运用情境教学法促进高中生数学思维发展——以湘教版高一必修第二册“解三角形”中“余弦定理”的教学为例

文| 刘京成

情境教学法通过将抽象的知识融入具体的情境中，帮助学生更好地理解和应用这些知识。本文以湘教版数学高一必修第二册“解三角形”中“余弦定理”的教学为例，探讨如何运用情境教学法促进高中生数学思维的发展。

【教材分析】

“解三角形”是在初中平面几何和三角函数知识的基础上，进一步深化对三角形性质和关系的研究的内容。这一部分内容对于培养学生的数学思维，提高学生的几何直观和逻辑推理能力具有重要意义。在本部分内容中，学生需要学习余弦定理的概念、掌握余弦定理的两种表示形式以及证明余弦定理的向量方法，学会运用余弦定理来解决基本的解三角形问题。

【学情分析】

高中生在“解三角形”这一部分内容的学习上存在一定的认知难度。“解三角形”涉及的知识点较为抽象，学生在理解及应用上可能存在困难。另外，虽然学生在学习解三角形之前已经具备了一定的数学基础，如三角函数、平面几何等，然而如何将这些知识运用到解三角形的问题中，对学生来说是一个新的挑战。因此，为了更好地促进学生的数学思维发展，教师可以通过创设与解三角形相关的实际情境，引导学生观察、思考、实践和总结，促进学生数学思维的锻炼和提升。

【核心素养目标】

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.能够运用余弦定理解决与三角形相关的问题。

3.培养学生主动探究和解决问题的能力。

4.训练学生的数学思维和逻辑推理能力，提高学生的自主学习能力。

5.在解决问题的过程中体验数学的实用价值，增强学生的数学应用意识。

6.培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。

【教学重难点】

教学重点：

1.掌握解三角形的基本原理和方法。

2.运用余弦定理解决与三角形相关的问题。

教学难点：

1.如何运用情境教学法引导学生深入理解三角形的基本原理。

2.如何培养学生的数学思维和解决问题的能力，促进学生自主学习和探究能力的提升。

想要解决这些重点和难点，教师需要运用多种教学方法，如案例分析、小组讨论、实验探究等。同时，注重学生的自主学习和探究能力的培养，鼓励学生主动参与课堂活动，积极思考和解决问题。

【教学过程】

◆引入环节：创设情境，引入课题

教师：同学们，你们好！今天我想和大家探讨一个有趣的话题——解三角形。但在此之前，我想问大家一个问题：你们觉得，在日常生活中，哪些地方可能会涉及三角形的知识呢？

学生：桥梁设计、建筑物的稳定性。

学生：测量角度、距离。

学生：卫星轨道计算。

教师：非常好，看来大家对三角形的应用有一定的了解。那么，你们想过没有，为什么这些实际问题的解决会涉及三角形？三角形又为何如此神奇？

学生：三角形具有稳定性。

教师：是的，三角形是一个非常特殊的图形，它的一些性质使我们能够利用它来解决很多实际问题。如图1 所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小。你能根据这三个量求出AB的距离吗？

图1

◆主体环节：探究新知，解决问题

教师：首先，我们来了解一下余弦定理的基本概念。三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bcosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC。

学生：这个公式看起来好复杂啊！

教师：确实，初看起来这个公式可能有些复杂，但我们可以一步步来理解它。首先，我们知道勾股定理，也就是直角三角形中斜边的平方等于两直角边平方的和。余弦定理实际上是勾股定理的延伸，它描述了任意三角形边长和角度之间的关系。

学生：哦，原来余弦定理和勾股定理是有关联的！

教师：是的，通过勾股定理，我们可以推导出余弦定理。想象一下，如果我们有一个直角三角形，那么我们可以将其视为一个特殊的锐角三角形，其中一个角为90 度。因此，我们可以利用勾股定理来计算其中一条直角边的平方，然后再利用余弦定理来计算其他边的长度。

学生：我明白了，通过勾股定理，我们可以推导出余弦定理，这样我们就可以求解任意三角形的边长了！

教师：同学们，接下来我们通过勾股定理来验证一下。仍以上面的题为例。

如图2 所示：

图2

当A为锐角时，在△ABC中，

教师：已知AB=c，AC=b和∠A，作CD⊥AB，则CD=bsinA，BD=c-bcosA。

当A为直角时：由勾股定理a2=b2+c2，又cosA=0

∴a2=b2+c2-2bccosA成立

当A为钝角时，同理可证。

教师：同学们，对于这道题，你们有什么想法？

学生：余弦定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题。

教师：没错！余弦定理是一个非常有用的工具，它可以用来解决三角形中的很多问题。除了基本的余弦定理外，我们还可以对余弦定理进行一些变形，以便更好地解决实际问题。接下来，我将介绍一种对余弦定理的变形，它可以帮助我们解决一类特定的问题。

学生：变形？什么意思呢？

教师：简单来说，就是对余弦定理的公式进行一些调整或转化，以便更好地适应解决问题的需求。通过对余弦定理进行变形，我们可以得到一些新的公式或表达式，这些公式或表达式在解决某些特定问题时更加方便和高效。

学生：原来是这样啊！

教师：根据我们刚才得到的公式，可以得到下面这三个公式：

教师：同学们，我们还可以利用余弦定理的变形判定角，在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角；c2>a2＋b2⇔∠C为钝角；c2

教师：利用上述公式就可由三角形的三条边计算出三角形的三个内角。同学们，让我们看看下面这道题。

已知△ABC，根据下列条件解三角形：

解：由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB

◆巩固环节：巩固练习，拓展提高

教师：通过前面的学习，我们深入探讨了余弦定理，并了解了一些变形的形式。接下来，我们将通过一些练习题来巩固和加深对余弦定理的理解。

首先，我们来看一些题目，如图3 所示，海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，A，C两岛相距20 海里，则B岛与C岛间的距离是________．

图3

教师：同学们，这道题，我们要如何解呢？

学生：已知在△ABC中，AB=10，AC=20，∠BAC=60°，我们已经知道两边和两边的夹角，利用余弦定理求解就可以。

教师：非常好，你能说说具体如何解吗？

学生：好的，由已知的条件设公式

即B，C间的距离为海里。

教师：非常棒。

【教学总结】

在本次教学中，我们深入探讨了余弦定理及其在解决三角形问题中的应用。通过情境教学法的运用，我引导学生积极参与，激发了学生对数学的学习兴趣和热情。情境教学法的运用使抽象的数学概念变得生动有趣。通过引入实际情境和问题，学生能够更好地理解余弦定理的意义和应用，加深对数学知识的认识。另外，情境教学法促进了学生的主动思考和数学思维的发展。在解决实际问题的过程中，学生需要运用所学知识进行推理、分析和创新，这有助于培养学生的数学思维和解决问题的能力。

总的来说，情境教学法在高中数学教学中发挥了积极的作用。它不仅激发了学生的学习兴趣和热情，还促进了学生数学思维的发展。在今后的教学中，我将继续运用情境教学法，结合其他教学方法和手段，提高教学质量和效果。同时，我也会不断反思和总结自己的教学，不断完善和改进教学方法，以更好地满足学生的学习和发展需要。