无界域上具有记忆的非自治Plate方程随机吸引子的存在性

蒲武军 姚晓斌

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.03.013

收稿日期：2023-06-06;修改稿收到日期：2023-09-16

基金项目：国家自然科学基金资助项目（12161071）；陇南市科技计划项目（2021-SZ-13）

作者简介：蒲武军（1979—），男，甘肃庄浪人，副教授，硕士.主要研究方向为生物数学与动力系统.

E-mail：puwj2005@163.com

摘要：研究无界域上一类具有衰退记忆和加性噪声的非自治 Plate方程解的长时间行为.利用一致估计验证了解的拉回渐近紧性，获得了其随机吸引子的存在性.

关键词：随机吸引子；非自治Plate 方程；衰退记忆；加性噪声

中图分类号：O 175.29    文献标志码：A    文章编号：1001-988Ⅹ（2024）03-0115-12

The existence of the random attractor of non-autonomous

plate equation with memory on unbounded domains

PU Wu-jun1，YAO Xiao-bin2

（1.Department of Mathematics，Longnan Teachers College，Longnan 742500，Gansu，China；

2.School of Mathematics and Statistics，Qinghai Minzu University， Xining 810007，Qinghai，China）

Abstract：The-long time dynamical behavior of the solution for non-autonomous plate equation with fading memory and additive noise is studied on unbounded domains.By establishing the pullback asymptotic compactness of solutions by aid of uniform estimates，the existence of random attractors is obtained for this equation.

Key words：random attractor;non-autonomous plate equation;fading memory;additive noise

考慮带有衰退记忆和加性噪声的随机Plate方程

utt+αut+Δ2ut+Δ2u+∫∞0μ（s）Δ2η（s）ds+

∫∞0μ（s）η（s）ds+λu+f（x，u）=

g（x，t）+βh（x）dWdt，

x∈Rn，t>τ，（1）

初值条件为

u（x，τ）=u0（x）， ut（x，τ）=u1（x），

x∈Rn， t≤τ，（2）

其中，τ∈R，u=u（x，t）是定义在Rn×［τ，+∞）上

的实值函数，α，λ均是大于零的正常数，β是常数，g（x，·）∈L2loc（R，L2（Rn）），W（t）是概率空间上的双边实值Wiener过程，η（s）=u（t）-u（t-s）.

本文假设核函数μ∈C1（R+）∩L1（R+），非线性函数f∈C1（R），且满足以下条件：

（C1）对s∈R+及某些Ψ>0，有

μ（s）≥0， μ′（s）+Ψμ（s）≤0，（3）

并令

m0=△μL1（R+）=∫∞0μ（s）ds>0.

（C2）记F（x，u）=∫u0f（x，s）ds， x∈Rn，u∈R，且存在正常数ci（i=1，2，3，4），使得

f（x，u）≤c1up+1（x），

1∈L2（Rn），（4）

f（x，u）u-c2F（x，u）≥2（x），

2∈L1（Rn），（5）

F（x，u）≥c3up+1-3（x），

3∈L1（Rn），（6）

fu（x，u）≤，

fx（x，u）≤4（x）， 4∈L2（Rn），（7）

其中>0，1≤p≤（n+4）/（n-4）.（4）和（5）式意味着

F（x，u）≤c（u2+up+1+21+2）.（8）

不失一般性，全文假定正常数c是变化的，每一行甚至同一行都不一定相同.

（C3）对函数g（x，t），存在常数σ>0，使得

∫0-∞eσsg（·，τ+s）21ds<∞， τ∈R，（9）

limk→∞∫0-∞eσs∫｜x｜≥kg（·，τ+s）2dxds=0，

τ∈R，（10）

其中·表示实数集R上的绝对值.

系统（1）～（2）源于Woinowsky-Krieger［1］和Berger［2］建立的弹性振动方程.对于自治Plate方程，文献［3-8］讨论了不同条件下全局吸引子的存在性和唯一性，文献［9］确立了一类非自治Plate方程一致吸引子的存在性.对于随机Plate方程的研究主要集中在有界域上随机吸引子的存在性方面［10-13］，并且已经有许多好的结果［14-15］.近年来，姚晓斌等［16-18］系统研究了无界域上Plate方程随机吸引子的存在性，取得了许多好的结果.本文借助文献［19］的抽象结果，研究非自治随机动力系统（1）～（2）随机吸引子的存在性.

一般而言，随机吸引子的存在性依赖于解的某种紧性［20-24］.为证明系统（1）～（2）随机吸引子的存在性，必须验证解的拉回渐近紧性，但对系统（1）～（2）而言存在两方面的困难：一是无界域上Sobolev嵌入不是紧的，无法直接利用解的正则性获取漸近紧性，只能对解的尾部用一致估计来克服；另一方面始于记忆核函数，因为在历史空间中无法使用紧嵌入，我们将借助文献［25］的相关结果解决这一问题.

1  预备知识

设（X，·X）是一个具有Borel σ-代数B（X）的可分的Hilbert空间，（Ω，F，P，{θt}t∈R）是一个度量动力系统.

命题1［19］  设D是X上的非空子集族的内闭集合，Φ是X上关于（Ω，F，P，{θt}t∈R）的连续余圈.若Φ在在X-上是D-拉回渐近紧的，且在D上有闭可测的D-拉回吸收集K，则Φ在D上有唯一D-拉回吸引子A，且对每个τ∈R，ω∈Ω，有

A（τ，ω）=Ω（K，τ，ω）=∪D∈DΩ（D，τ，ω）.

记A=Δ2，D（A）=H4（Rn）.对任意的ν∈R，定义Vν=D（Aν/4），易见Vν为一个Hilbert空间，且具有如下的内积和范数：

（u，v）ν=（Aν/4u，Aν/4v），

uν=Aν/4u， u，v∈Vν.

特别地，

V0=L2（Rn）， V1=H1（Rn）， V2=H2（Rn）.

类似于文献［26］，定义历史空间Rμ，2=L2μ（R+，V2），对η1，η2∈Rμ，2，其内积为

（η1，η2）μ，2=∫∞0μ（s）（Δη1（s），Δη2（s））ds.

令

η（x，t，s）=u（x，t）-u（x，t-s），

（x，s）∈Rn×R+，t≥0，

则

ηt（x，t，s）=-ηs（x，t，s）+ut（x，t）.

记

E=H2（Rn）×L2（Rn）×Rμ，2（R+，V2），

对y=（u，v，η）T∈E，其范数可表示为

y2E=v2+（δ2+λ-δα）u2+

（1-δ）Δu2+η2μ，2+η2μ，0.（11）

令ξ=ut+δu，其中δ是一个较小的正常数，则方程（1）等价于系统

dudt=ξ-δu，

dξdt=（δ（α+A-δ）-A）u-

（α+A-δ）ξ-λu-

∫∞0μ（s）Aη（s）ds-∫∞0μ（s）η（s）ds-

f（x，u）+g（x，t）+βh（x）dWdt，

ηt+ηs=ut，（12）

初值条件为

u（x，τ）=u0（x）， ξ（x，τ）=ξ0（x），

η（x，τ，s）=η0（x，s）=

u（x，τ）-u（x，τ-s），（13）

其中ξ0（x）=u1（x）+δu0（x）， x∈Rn，s∈R+.

算子-s的定义域为

D（-s）={η∈H1μ（R+，Vν）：η（0）=0}，

其中H1μ（R+，Vν）={η：η（s），sη∈L2μ（R+，Vν）}.

为了将方程（12）转换为带有随机参数的确定性系统，考虑Ornstein-Uhlenbeck过程

y（θtω）=-∫0-∞es（θtω）（s）ds， t∈R.

根据文献［27］，随机变量y（ω）是缓增的，于是存在P上的θt不变集Ω，对任意的ω∈，y（θtω）关于t连续.为方便起见，用Ω替代.

令v（t）=u（t）-βz（θtω），则方程（1）或方程（12）等价于下列带有随机参数的确定性系统，且在R和（Ω，F，P，{θt}t∈R）上生成一个连续的余圈：

dudt=v-δu+βz（θtω），

dξdt=（δ-α-A）v+

（δ（α+A-δ）-λ-A）u+

β（1-（α+A-δ））z（θtω）-

∫∞0μ（s）Aη（s）ds-

∫∞0μ（s）η（s）ds-

f（x，u）+g（x，t），

ηt+ηs=ut，（14）

初值条件为

u（x，τ）=u0（x）， ξ（x，τ）=ξ0（x），

η（x，τ，s）=η0（x，s）=

u（x，τ）-u（x，τ-s），（15）

其中v0（x）=u0（x）-z（θtω），x∈Rn.

系统（14）～（15）在E=H2×L2×Rμ，2上的适定性可以利用文献［29-30］的方法证明.若条件（C1）～（C3）满足，令

φ（β）（t+τ，τ，θ-τω，φ（β）0）=（u（t+τ，τ，θ-τω，u0），

v（t+τ，τ，θ-τω，v0），η（t+τ，τ，θ-τω，η0，s））T，

其中φ（β）0=（u0，v0，η0）T.

对所有的ω∈Ω，τ∈R，φ（β）0∈E（Rn），系统（14）～（15）有唯一的

（F，B（H2（Rn））×B（L2（Rn））×B（Rμ，2））可测解

φ（β）（·，τ，ω，φ（β）0）∈C（［τ，∞），E（Rn）），

且对每个t>τ，φ（β）（τ，τ，ω，φ（β）0）=φ（β）0，

φ（β）（t，τ，ω，φ（β）0）∈E（Rn）

在φ（β）0处连续.对

（t，τ，ω，φ（β）0）∈R+×R×Ω×E（Rn），映射

Φβ（t，τ，ω，φ（β）0）=φ（β）（t+τ，τ，θ-τω，φ（β）0）  （16）

在R和（Ω，F，P，{θt}t∈R）上生成一个从

R+×R×Ω×E（Rn）到E（Rn）的連续余圈.

2  主要结果

本节讨论Rn上随机Plate方程（12）～（13）弱解的一致估计，通过转换后的随机方程（14）～（15）证明随机动力系统拉回吸收集的存在性和拉回渐近紧性.

选取δ∈（0，1）充分小，使得

δ2+λ-δα>0， 1-δ>0，

min{1-δ，δ2+λ-δα}>8m0δ3Ψ.

（9）式中的σ定义为

σ=minα-δ，δ，δ1-8m0δ3Ψ（1-δ），

c2δ2，Ψ2，δ1-8m0δ3Ψ（λ+δ2-δα），（17）

其中c2是（5）式中的正常数.

2.1  解的一致估计

引理1  假设h∈H2（Rn），若条件（C1）～（C3）成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω，D={D（τ，ω）：τ∈Rω∈Ω}∈D，

存在T=T（τ，ω，D）>0，使得对所有的t≥T，有

φ（β）（τ，τ-t，θ-τω，φ0）2E+

∫ττ-teσ（s-τ）v（s，τ-t，θ-τω，v0）2ds+

∫ττ-teσ（s-τ）u（s，τ-t，θ-τω，u0）2ds+

∫ττ-teσ（s-τ）Δu（s，τ-t，θ-τω，u0）2ds+

∫ττ-teσ（s-τ）Δv（s，τ-t，θ-τω，v0）2ds≤

R1（β，τ，ω），

其中φ（β）0=（u0，v0，η0）T∈D（τ-t，θ-τω），c是依赖于λ，σ，δ，α，Ψ，m0的正常数，但独立于（τ，ω，D），而

R1（β，τ，ω）=c+cβ2∫0-∞eσs（1+Δz（θsω）2+

z（θsω）2+z（θsω）k+1H2）ds.

证明  在L2（Rn）上用v与系统（14）的第二个方程作内积，有

12ddtv2=-（α-δ）（v，v）-

（λ+δ2-δα）（u，v）-

（1-δ）（Au，v）-（Av，v）-

（f（x，u），v）+（g（x，t），v）+

β（1-α+δ）（z（θtω），v）-

β（Az（θtω），v）-

∫∞0μ（s）（Aη（s），v）ds-

∫∞0μ（s）（η（s），v）ds.（18）

系统（14）的第一个方程可写为

v=ut+δu-βz（θtω），（19）

于是

（u，v）=12ddtu2+δu2-β（u，z（θtω））≥

12ddtu2+3δ4u2-β23δz（θtω）2，（20）

-（Au，v）≤-12ddtΔu2-3δ4Δu2+

β23δΔz（θtω）2，（21）

（f（x，u），v）=ddt∫RnF（x，u）dx+

δ（f（x，u），u）-

β（f（x，u），z（θtω））.（22）

由（5）式可得

（f（x，u），u）≥

c2∫RnF（x，u）dx+∫Rn2（x）dx.（23）

由（4）和（6）式可得

β（f（x，u），z（θtω））≤

β1（x）·z（θtω）+

c1β∫Rnuk+1dxkk+1z（θtω）k+1≤

121（x）2+β22z（θtω）2+

δc22∫RnF（x，u）dx+

δc22∫Rn3（x）dx+cβ2z（θtω）k+1H2.（24）

利用Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式可得

β（1-α+δ）（z（θtω），v）≤

2（1-α+δ）2β2α-δz（θtω）2+

α-δ8v2，（25）

-β（Az（θtω），v）≤

β22Δz（θtω）2+12Δv2，（26）

（g（x，t），v）≤2α-δg（x，t）2+

α-δ8v2，（27）

∫∞0μ（s）（Aη（s），v）ds=

∫∞0μ（s）（Δη（s），Δut）ds+

δ∫∞0μ（s）（Δη（s），Δu）ds-

β∫∞0μ（s）（Δη（s），Δz（θtω））ds.

对系统（14）的第三个方程关于s分部积分，有

∫∞0μ（s）（Δη（s），Δut）ds≥

12ddtη2μ，2+Ψ2η2μ，2.（28）

由Young不等式可得

-β∫∞0μ（s）（Δη（s），Δz（θtω））ds≥

-Ψ8η2μ，2-2m0β2ΨΔz（θtω）2，（29）

δ∫∞0μ（s）（Δη（s），Δu）ds≥

-Ψ8η2μ，2-2m0δ2ΨΔu2.（30）

综合（28）～（30）式，有

∫∞0μ（s）（Aη（s），v）ds≥12ddtη2μ，2+

Ψ4η2μ，2-2m0β2ΨΔz（θtω）2-

2m0δ2ΨΔu2.（31）

同理可得

∫∞0μ（s）（η（s），v）ds≥

12ddtη2μ，0+Ψ4η2μ，0-

2m0β2Ψz（θtω）2-

2m0δ2Ψu2.（32）

将（20）～（32）式代入（18）式，并结合（17）式可得

ddtv2+（δ2+λ-δα）u2+

（1-δ）Δu2+η2μ，2+η2μ，0+

2∫RnF（x，u）dx+σv2+

（δ2+λ-δα）u2+（1-δ）Δu2+

η2μ，2+η2μ，0+2∫RnF（x，u）dx+

12（α-δ）v2+12δ（δ2+σ-δα）×

1-8m0δ3Ψ（δ2+λ-δα）u2+

12δ（1-δ）1-8m0δ3Ψ（1-δ）

Δu2+Δv2≤

cβ2（1+Δz（θtω）2+z（θtω）2+

z（θtω）k+1H2）+4α-δg（x，t）2.（33）

根据（11）式，（33）式可进一步化为

ddtφ2E+2∫RnF（x，u）dx+σφ2E+

2∫RnF（x，u）dx+12（α-δ）v2+

12δ（δ2+λ-δα）×

1-8m2δ3Ψ（δ2+λ-δα）u2+

12δ（1-δ）×

1-8m0δ3Ψ（1-δ）Δu2+Δv2≤

cβ2（1+Δz（θtω）2+z（θtω）2+

z（θtω）k+1H2）+4α-δg（x，t）2.（34）

（34）式的两端同乘以eσt并从τ-t到τ上积分，同时用θ-τω替代ω，则对所有的t∈Rn，τ∈R，ω∈Ω，有

eστφ（τ，τ-t，ω，φ0）2E+

2∫RnF（x，u（τ，τ-t，ω，u0）dx+

12（α-δ）∫ττ-teσsv（s，τ-t，ω，v0）2ds+

∫ττ-teσsΔv（s，τ-t，ω，v0）2ds+

12δ（δ2+λ-δα）1-8m0δ3Ψ（δ2+λ-δα）×

∫ττ-teσsu（s，τ-t，ω，u0）2ds+

12δ（1-δ）1-8m0δ3Ψ（1-δ）×

∫ττ-teσsΔu（s，τ-t，ω，u0）2ds≤

e-σtφ02E+2∫RnF（x，u0）dx+

cβ2∫0-teσs（1+Δz（θsω）2+

z（θsω）2+z（θsω）k+1H2）ds+

4α-δ∫τ-∞eσ（s-τ）g（x，s）2.（35）

由文獻［28］的引理3.5可得

∫0-teσs（Δz（θsω）2+z（θsω）2+

z（θsω）k+1H2）ds≤

∫0-∞eσs2（γ2（ω）（Δh2+h2）+

γk+1（ω）（Δhk+1+hk+1+

hk+1））ds<+∞.（36）

结合（8）式有

∫RnF（x，u0）dx≤c（1+u02+u0k+1H2）.（37）

注意到0（u0，v0，η0）T∈D（τ-t，θ-tω），D∈D，结合（37）式有

limt→+∞e-σtφ02E+2∫RnF（x，u0）dx=0.（38）

因此，存在T=T（τ，ω，D）>0，使得对所有的t≥T，有

e-σtφ02H+2∫RnF（x，u0）dx≤1.

结合（9），（35）和（36）式，引理得证.  】

引理2  假设h∈H2（Rn），若条件（C1）～（C3）成立，则存在以0为中心的随机球{Eβ（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D，其随机半径为

ρ（τ，ω）=c+cβ2∫0-∞eσs（1+Δz（θsω）2+

z（θsω）2+z（θsω）k+1H2）ds，

使得对于问题（14）～（15）的连续余圈，{Eβ（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}是一个闭可测D-拉回吸收集，即对每个τ∈R，ω∈Ω，D={D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D，以及对所有的t≥T，有

Φβ（t，τ-t，θ-tω，D（τ-t，θ-tω））

A（τ，ω）.（39）

证明  由（16）式和引理1直接得证.  】

引理3  假设h∈H2（R），

若条件（C1）～（C3）成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω，D={D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D以及所有的t≥T，方程（14）～（15）的解满足

A1/4φ（β）（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）0）2E≤R2（β，τ，ω），

其中

R2（β，τ，ω）=ce-σt（A1/4v02+

（λ+δ2-δα）A1/4u02+

（1-δ）A3/4u02+

A3/4η02μ，0+A1/4η02μ，0）+

cβ2∫0-∞eσs（1+A1/4z（θsω）2+

A3/4z（θsω）2）ds+

c∫τ-∞eσ（s-τ）g（x，s）21ds.

证明  在L2（Rn）上用A1/2v与系统（14）的第二个方程作内积，有

12ddtA1/4v2=-（α-δ）A1/4v2-

（1-δ）（Au，A1/2v）-

（λ+δ2-δα）（u，A1/2v）-

A3/4v2-β（Az（θtω），A1/2v）+

β（1-α+δ）（z（θtω），A1/2v）-

（f（x，u），A1/2v）-

∫∞0μ（s）（Aη（s），A1/2v）ds-

∫∞0μ（s）（η（s），A1/2v）ds+

（g（x，t），A1/2v），（40）

借助引理1的证明过程可得以下估计：

（u，A1/2v）≥12ddtA1/4u2+3δ4A1/4u2-

β23δA1/4z（θtω）2，（41）

（Au，A1/2v）≥12ddtA3/4u2+3δ4A3/4u2-

β23δA3/4z（θtω）2，（42）

（1-α+δ）（z（θtω），A1/2v）≤

2（1-α+δ）2β2α-δA1/4z（θtω）2+

α-δ8A1/4v2，（43）

β（Az（θtω），A1/2v）≥

β22A3/4z（θtω）2+12A3/4v2，（44）

（g，A1/2v）≤cg21+α-δ8A1/4v2，（45）

-（f（x，u），A1/2v）≤

∫Rnxf（x，u）·A1/4vdx+

∫Rnxf（x，u）·A1/4u·A1/4vdx≤

4·A1/4v+A1/4v·A1/4v≤

c+δ2+2δ（λ-αδ+δ2）A1/4v2+

14（1-δ）A1/4u2，（46）

∫∞0μ（s）（Aη（s），A1/2v）ds≥

12ddtA3/4η2μ，0+Ψ4A3/4η2μ，0-

2m0β2ΨA3/4z（θtω）2-

2m0δ2ΨA3/4u2，（47）

∫∞0μ（s）（η（s），A1/2v）ds≥

12ddtA1/4η2μ，0+Ψ4A1/4η2μ，0-

2m0β2ΨA1/4z（θtω）2-

2m0δ2ΨA3/4u2，（48）

将（41）～（48）代入到（40）式有

12ddt（A1/4v2+（λ+δ2-δα）A1/4u2+

（1-δ）A3/4u2+A3/4η2μ，0+

A1/4η2μ，0）+δ（λ+δ2-δα）×

34-2m0δΨ（λ+δ2-δα）A1/4u2+

（α-δ）A1/4v2+δ（1-δ）×

34-2m0δΨ（1-δ2）A3/4u2+

Ψ4A1/4η2μ，0≤

cβ2（1+A1/4z（θtω）2+

A3/4z（θtω）2）+cg21.（49）

给（49）式的两端同乘以eσt，并从τ-t到τ上积分，同时用θ-τω替代ω，有

eσt（A1/4v（τ，τ-t，ω，v0）2+

（λ+δ2-δα）A1/4u（τ，τ-t，ω，u0）2+

（1-δ）A3/4u（τ，τ-t，ω，u0）2+

A3/4η（τ，τ-t，ω，η0，s）2μ，0+

A1/4η（τ，τ-t，ω，η0，s）2μ，0）≤

ce-σt（A1/4v02+（λ+δ2-δα）A1/4u02+

（1-δ）A3/4u02+A3/4η02μ，0+

A1/4η02μ，0）+

cβ2∫0-∞eσs（1+A1/4z（θsω）2+

A3/4z（θsω）2）ds+

c∫τ-∞eσ（s-τ）g（x，s）21ds.  】

引理4  假设h∈H2（Rn），若条件（C1）～（C3）成立，则对任意的ζ>0，τ∈R，ω∈Ω，

D={D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D，存在

T=T（τ，ω，D，ζ）>0，K=K（τ，ω，ζ）≥1，對系统（14）～（15）满足t≥T，k≥K的所有解，有

φ（β）（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）0）2E（Rn＼Bk）≤ζ，

其中k≥1，Bk={x∈Rn：x≤k}， Rn＼Bk是Bk的余空间.

证明  选取光滑函数ρ，使得对任意的x∈Rn有0≤ρ≤1，且

ρ（x）=0， 0≤x≤1，

1， x≥2.（50）

则对任意的k∈N，ρk（x）=ρ（x/k），x∈Rn，存在正常数μ1，μ2，使得对任意的x∈Rn，有

ρk（x）≤μ1k，

Δρk（x）≤μ2k.

用ρk（x）v与方程（14）的第二个方程在L2（Rn）上做内积，有

12ddt∫Rnρk（x）v2dx=

-（α-δ）∫Rnρk（x）v2dx-

（λ+δ2-δα）∫Rnρk（x）uvdx-

（1-δ）∫Rnρk（x）（Au）vdx-

∫Rnρk（x）（Av）vdx-

∫Rnρk（x）f（x，u）vdx-

β∫Rnρk（x）（Az（θtω））vdx+

∫Rnρk（x）g（x，t）vdx-

∫Rn∫∞0μ（s）Aη（s）ρk（x）vdsdx-

∫Rn∫∞0μ（s）η（s）ρk（x）vdsdx+

β（1-α+δ）∫Rnρk（x）z（θtω）vdx.（51）

类似于（19）式，同时利用Young 不等式和Sobolev嵌入不等式

v≤ζv+CζΔv， ζ>0

可得以下估计：

∫Rnρk（x）uvdx=

∫Rnρk（x）12ddtu2+δu2-βz（θtω）udx≥

12ddt∫Rnρk（x）u2dx+

δ2∫Rnρk（x）u2dx-

β22δ∫Rnρk（x）z（θtω）2dx，（52）

-∫Rnρk（x）Au·vdx≤

μ2k∫RnΔu·vdx+2μ1k∫RnΔu·vdx-

12ddt∫Rnρk（x）Δu2dx-δ∫Rnρk（x）Δu2dx+

β∫Rnρk（x）ΔuΔz（θ，ω）dx≤

μ2k（Δu2+v2）+

μ1k（Δu2+2ζ2v2+2C2ζΔv2）-

12ddt∫Rnρk（x）Δu2dx-

δ2∫Rnρk（x）Δu2dx+

β22δ∫Rnρk（x）Δz（θtω）2dx

，（53）

∫Rnρk（x）f（x，u）vdx=

ddt∫Rnρk（x）F（x，u）dx+

δ∫Rnρk（x）f（x，u）udx-

β∫Rnρk（x）f（x，u）z（θtω）dx.（54）

由（5）式可知

δ∫Rnρk（x）f（x，u）udx≥

c2δ∫Rnρk（x）F（x，u）udx+

δ∫Rnρk（x）2（x）dx，（55）

结合（4）和（6）式易得

β∫Rnρk（x）f（x，u）z（θtω）dx≤

12∫Rnρk（x）1（x）2dx+

β22∫Rnρk（x）z（θtω）2dx+

cβ2∫Rnρk（x）z（θtω）p+1dx+

c2δ2∫Rnρk（x）（F（x，u）+3（x））dx.（56）

根据Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式，可得以下估计成立：

-∫Rnρk（x）·Avvdx=-∫RnΔv·Δ（ρk（x）v）dx=

-∫RnΔv（Δρk（x）v+

2ρk（x）v+ρk（x）Δv）dx≤

μ1k（Δv2+2ζ2v2+2C2ζΔv2）+

μ22k（Δv2+v2）-

∫Rnρk（x）Δv2dx，（57）

-β∫Rnρk（x）Az（θtω）vdx=

-β∫Rn（Δz（θtω））（Δρk（x）v）dx-

β∫Rn（Δz（θtω））·（2ρk（x）v+

ρk（x）Δv）dx≤

μ2β2k（Δz（θtω）2+v2）+

∫Rnρk（x）Δv2dx+

μ1β2k（β2Δz（θtω）2+

2ζ2v2+2C2ζΔv2）+

β24∫Rnρk（x）Δz（θtω）2dx，（58）

β（1-α+δ）∫Rnρk（x）z（θtω）vdx≤

α-δ4∫Rnρk（x）v2dx+

（1-α+δ）2β2α-δ×

∫Rnρk（x）z（θtω）2dx，（59）

∫Rnρk（x）g（x，t）vdx≤

1α-δ∫Rnρk（x）g（x，t）2dx+

α-δ4∫Rnρk（x）v2dx，（60）

∫Rn∫∞0μ（s）Aη（s）ρk（x）vdsdx=

∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）×

（Δρk（x）v+2ρk（x）v）dsdx+

∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）×

ρk（x）Δdudt+δu-βz（θtω）dsdx≥

-∫Rnμ2k∫∞0μ（s）Δη（s）vdsdx-

∫Rn2μ1k∫∞0μ（s）Δη（s）vdsdx+

∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）ρk（x）Δutdsdx+

δ∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）ρk（x）Δudsdx-

β∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）×

ρk（x）Δz（θtω）dsdx，（61）

再次利用Young不等式，有

-μ2k∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）vdsdx≥

-μ22k（η2μ，2+m0v2），（62）

-2μ1k∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）vdsdx≥

-μ12k（η2μ，2+m0v2）.（63）

關于s分部积分，同时结合（3）式可得

∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）ρk（x）Δutdsdx≥

12ddt∫Rnρk（x）η（s）2μ，2dx+

Ψ2∫Rnρk（x）η（s）2μ，2dx，（64）

δ∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）ρk（x）Δudsdx≥

-Ψ8∫Rnρk（x）η（s）2μ，2dx-

2m0δ2Ψ∫Rnρk（x）Δu2dx，（65）

-β∫Rn∫∞0μ（s）Δη（s）ρk（x）Δz（θtω）dsdx≥

-Ψ8∫Rnρk（x）η（s）2μ，2dx-

2m0β2Ψ∫Rnρk（x）Δz（θtω）2dx.（66）

类似地，有

∫Rn∫∞0μ（s）η（s）ρk（x）vdsdx≥

12ddt∫Rnρk（x）η（s）2μ，0dx+

Ψ4∫Rnρk（x）η（s）2μ，0dx-

2m0β2Ψ∫Rnρk（x）z（θtω）2dx-

2m0δ2Ψ∫Rnρk（x）u2dx.（67）

综合（52）～（67）式有

12ddt∫Rnρk（x）（v2+（δ2+λ-δα）u2+

（1-δ）Δu2+η（s）2μ，2+η（s）2μ，0+

2F（x，u））dx+α-δ2∫Rnρk（x）v2dx-

δ（δ2+λ-δα）21-4m0δΨ（λ+δ2-δα）×

∫Rnρk（x）u2dx-

Ψ4∫Rnρk（x）η（s）2μ，2dx-

Ψ4∫Rnρk（x）η（s）2μ，0dx-

δ（1-δ）21-4m0δΨ（1-δ）×

∫Rnρk（x）Δu2dx-

c2δ2∫Rnρk（x）F（x，u）dx≤

ck2（Δv2+v2+Δu2+

η2μ，2+η2μ，0+Δz（θtω）2）+

cβ2∫Rnρk（x）（1+Δz（θtω）2+

z（θtω）2+z（θtω）p+1）dx+

cβ2∫Rnρk（x）g（x，t）2dx.（68）

令

X=v2+（δ2+λ-δα）u2+

（1-δ）Δu2+η（s）2μ，2+η（s）2μ，0，

则（68）式可化为

12ddt∫Rnρk（x）（X+2F（x，u））dx+

σ∫Rnρk（x）（X+2F（x，u））dx≤

ck2（Δv2+v2+Δu2+

η2μ，2+η2μ，0+Δz（θtω）2）+

cβ2∫Rnρk（x）（1+Δz（θtω）2+

z（θtω）2+z（θtω）p+1）dx+

cβ2∫Rnρk（x）g（x，t）2dx.（69）

（69）式乘以eσt，并在τ-t到τ上积分，同时用θ-τω代替ω，有

∫Rnρk（x）（X（τ，τ-t，ω，X0）+

2F（x，u（τ，τ-t，ω，u0）））dx≤

e-σt∫Rnρk（x）（X0+2F（x，u0））dx+

ck2∫ττ-teσ（s-τ）（Δv（s，τ-t，ω-τω，v0）2+

v（s，τ-t，θ-τω，v0）2+

Δu（s，τ-t，θ-τω，u0）2+

η（s，τ-t，θ-τω，v0）2μ，2+

η（s，τ-t，θ-τω，v0）2μ，0）ds+

ck2∫0-∞eσsΔz（θsω）2ds+

cβ2∫0-∞eσs∫｜x｜≥k（1+Δz（θsω）2+

z（θsω）2+z（θsω）p+1）dxds+

c∫τ-∞eσs∫｜X｜≥kg（x，s）2dxds.（70）

由于φ（β）0∈D（τ-t，θ-tω）∈D，結合（37）式可知，存在T1=T1（τ，ε，ω，D）>0，使得对任意的t>T1，有

e-σt∫Rnρk（x）（X0+2F（x，u0））dx≤ζ.（71）

由引理1，存在T2=T2（τ，ε，ω，D）>0，K1=K1（ε，ω，D）>1，使得对任意的t>T2，k>K1，有

ck2∫ττ-teσ（s-τ）（Δv（s，τ-t，ω-τω，v0）2+

v（s，τ-t，θ-τω，v0）2+

Δu（s，τ-t，θ-τω，u0）2+

η（s，τ-t，θ-τω，v0）2μ，2+

η（s，τ-t，θ-τω，v02μ，0）ds≤ζ.（72）

由文献［28］引理3.5，存在T3=T3（ε，ω）>0，K2=K2（ε，ω）>1，对任意的t>T3，k>K2，有

cβ2∫0-∞eσs∫｜X｜≥k（1+Δz（θsω）2+

z（θsω）2+z（θsω）p+1）dxds+

ck2∫0-∞eσsΔz（θsω）2ds≤ζ.（73）

由（10）式知，存在K3=K3（τ，ε）>1，使得对任意的k>K3，有

c∫τ-∞eσs∫｜X｜≥kg（x，s）2dxds≤ζ.（74）

记T=max{T1，T2，T3}，K=max{K1，K2，K3}，结合（73）和（74）式，当t>T，k>K时，有

φ（β）（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）0）2E（Rn＼Bk）≤4ζ.  】

为证明方程（14）～（15）随机吸引子的存在性，首先需获取其解在有界域B2k上的准紧性.将方程（14）～（15）的解φβ=（u，v，η）T分解为φ（β）=φ（β）L+φ（β）N，其中

φ（β）L=（uL，ξL，ηL）T， φ（β）N=（uN，vN，ηN）T

是下面两个方程的解：

duLdt+δuL=ξL，

dξLdt-（δ-α-A）ξL-

（δ（-δ+α+A）-λ-A）uL+

∫∞0μ（s）AηL（s）ds+

∫∞0μ（s）ηL（s）ds=0，

ηL，t+ηL，s=uL，t，

u（x，τ）=u0（x）， v（x，τ）=v0（x），

η（x，τ，s）=η0（x，s）=

u（x，τ）-u（x，τ-s），（75）

duNdt+δuN=vN+βz（θtω），

dvNdt-（δ-α-A）vN-

（δ（-δ+α+A）-λ-A）uN+

f（x，u）+∫∞0μ（s）AηN（s）ds+

∫∞0μ（s）ηN（s）ds=

g（x，t）+β（1-（α+A-δ））z（θtω），

ηN，t+ηN，s=uN，t.（76）

根据引理1～3，方程（75）和（76）的解有如下估计和正则性结果.

引理5  若条件（C1）成立，则方程（75）的任意解（uL，ξL，ηL）T满足

φ（β）L（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）L，0）2E（B2k）→0，

t→∞.（77）

引理6  若条件（C1）～（C3）成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω，D={D（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D，存在T=T（τ，ω，D）>0，使得对所有的t≥T，方程（76）的解满足

A1/4φ（β）N（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）L，0）2E≤R2（β，τ，ω），

其中R2（β，τ，ω）是一随机变量.

2.2  随机吸引子

下面证明随机系统（14）～（15）D-拉回吸引子的存在唯一性.对任意的τ∈R，ω∈Ω，tm≥0，定义

ηN（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）=

uN（τ，τ-tm，θ-τω，uN，0（θ-tmω））-

uN（τ-s，τ-tm，θ-τ+sω，uN，0（θ-tm+sω）），

s≤t，

uN（τ，τ-tm，θ-τω，uN，0（θ-tmω））， s≥t，（78）

ηN，s（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω））=

uN，t（τ-s，τ-tm，θ-τ+sω，uN，0（θ-tm+sω）），

s≤t，

0， s≥t.（79）

根据引理6，并结合（78）和（79）式，有

max{ηN，s（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）2μ，1，

ηN（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）2μ，3}≤

2R2（β，τ，ω），s≥0，（80）

这意味着序列

{ηN（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）}∞m=1

在L2μ（R+，V3）∩H1μ（R+，V1）上有界.为方便起见，记

（τ，ω）={ηN（τ，τ-tm，

θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）}∞m=1.

由引理1、引理6以及（78）式可得

supη∈（τ，ω），s≥0Δη（s）2≤2R1（β，τ，ω），（81）

因此，由（3）和（81）式，对任意的η∈（τ，ω），有

η（s）2μ，2=∫+∞0μ（s）Δη（s）2ds≤

2R1（β，τ，ω）∫+∞0e-Ψsds≤

2R1（β，τ，ω）Ψ，（82）

此即说明

{ηN（τ，τ-tm，θ-τω，ηN，0（θ-tmω），s）}∞m=1

L2μ（R+，H2（B2k1））

是一个有界子集.由引理5和文献［25］可知，序列

{η（τ，τ-tm，θ-τω，η0（θ-tmω），s）}∞m=1在

L2μ（R+，H2（B2k1））

上是紧的.

引理7  假设h∈H2（Rn），若条件（C1）～（C3）成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω，当tm→∞时，系统（14）～（15）的解序列在E上有一个收敛的子序列

{φ（β）（τ，τ-tm，θ-τω，φ（β）0，n）}∞m=1，

φ（β）0，n∈D（τ-tm，θ-tmω），D∈D.

证明  根据引理4，对任意的ε>0，存在k0=k0（τ，ω，ε）≥1，

以及m2=m2（τ，ω，D，ε）≥m1，使得对所有的m≥m1，有

φ（β）（τ，τ-t，θ-τω，φ（β）0，n）2E（Rn＼Bk0）≤ε.（83）

由引理6，存在k1=k1（τ，ω）≥k0，使得

A1/4uN（τ，τ-tm，θ-τω，uN，0（θ-tmω）2H2（B2k1）+

A1/4vN（τ，τ-tm，θ-τω，vN，0（θ-tmω）2L2（B2k1）≤

R2（β，τ，ω），

结合紧嵌入

H3（B2k1）×H1（B2k1）→H2（B2k1）×L2（B2k1）

可知，序列

{（uN（τ，τ-tm，θ-τω，uN，0（θ-tmω）），

vN（τ，τ-tm，θ-τω，vN，0（θ-tmω））}∞m=1

在H2（B2k1）×L2（B2k1）上是準紧的.由引理5可知，序列

{（u（τ，τ-tm，θ-τω，u0（θ-tmω）），

v（τ，τ-tm，θ-τω，v0（θ-tmω））}∞m=1

在H2（B2k1）×L2（B2k1）上是準紧的.此外，序列

{η（τ，τ-tm，θ-τω，η0（θ-tmω），s）}∞m=1在

L2μ（R+，H2（B2k1））

上是准紧的.因此，序列

{φ（β）（τ，τ-tm，θ-τω，φ（β）0，n）}∞m=1

在E（B2k1）上是准紧的.

结合（83）式可知，序列

{φ（β）（τ，τ-tm，θ-τω，φ（β）0，n）}∞m=1

在E（Rn）上有一个收敛的子序列.  】

定理1  假设h∈H2（Rn），若条件（C1）～（C3）成立，则随机Plate方程（14）～（15）生成的随机动力系统Фβ在空间E上有唯一的拉回D-吸引子

Aβ={Aβ（τ，ω）：τ∈R，ω∈Ω}∈D.

证明  一方面，根据引理1，余圈Фβ在E上是拉回D-渐近紧的;另一方面，引理7保证余圈Фβ有一个拉回D-吸收集.结合命题1知余圈Фβ存在唯一的拉回D-吸引子.  】

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（責任编辑  马宇鸿）