探析核心素养考查,明确高考命题方向

罗丹　龙成芳

在新高考、新课标和新教材的“三新”背景下，数学明确了六大核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这六大核心素养是育人价值的集中体现，也是数学课程目标的集中体现．本文以数列为研究对象，通过对高考题、教材的例题和习题的分析，探究六大核心素养的考查情况，旨在明确高考命题方向．

例２ （２０２０ 年全国Ⅲ 卷理１７，节选）设数列{an}满足a１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n．计算a２，a３，猜想{an}的通项公式并加以证明．

解析

因为a１ ＝３，an＋１ ＝３an －４n，所以a２ ＝５，a３＝７，由此猜想an ＝２n＋１．下面用数学归纳法给出证明．

当n＝１时，a１＝２×１＋１＝３，成立．假设当n＝k时，ak ＝２k ＋１ 成立，则当n ＝k ＋１ 时，由an＋１ ＝３an －４n，得ak＋１＝３ak －４k，又因为ak ＝２k＋１，所以ak＋１＝３（２k＋１）－４k＝２k＋３＝２（k＋１）＋１，则假设成立，故数列{an}的通项公式an ＝２n＋１．

点评

该题是由已知计算出a２，a３，然后通过对数列前三项的分析寻找规律，由规律猜想数列的通项公式，这是由特殊到一般的推理过程，属于归纳推理，这就是对数学核心素养逻辑推理的考查．该题的结构特征比较明显，解题的一般思路：首先根据数列的递推公式和首项计算出从第二项起的前几项，至于计算多少项，需要看题目有没有要求，有要求，则按照要求做，没有要求，则计算到规律呈现为止;其次根据计算的前几项（包括首项）的数据进行分析，得到其变化规律;再次根据规律猜想数列的通项公式;最后证明猜想成立即可．凡是告知递推公式的数列，求通项公式均可按照这种思路进行尝试．

拓展练习 （２０２２ 年北京卷２１）已知Q：a１，a２，…，ak 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的n∈{１，２，…，m }，在Q 中存在ai，ai＋１，ai＋２，…，ai＋j（j≥０），使得ai ＋ai＋１＋ai＋２＋…＋ai＋j ＝n，则称Q 为mＧ连续可表数列．

（１）判断Q：２，１，４是否为５Ｇ连续可表数列？ 是否为６Ｇ连续可表数列？ 说明理由;

（２）若Q：a１，a２，…，ak 为８Ｇ连续可表数列，求证：k 的最小值为４;

（３）若Q：a１，a２，…，ak 为２０Ｇ连续可表数列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，求证：k≥７．

解析

（１）若m ＝５，则对于任意n∈{１，２，３，４，５}，有a２ ＝１，a１ ＝２，a１ ＋a２ ＝３，a３ ＝４，a２ ＋a３＝５，所以Q 是５Ｇ连续可表数列．又在Q 中无法找到连续若干项之和相加为６，所以Q 不是６Ｇ连续可表数列．

（２）反证法：假设k 的值为３，则a１，a２，a３ 最多能表示a１，a２，a３，a１＋a２，a２＋a３，a１＋a２＋a３，共６个数，与Q 为８Ｇ连续可表数列矛盾，故k≥４．现构造Q：４，２，１，５，可以表达出１，２，３，４，５，６，７，８这８个数，即存在k＝４滿足题意，故k 的最小值为４．

（３）先证明k≥６．从５个正整数中，取一个数只能表示自身，最多可表示５个数，取连续两个数最多能表示４个数，取连续三个数最多能表示３个数，取连续四个数最多能表示２个数，取连续五个数最多能表示１个数，所以对任意给定的５个整数，最多可以表示５＋４＋３＋２＋１＝１５个正整数，不能表示２０个正整数，即k≥６．若k＝６，最多可以表示６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１个正整数，由于Q 为２０Ｇ连续可表数列，且a１＋a２＋…＋ak ＜２０，所以至少有一项为负数，既然任意５个正整数都不可能为２０Ｇ连续可表数列，那么中间若插入一个负数项，更不能连续表示１～２０的正整数，所以至少要有６个正整数才能连续表示１～２０的正整数，则Q 中至少包含６个正整数和１个负数，故k≥７．

３ 数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型并解决问题的素养．数学建模的主要表现：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．

例３ （人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第二册３１页例４）用１００００元购买某个理财产品一年．

（１）若以月利率０.４００％的复利计息，１２个月能获得多少利息（精确到１元）？

（２）若以季度复利计息，存４个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到１０－５）？

解析

（１）由已知，以月利率０.４００％的复利计息，每月后本息形成一个以１０ ０００（１＋０.４００％）为首项、１＋０．４００％为公比的等比数列，所以１２个月的本息为１００００（１＋０.４００％）１２ ≈１０４９０.７，故１２个月后的利息为１０４９０.７－１００００≈４９１元．

（２）设每季度利率为p，则第n 季度以后的本利和构成一个以１００００（１＋p）为首项、１＋p 为公比的等比数列，设其为{bn }，则b４＝１００００（１＋p）４，所以以季度复利计息，存４ 个季度后的利息为１００００（１＋p）４－１００００元．要使以季度复利计息，存４个季度，按季结算的利息不少于按月结算的利息，即１００００（１＋p）４－１００００≥４９１，解得p ≥１.２０６％，故当每季度利率不小于１.２０６％时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．