凸显工具价值,渗透研究意识*<br/>——以人教A 版新教材“用向量法探究三角形性质”教学为例

凸显工具价值,渗透研究意识*
——以人教A 版新教材“用向量法探究三角形性质”教学为例

2024-05-18四川省成都市第七中学610041罗文力尹轩睿

中学数学研究(广东) 2024年6期

四川省成都市第七中学(610041) 罗文力尹轩睿杨力

1 引言

《普通高中数学课程标准2017 年版(2020 年修订)》中指出: 进一步精选了学科内容,重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化,以主题为引领,使课程内容情境化,促进学科核心素养的落实.由此,可以看出,数学学科本身的知识结构化、方法普适性是新教学中落实学科核心素养的关键.数学探究能够很好的将数学课程的结构化和情境化落实到位.故此,《课程标准》中对教材编写意见中指出: 数学建模活动与数学探究活动是数学内容的主线之一.这条主线不仅能够帮助学生更好地掌握知识技能,更能帮助学生学会数学地思考和实践,是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体.

向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具, 是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥重要作用.“用向量法探究三角形性质”是人教A 版2019 年版新教材与旧教材相比增加的板块.这个板块的增加,从课程标准的视角来看,回应了课标中从“基本知识、基本技能”的双基到“基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验”四基,印证了新课程教学更应注重数学探究活动等理念;从知识方法层面来看,凸显了向量作为现代数学的重要工具,用向量工具探索数学问题的研究意识.然而对于数学探究活动课程而言,不同的学生能力水平有一定的差异性,在实施任务和要求上应该设定弹性的标准,让不同学生在数学探究活动中得到不同的参与体验,获得不同层次的发展.

2 教学实施设计

(一)教材分析

本节课选自人教A 版(2019 年版)高中数学必修第二册第六章数学探究: 用向量法研究三角形的性质第二课时.在第一课时中我们已用向量法分析过三角形中三线共点的特殊性质,明确向量的作用,体会向量的先进性.本节课主要是中期汇报,流程为分小组展示发现、提出问题的脉络,分享交流、开拓思路,完善论证过程.

(二)学情分析

从知识层面来看,学生已学向量、三角形等相关基础知识,对于本节课的公式推导与结论发现具有积极的作用;

从能力上来看,作为高一下期的学生,对于发现问题、解决问题的能力还有待加强,这使得数学探究程序的抽象概括环节需要进行难点突破;

(三)教学目标

1.通过展示与交流学生小组探究成果,分享体会问题发现、提出的过程,相互借鉴和学习,积累用向量法“研究一个几何对象”经验;

2.能通过质疑、辩论、评价,梳理出发现和提出问题的脉络,为进一步的探究奠基;

达成上述目标的标志是:

(1)能用向量语言恰当表达、证明自己发现的结论,能依据平面向量基本定理选择恰当的基底表示三角形中的几何元素,对三角形的一些要素关系提出量化表达猜想,并通过向量运算证明或证伪;

(2)能清楚表达探究成果的形成过程,能用自己的语言阐释向量方法的主要特征,能撰写较为规范的研究报告,并对结果做出自我评价;

(四)教学重点

展示本组探究问题的发现与提出过程.

(五)教学难点

梳理发现、提出问题的脉络,形成一以贯之的探究与发现的路径.

(六)教学策略与媒体分析

启发式教学、合作探究式学习、多媒体、ppt、几何画板.

(七)教学过程

1.复习引入

教师提问: 昨天我们从三角形的四心入手,学习了什么知识内容与思想方法?

学生回答:

知识内容: 三角形的三条中线共点、三条垂线共点; 外心、重心、垂心三点共线(未证明)……都使用了向量这一工具.

思想方法: 三线共点问题可以转化为三点共线问题;合情推理(大胆猜测,大胆验证)……

教师提问: 回忆证明重心与垂心三线共点的中心思想.

学生回答:

设计意图通过复习,帮助学生梳理知识框架与思想方法,教会学生掌握用向量法研究三角形性质的一般方法,让学生尝试着去寻找问题,引导学生学会将自己提出的有关三角形性质的问题用向量法解决,进一步培养学生提出问题解决问题的能力.

2.学生展示

三角形的丰富性质蕴涵在“边与角、顶点与边、特殊的点与边、点与线、线与线等要素之间”,于是我们把主要研究对象确定为上述几何量.通过观察它们之间的联系,采用一般化、特殊化、类比等方法发现值得研究的问题.教科书中论证了勾股定理,我们可以把三角形的形状一般化并探究出余弦定理;上节课我们论证了三条中线交于一点即重心,三条垂线交于一点即垂心等, 我们可以类比研究角平分线与内心,中垂线与外心……因此我们把主要研究路径确定为“类比,特殊——一般——特殊”.

追问1: 如果把中点一般化呢?

追问2: 如果是角平分线,是否能求长度呢?

追问1: 是否能把λ量化呢?

追问2: 联系中线与角平分线的轨迹,是否垂线与中垂线也有类似的表达式呢?

学生成果3 “奔驰定理”: 在∆ABC内任意一点P,

追问1: 如果点P在三角形外部呢?

追问2:“奔驰定理”有没有什么应用?

学生成果4 “奔驰定理”的应用,锐角三角形的外心、垂心的向量形式:

追问1: 如果不是锐角三角形还有相同的结论么?

追问2:“奔驰定理”还有没有什么应用?

预设成果5 “欧拉线”: ∆ABC的外心O、重心G、垂心H三点共线,且OG:GH=1:2.

追问1: 三角形还有没有其他的心?

追问2: 这些心之间有没有其他的共线? 或者特殊图形?

设计意图数学探究活动不同于常规数学教学,对教师和学生都是一个挑战.教师认真研究如何开展数学探究活动,理解探究活动是基础.针对该探究活动的主题,教师梳理清楚三角形性质的层级、向量法的“三步曲”、不同向量运算方法的作用,是推进探究的保障.

3.反思总结

研究价值表述及反思:

上述结论具有完美的统一性,有较强的审美价值.不断转化基底,可以获得向量结论.其中坐标法表示也是选择单位正交基底的有价值体现.下一步可以沿着向量的数量积运算方向继续探索,继续研究三角形的性质.

设计意图通过总结,提炼开展用向量法研究三角形性质的经验,梳理成果,归纳方法,并给予学生精神鼓励,让其感受数学探究的乐趣和达到成功的喜悦.以成功激励成功,以成功激励兴趣.

4.拓广探索

1.基础性作业: 改进探究报告,做好结题准备.

2.拓展性作业: 根据课堂上所提出的新的猜想与结论,自选角度再用向量法进行研究.

3 教学设计思考

章建跃博士早就指出,“理解数学,理解学生,理解教学”是教师专业化发展的基石,也是提高数学教学质量的根本保证.在此基础上,他又根据课程改革的新发展,增加了“理解技术,理解评价”等要素.下面我们从“五个理解”的视角对本堂数学探究课进行简单探讨分析.

从理解数学的角度看,本节课的核心是用向量法探究三角形的性质,充分体现了向量的工具价值.在数学中,向量是沟通数与形的桥梁,在现代数学发展体系中,向量也具有十分广泛的应用,本节课的定位符合当前数学学科发展的实际,引导学生用数学工具解决数学学科内部问题的意识,培养学生学以致用的能力.同时,学生所得到的结论也可以作为今后研究其余数学问题的基础,为学生今后的研究奠定了知识基础.

从理解教学的角度看,《普通高中育人方式改革指导意见》、《普通高中数学课程标准2017 年版(2020 年修订)》等多个文件中均指出,高中课堂教学应根据实际需要采取启发式、探究式、体验式的教学方式,促进学生的深度体验,积淀学生的数学基本活动经验,本课按照新教材的设计思路,以数学探究的形式展开教学活动,能够更好地让学生参与到课堂中,课堂上学生的展示分享、师生间的交流对话、教师对于学生的不断追问都让学生全身心的参与课堂,学生在动脑动手中进入深度学习,让学生的学习真实发生.

从理解学生的角度看,执教老师充分考虑学情特点,学生在此之前已学平面向量等相关数学知识、在学校的研究性学习课程中,学生已明白基本的研究性学习的环节,这使得这样的学习方式能够推行.同时,执教班级的数学功底扎实、表达能力较好,这使得课下的探究任务的质与量能够得到保障,课堂上的展示交流具有一定的研究性.

从理解技术的角度看,新课程强调数学日常教学和信息技术的深度融合.考虑到数学学科的特殊性,信息技术的使用不仅可以在课堂上在解决问题、课堂评价反馈中予以使用,在数学发现问题、提出猜想环节也能进行融合.从展示学生的情况来看,个别学生利用几何画板发现、验证自己的猜想,真正实现了用技术解决问题的能力.

从理解评价的角度看,一种教学方式必然倡导一种教学文化,数学教学应该重视学生的综合发展与主体作用,本堂课不仅从研究性学习的开展环节视角进行呈现,更是考虑到学生在学习过程中,教师对学生的学习成果进行重视,以课堂上展示交流、追问反思等形式对学生的学习开展过程性评价,这种评价促进了学生的对于学习的更进一步渴望,以评价促进学习发生.