系统思维 整体观念：章起始课教学的设计立意与内容建构

［摘  要］ 章起始课教学重在引导学生概览全局，厘清章节所要研究的主要内容及大致的研究思路. 文章以苏科版数学八年级上册第五章“平面直角坐标系”章起始课“5.1位置的确定”为例，旨在阐述章起始课教学的设计立意、教学流程、实施价值、实践启示.

［关键词］ 章起始课；系统思维；整体观念；位置的确定；平面直角坐标系

基金项目：苏州市教育科学“十三五”规划2019年度重点课题“动手‘做数学：初中数学实验常态化教学校本研究与实践”（191009067）.

作者简介：潘正标（1982—），本科学历，高级教师，苏州工业园区初中数学学科带头人，从事初中数学教学研究.

基本情况

1. 授课背景

章起始课是每章的开篇第一课，对于一个章节具有开宗明义、提纲挈领的作用. 因其缺乏文本教材、教学目标进行参考，同时对教学内容的“散与聚”“浅与深”“虚与实”又难以把握，导致很多教师对此类课型有效实施的信心不足，主动参与的热情不高，往往呈现出因人、因时、因地的千差万别. 近几年，笔者尝试进行多次相关的设计和授课，本文以苏科版数学八年级上册第五章“平面直角坐标系”章起始课“5.1位置的确定”为例，谈谈自己的设计立意和实践启示.

2. 内容分析

对于“位置的确定”，学生已经具备一定的生活经验，“平面直角坐标系”是“位置的确定”从生活走向数学、具体走向一般的应然之选. 学生在七年级已经了解了数轴的概念、数轴上点的表示、数轴上的点与实数的对应关系，并能借助数轴这一“工具”对数的大小比较、绝对值、相反数、数的加减运算等展开探究，初步感受了“数形结合”思想的重要价值，为后续学习“平面直角坐标系”奠定了知识基础，积累了活动经验. “位置的确定”是“平面直角坐標系”的章节起始，“平面直角坐标系”是研究函数图象与性质的重要辅助，可见，本节课的教学内容具有重要意义并承载特殊使命.

3. 教学目标

（1）结合实例进一步体会可以用数量来描述物体的位置，知道数量的变化与位置的变化有着紧密的联系；（2）引导学生经历研究数量、位置变化的“全过程”，增强学生“发现问题、提出问题、分析问题和解决问题”的能力；（3）通过类比，归纳研究“平面直角坐标系”的一般思路与方法，并初步完成全章学习内容的整体建构.

教学简录

引入·启思——会用数学的眼光观察现实世界

问题1  观察A同学的座位，你能试着用便捷的方式向别人描述其位置吗？

生1：第4行，第3列. （教师将A同学的姓名单独告知生1后，再让其回答问题）

师：你们能推断出A同学是哪一位吗？

众生：能/不确定.

师：为什么不确定呢？

生2：思路是对的，但是没有规定第1列和第1行起始位置，所以会出现4个目标同学.

生1：规定讲台起为第1行，左边起为第1列.

师：此时的位置能确定吗？（众生：能）以此为约定，你能描述自己的位置吗？

（学生活动：根据姓名报数字；根据数字报名字）

师：你还能用其他方式描述A同学的位置吗？

（学生讨论并回答）

师：在刚才的交流中，我们发现描述A同学位置的方式有很多种，可以借助“字母+数字”“参照物+平移”“方位角+距离”等，其最终都需借助数量来刻画.

设计意图  引导学生从数学的视角初步感受位置与数量的内在关联；启发学生在思辨中体悟数学抽象需基于“约定”（即逻辑的严密性），“约定”类型决定描述方式.

问题2  你还能举出一些生活中借助数量描述物体位置或位置变化的事例吗？

（学生讨论并回答）

师：刚才同学们列举了学校位置、房屋幢号、出行导航、围棋定位、象棋走位、心电图绘制、雷达扫描、台风运动、海上航行…… 可见数量与位置的确定有着密切的内部关联.

（基于教材情境预设与学生回答生成，笔者设计了如下两个层面的活动）

活动一：绘制台风路径

试根据表格（图1）提供的数据，在示意地图（图2）上描出某台风中心位置的移动路径.

（以小组为单位，操作并展示）

师：结合刚才的操作与展示，是否引发了你新的思考？

生3：数据不同描出的点也不同，台风中心的位置改变时对应的经纬度也会发生改变.

生4：发现在实际操作时难以精准画图，只能描出台风中心移动的大致路径.

师：链接“中央气象台·台风网”，借助卫星图象与计算机模拟（图3、图4）来实时感受台风中心的位置确定及运动路径刻画.

（以2022年9月份台风“梅花”为例，演示台风中心运动路径及位置确定与经纬度的对应关系）

设计意图  通过“动手操作”和“模拟演示”，从“大致”与“精准”两个层面描述物体位置，体会数量表示与位置确定的对应关系，为后续探究积累活动经验，铺垫迁移基础.

活动二：绘制舰队航迹

盘点中国海军2017年世界航迹（教材第116页），请在地球仪上指出海军编队出访的大致路线.

（以小组为单位，操作并展示）

师：本次航行任务，历时176天、航程3.1万余海里、航迹遍布两大洋三大洲，创造了人民海军历史上出访时间最长、访问国家最多的纪录，续写了人民海军走向深蓝、走向世界的新篇章.

师：这张海军世界航迹（图5），你是否有种似曾相识的感觉呢？

生5：跟“郑和下西洋”航海图（图6）非常像.

师：公元1405—1433年，郑和率领一支最多时有240多艘海船、2.7万多人的庞大舰队，七下西洋. 跨越600年历史长河，两支中国远洋舰队航迹的“重合”，是巧合吗？作为新时代的中国少年，此刻你有何感想？

生6：这是一次致敬历史荣耀的航行.

生7：很难想象在那个时代能绘制出这样一张航海图，很佩服古人的勇敢和智慧.

生8：现在我们海上有航母、军舰，天上有北斗卫星，远航更安全，导航更精准.

师：是啊，600年前绘制这样一张航海图，是多少次勇敢的远航，甚至是付出了生命的代价才换来的. 无论是过去、现在，还是将来，中国人走向世界的姿态是不会改变的，作为中国人，咱们倍感自豪.

设计意图  一是让学生体会“位置的确定”随时代变迁、实际需求而不断升格（标识物——经纬度），感悟数学的广泛应用性；二是通过重温和对比穿越时空的两次航行，增强学生的民族自豪感，激发学生学好数学的热情与兴趣，彰显数学学科的育人价值.

议论·归纳——会用数学的思維思考现实世界

问题3  立足数学视角，你能归纳数学与“位置的确定”之间的内在关联吗？

（呈现问题1、问题2中师生列举的部分事例——图7，学生以小组方式展开“议论”）

生9：生活中处处有数学，处处用数学，数学可以让生活更加便捷.

生10：“位置的确定”往往要借助数字或字母，而且一般需要一对数量.

生11：借助数量来确定物体位置，需要进行提前约定或说明，这样才能准确描述.

生12：可以借助数量变化、标识物变化来描述物体的位置变化.

师：从生活到数学，就是要“会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界”，这是一个从数学外部逐步走向数学内部的过程.

设计意图  通过对第一阶段两个问题探究的“再议论”，引导学生展开深度思考，发现并归纳“位置的确定”背后所蕴含的数学模型，体悟“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界”是从生活走向数学的一般路径.

关联·建构——会用数学的语言表达现实世界

师：生活中我们常常要研究物体的“位置的确定”，而数学中，我们常常要研究点的“位置的确定”.

问题4  结合图形，回答下列问题：

①如图8，你能描述点P的位置吗？

②如图9，已知线段AB，点P在什么位置时，PA=PB？

③如图10，点P在什么位置时，△PAB是等腰直角三角形？

④如图10，你能试着提出一个新的问题吗？

（学生讨论并回答）

问题5  如图11，点P在长方形OABC的边OA上，过点P作BP的垂线，交OC于点Q，在点P从点O出发沿OA方向运动到点A的过程中.

①当点P的位置确定时，点Q的位置______.

②当OP长度不断变大时，OQ的长度将如何变化呢？

③结合探究过程，你有什么新发现？或者提出一个新问题？

（学生借助探究用纸，先尝试画图，再展开讨论与分享）

设计意图  问题4、问题5两个环节均采用学生借助操作用纸进行“渐次”画图的方式，教师借助“网络画板”进行动态演示，并通过“问题串”的方式对“点P位置的确定”展开探究，步步推进，层层聚焦，旨在让学生在“操作—观察—猜想—验证—思考”的过程中，不断感受“点的位置—图形形状—数量刻画”三者之间的关联与统一.

问题6  如图13，你能描述A4纸上点P的位置吗？

（先呈现图12，然后再隐去矩形ABCO，只留下点P，呈现图13，并提问）

生13：在A4纸的右上角.

师：这位同学实际就是借助纵、横两条折痕（呈现图14）将A4纸分为四个区域，并描述了点P的大致位置. 给出点Q（呈现图15），你能确定点Q的位置吗？

生14：还在A4纸的右上角.

师：如何进一步区分点P与点Q的位置？能否更精准地描述或借助数量进行刻画呢？

（学生讨论后并回答）

生15：平面直角坐标系.

师：这是一个崭新的名词，你能简单解释一下吗？

生15：两条数轴纵横相交，就可以类比“行+列”的方式，用数对来描述点的位置.

师：是的，借助平面直角坐标系这一工具（呈现图16），我们就能够精准描述平面内点的位置. 关于平面直角坐标系的发明，传说是伟大的数学家笛卡尔在看到蜘蛛织网后的灵感闪现. 基于坐标系，笛卡尔还创立了一门新的学科——解析几何，成功地将原本分离的代数和几何学联系在了一起.

设计意图  问题4、问题5、问题6的设计，一是引导学生再一次感受“数”与“形”的关联统一；二是让学生体悟“位置的确定”从生活走向数学、从一维空间走向二维空间的自然与必要.

问题7  类比数轴的研究思路与方法，你能初步构建平面直角坐标系的研究路径与内容吗？

师：不忘来时路，方知向何行. 咱们一起来回顾一下“数轴”相关的学习内容和研究思路（依次呈现七年级上册教材中“2.3数轴”“2.4绝对值与相反数”“2.5有理数的加法与减法”等素材图片），你能预设“平面直角坐标系”的研究内容与大致路径吗？

设计意图  一是通过学生交流讨论，梳理“数轴”的研究内容与探究路径（图17），并在教师的引导下，类比建构“平面直角坐标系”的章节知识网络与探究路径（图18）；二是引领学生站在整章和全局的视角，感受知识发展的“螺旋式上升”及研究路径的“一以贯之”.

问题8  通过本节课的学习，你对本章的学习有了哪些新的认识、新的思考、新的期待？

设计意图  师生在回顾与展望中，共同梳理、提炼、内化教学内容，共同建构、完善板书设计（图19），促进学生深刻理解本节课的设计立意与教学主线.

实践启示

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联.”章建跃博士指出：章起始课要解决好两个问题：一是获得研究对象，二是构建研究思路. 由此可见章起始课教学是在系统思维与整体观念引领下对整章内容所做的一个提纲挈领的“预览”，是在大概念统领下的结构性展望，是对研究思路的显化、迁移与致用.

1. 系统思维立意，渗透大概念、大情境、大任務

系统思维是原则性与灵活性有机结合的基本思维方式，落脚于具体课堂教学，就是运用系统观点，对章节内容互相联系的各个方面及其结构和功能进行系统认识. 本节课的教学设计与实施始终以系统思维为核心立意，着眼全局，整体出发，渗透大概念、大情境、大任务，从“大”处着手，实现更高站位、更加聚焦、更为深入.

以“数量与位置”为主干道，紧扣“用数量来描述物体的位置，数量的变化与位置的变化有着紧密的联系”这一核心，将师生的注意力和思考点转向“少而重要”的专家视角. 以“大概念”统摄本节课及后续教学中的情境预设、问题设计与活动开展，有效引导了学生的真实思考与深度学习，也为他们形成学科素养与关键能力提供了更多契机.

以“生活与数学”为线路图，从物体到图形、从动手操作到技术模拟、从一维空间到二维空间，宏观与微观相结合、历史与现实相照应、真实与虚拟相支撑，形散神似、彼此关联. “大情境”之下，学生面对的知识场景更真实、更多元、更持续，从课堂实施过程来看，学生的参与感、获得感更明显，学生对于知识的发生与发展，既感受到了水到渠成之巧，也意识到了自然天成之需.

以“抽象与建模”为任务轴，设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“三会”为逻辑的连贯任务（即“引入·启思——会用数学的眼光观察现实世界”“议论·归纳——会用数学的思维思考现实世界”“关联·建构——会用数学的语言表达现实世界”）， 通过“大任务”的渗透与达成，学生对建立数学认知结构，形成问题研究的一般套路，得以完整经历，让后续学习有“法”可依，有章可循.

2. 整体观念建构，凸显整体性、逻辑性、发展性

章起始课是基于全局思想和整体观念整合而成的，既要呈现“先行组织者”的统领性，又需注重教学设计与教学实施的整体性、逻辑性和发展性.

整体性既是章起始课设计的核心，也是实施前提. 一是知识的整体性，笔者将全章的知识视为整体，把内容进行了重新整合与编排，既明确了课时的教学内容，又系统规划了整章的教学组织序列. 二是学习活动的整体性，笔者在设计问题与活动时，充分兼顾了学生已有的基础知识和基本技能、基本思想和基本活动经验，并大胆放手，引导学生激活已有的知识和经验，对新学内容进行关联与重构. 三是章际知识的整体性，对于“平面直角坐标系”而言，它只是系统中的一个单位，笔者在教学实施中充分尊重了它与“数轴”的逻辑关联，巧妙呈现了章与章之间的自洽与照应.

逻辑性既要体现知识关联的前后逻辑，又要关注学生思考的思维逻辑. 一是情境呈现的逻辑性，从生活到数学，从数学到生活，从数学到数学，源于生活聚焦数学；二是问题设计的逻辑性，从具体到抽象，从现象到本质，从类比到关联，始于特殊聚焦一般；三是知识发展的逻辑性，从单个知识点到整个知识链，从社会生产与生活的需要到数学自身知识体系发展的必然，关注发生，聚焦发展.

发展性既要注重目标的短期达成，又要着眼学生的长远发展. 一是教学目标的发展性，本节课将“经历研究全过程”“归纳一般思路与方法”“初步完成知识建构”等指向发展性的目标纳入教学；二是学生思维的发展性，教学中不仅关注了显性目标的实现，还加强了“抽象、归纳、类比、关联”等高阶思维的进阶训练；三是育人眼光的发展性，教师在教学过程中，不拘泥于教学内容与练习题量的多少，而是把学生的“收益”放在全章学习，甚至长期学习历程上去考量，以发展的眼光看待学生发展.