方法还可以得到一些常用的结论.

结论1: 角平分线定理

结论2: 张角定理

基本结构2 已知∆ABC中边a,b,c, 处理角平分线AD.

结论3: 斯特瓦尔特定理

设D为∆ABC的边BC上异于B,C的任一点,则有AB2·CD+AC2·BD=AD2·BC+BD·CD·BC.

结论4: 斯库顿定理

2 角平分线的应用

例2 (2018 年高考江苏卷) 在∆ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∠ABC= 120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为____.

解: ∆ABD中, 利用余弦定理, 可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,解得AD=2.不妨设CD=t,由角平分线定理,,可得

法1: 利用余弦定理

3 总结

与角平分线模型有关的问题,可以已知条件求角平分线长,也可以已知角平分线长,求其它结论,常见的处理方法是利用角平分线定理,及余弦定理等解三角形.本文利用面积方法和向量方法,拓展得到角平分线定理、张角定理、斯特瓦尔特定理及斯库顿定理,面积方法与向量方法是处理角平分线的一般方法,而灵活应用角平分线定理、张角定理及斯库顿定理,对快速解题有很好的帮助,在掌握常规方法的基础上,对学生进行一定的拓展与应用,可以拓宽他们的思维,更能系统的掌握相关的内容,更加灵活的解决问题.