对2022年高考物理辽宁卷第14题的深入分析

摘 要：文章对2022年高考物理辽宁卷进行剖析，将小球在复合场中的运动作为类抛体运动处理并进行相关问题的解答；适当改换题设条件，将原高考题目变式为物理材料背景相近，考查知识点类似的变式，并对给出的变式进行分析解答.

关键词：弹簧；光滑轨道；机械能守恒；复合场；类抛体运动

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0104-04

从一道与类抛体运动内容有关的高考题目说起.

例1 （2022高考物理辽宁卷第14题）如图1所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑1/4圆弧轨道在B点平滑连接，导轨半径为R.质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为√gR，之后沿轨道BO运动.以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥-R区域有方向与x轴夹角为θ=45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为√2mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g.

求：（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；

（2）小球经过O点时的速度大小；

（3）小球过O点后运动的轨迹方程.

1 试题简评

这道题目是2022高考物理辽宁卷的第14题，也是整份试卷的倒数第二题，处于压轴题目的重要位置：人们通常把一份试卷中题目难度相对较大、所占分值比例相对较高的最后两三道题目称之为试卷的压轴题，它是拉开不同能力考生分数差距的题目，所以格外受到人们的关注.题目设置的物理情景是压缩的弹簧将带电小球以一定的速度推入匀强电场，之后在电场和重力场形成的复合场中运动，这样设置问题把力学和电学中的多个知识点有机结合，可以综合考查学生对电场力、能量守恒定律、动能定理、牛顿运动定律、平抛运动规律及其相关知识点的掌握情况，以及灵活应用物理知识解决复杂物理问题的能力［1］.题目内容不长，只有二百多字符的内容，但却把与所求问题相关的物理情景交代得清楚明白，通读题目一遍，即可明晰对应的物理过程，不存在任何歧义或费解之处，体现了编者高超的原创题目的编拟水平.

2 试题解析

解析 （1）因为水平地面AB是光滑的，所以，在小球与弹簧接触并受弹簧弹力而运动的整个过程中（包含小球刚要脱离弹簧的时刻），小球与弹簧组成系统的机械能守恒，

（2）带电小球由B点离开水平面，进入电场所在的空间之后，不仅受到自身重力的作用，而且受到电场力的作用，受到这两个力的情况如图2所示.显然，小球所受重力和电场力的合力方向水平向右，大小等于小球重力mg，1/4圆弧轨道BO位于方向水平向右的复合场中——重力场和电场形成的复合场，在此复合场中，小球沿光滑轨道由B“右落”至O点时，以y轴所在的竖直面为复合场的零势能参考面，小球的机械能守恒，所以，小球在O点时的速度vO满足：

（3）因为复合场的方向水平向右，所以，小球于O点离开光滑圆弧轨道进入复合场所在的第一象限后，作类平抛运动，运动轨迹如图3所示.由图2可知，类平抛运动中方向水平向右的“类抛体重力加速度”大小与重力加速度大小相同，也为g，所以，小球的运动轨迹是顶点在坐标原点，开口向右的抛物线.以小球离开O点的时刻为0时刻，时间t后，小球在坐标系内的横、纵坐标分别为：

两式结合，消去t可得到小球的运动轨迹方程为y2=6Rx.

3 试题变式

可以发现，上面的这道高考题目给出的数据条件非常的“凑巧”——其中一点是匀强电场的方向刚好与水平面成45°角的“巧”，另一点是“进入电场后小球受到的电场力大小为2mg”，电场力大小刚好为小球重力大小2倍的“巧”，正是这些“巧”的搭配，才使复合场的方向是水平向右，才会有小球离开轨道之后，在复合场中的运动轨迹是对称轴平行于x轴，开口向右抛物线的“巧”［2］.当然，这些“凑巧”的数据肯定是编者精细设计的结果，可以使确定小球运动轨迹方程的过程不至于过难.

实际上，对于这道高考题目，在保持原来的物理情景（包含题设建立的物理模型）基本不变的情况下，适当改换题目条件，可以得到与这道高考题目考查知识点类似但难度更高的不同变式来.

例2 （2022高考物理辽宁卷第14题变式）.如图4所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑1/4圆弧轨道在B点平滑连接，导轨半径为R.质量为m带正电荷的小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为gR，之后沿轨道BO运动.在过B点竖直平面右侧区域有水平向右的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为3mg.小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g.求：（1）弹簧压缩至AS中点时的弹性势能（S为水平弹簧自然长度下小球的位置）；（2）小球经过O点时的速度大小；（3）小球离开轨道后的最小速度；（4）判断小球脱离轨道后电势能最大时的位置.

分析 跟原来的高考题目相比，这道变式题目的物理情景基本相同，不同点是电场方向由原来的与水平面成45°角的斜向上方向更改为水平方向，同时将小球所受电场力由原来2mg改换为3mg，最后题目所求的问题也作了适当调整.这样更改题设之后，解题的难度将比原来增大一些.

解析 作出带电小球在电场中仅受重力和电场力的受力示意图，如图5所示.易知，这两个力的合力方向斜向下，与水平面成30°角，合力大小为F合力=2mg，所以，物体在复合场中的受力情形，可以等效为“等效重力场”中的受力情形，其“等效重力加速度”的方向即为图5中的合力方向，“等效重力加速度”大小为g′=2g.

（1）小球压缩至AS的中点时，弹簧的形变量是小球由S压缩到A点时形变量的一半，所以，弹簧的弹性势能是小球压缩到A点时弹簧弹性势能的1/4：

（2）因为圆形轨道是光滑的，所以小球在B点离开弹簧，进入由重力场和电场组合而成的复合场之后，其机械能守恒（这里的“机械能守恒”指的是等效重力加速度为g′=2g的等效重力场中小球的机械能守恒，在“等效重力场”中物体的“等效重力势能”等于物体质量、物体的相对高度和“等效重力加速度”的乘积）.过O点作垂直于“等效重力加速度”方向（即CP方向）的垂线ON交圆形轨道于N点，如图6所示（为避免无关线条的干扰，图6中水平向右的电场线没有画出），过B作BM⊥ON，垂足为M，显然，OM为等效重力场中的“等效水平面”.

两方程结合消去y，得到一个关于x的一元二次方程4/3（23-1）Rx2+b=0，令根的判别式Δ=0得b=0，所以，抛物线的竖直切线方程为y=3/3x，与抛物线的切点为坐标原点O，即，小球在刚离开轨道时的电势能最大.

应该说，我们上面通过联立方程组的方法进行推理得出结论的过程，虽然是可行的，但过于麻烦.还可以通过简单的逻辑推理，得出小球在刚离开圆弧形轨道时电势能最大的结论.因为小球是离开圆形轨道后在复合场中作抛物线轨迹运动的，所以抛物线与圆形轨道连接点O是两曲线相切的切点，因为圆形轨道在O点的切线是竖直的，所以抛物线轨迹在O点的切线也将是竖直的，而抛物线竖直的切线只有一条，所以O点是小球运动轨迹中水平向右電场内最靠左边的点，因此小球在O点的电势能最大.

实际上，如果该变式题设轨道圆弧设置的不是1/4圆弧，而是比这个稍微长一些.比如设置为1/3圆弧，小球离开圆弧形轨道在复合场中的运行轨迹依然是抛物线，那么，圆弧上端点位置该圆弧的切线（也是小球运动轨迹抛物线在该点的切线）就不再竖直.换句话说，抛物线的竖直切线就不再过原点，在此情况下确定小球电势能最大的位置，就只能通过联立方程组的方法进行判断了.

4 结束语

2022高考物理的第14题，巧妙设置物理模型，将力学与电学中的多个知识点有机结合起来，可以综合考查学生对弹性势能、机械能守恒、抛体运动等公式的掌握情况，以及灵活应用物理知识解决复杂问题的能力［3］.适当改换题设条件，可以得到与原高考题目材料背景相近，考查知识点类似的不同变式，通过对变式的解析，可以使学生对同类物理问题有更为深入的理解.

参考文献：［1］ 崔军，邹建光.深度分析高考试题 提升学生思维能力：对高考试题中抛体运动和类抛体运动问题的分析[J].中学物理教学参考，2020（8）：65-67.

[2] 王磊，陈建文.斜面上定向抛体运动的初速度放大镜效应[J].物理教师，2019（6）：84-86.

[3] 任亦心.面积法妙解类抛体运动[J].数理化解题研究，2017（4）：73.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：王伟民，中学高级教师，从事高中物理教学研究.