探寻一次函数的平移规律

说到平移，大家一定不陌生。如果我们把一次函数图像进行平移，会发生什么呢？

比如，一次函数y=2x。当它的图像向上平移3个单位时，函数表达式为y=2x+3（如图1），平移前后k值不变，b值的变化揭示了平移的方向和距离。正如教材所言：“一次函数y=kx+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到”，即“上下平移”的规律。应用此规律可直接写出“上下平移”后的函数表达式。

但你发现了吗？图1中的图像向上平移3个单位，也可以看成向左平移1.5个单位。那么“左右平移”和“上下平移”有什么关系？这两种平移之间可以相互转化吗？我们不妨以图2为例，继续探寻其中的奥秘。

由图2可知：k＞0，b＞0，直线AB与坐标轴的公共点坐标分别为A（0，b），B（-[bk]，0），因此OA=b，OB=[bk]（我们称OA、OB为图像平移前后产生的纵横截距）。也就是将y=kx+b向下平移b个单位或者向右平移[bk]个单位都可以得y=kx，而OA∶OB=b∶[bk]=k，则OA=kOB，即纵截距=横截距×k，这样，左右平移就可以转化为上下平移啦！我们来验证下：如图1，y=2x向左平移1.5个单位，就是向上平移1.5×2=3个单位，得y=2x+3，成立。我们再试一个k＜0的情况（如图3）：y=-0.5x+2向左平移6个单位，则向上平移6×（-0.5）=-3个单位，即向下平移3个单位，得y=-0.5x-1，成立！

我们用y=kx（k＞0）形式表达这个“规律”：一次函数y=kx向右平移t个单位，即向下平移kt个单位，新表达式为y=kx-kt=k（x-t）；一次函数y=kx向左平移t个单位，即向上平移kt个单位，新表达式为y=kx+kt=k（x+t）。应用此规律，“左右平移”的函数表达式就可以直接写出啦。大家可以再描述k＜0的一般情况。

从熟悉的上下平移转化为左右平移，我目睹了“数”与“形”的微妙关联，这个过程真有意思！听老师说，未来我们还要学习更为复杂的函数，在“数形结合”和“转化”的思想带领下，我信心满满！

教师点评：

小沈同学探寻一次函数平移规律，从“上下平移”出发，运用“转化”，找到了与“左右平移”的关系，将教材知识进行了拓展。这种化陌生为熟悉，正是认知未知世界的能力！函数之旅刚刚起步，让我们一起去领略函数的无限风光！

（指导教师：蒋瑾鑫）