融入思政元素的“概率论”课程教学案例设计

陈衍峰

2020年6月教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，要求高校要深化教育教学改革，充分挖掘各类课程思政资源，发挥好每门课程的育人作用，全面提高人才培养质量.要把立德树人融入思想教育、文化知识教育、社会实践教育等环节，贯穿高等教育各环节［1］.课程思政被摆在了高等教育的突出位置，是落实立德树人根本任务的重要举措.全面推进课程思政建设，可以很好地帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观，更好地培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人［2-4］.

1 “概率论”课程融入思政元素的意义

“概率论”课程是高校理工类和经管类学生的一门十分重要的基础必修课程，受众面广泛，其主要任务是揭示随机现象的内在统计规律.学生通过对“概率论”课程的学习，可以掌握处理随机现象的基本思想和方法，进而运用此方法分析和解决社会生产和生活中的实际问题［5］.“概率论”课程是许多后续课程的基础和工具，学好本门课程对培养学生思维能力、数据处理能力、数学建模能力和理论联系实际能力都具有重要作用.因此，在“概率论”课程的实际教学中适时融入典型的思政案例，使思政元素与知识内容有机结合，可以很好地提升学生学习本门课程的兴趣和积极性，筑牢本门课程基础知识内容的学习，进而为日后理论研究和实践奠定坚实基础［6］.将思政元素融入“概率论”课程教学既利于实现思政教育和专业教育的有机融合，又能发挥思政隐性教育的重要作用.

本文对“概率论”课程思政案例教学进行深入研究，着重选取五个知识点进行案例设计，将诚实守信、持之以恒、脚踏实地、普遍联系等思政元素融入案例之中，以达到“概率论”课程思政目标.

2 “概率论”课程知识点思政案例设计

2.1 贝叶斯公式思政案例设计

贝叶斯公式是“概率论”课程的一个重要教学内容，具体可以概括为：某个事件A已经发生，它的发生是由B1，B2，…，Bn等n个方面的原因导致，在众多可能的原因中，由原因B2导致了结果A发生的可能性有多大？这个问题可以用概率P(B2|A)来刻画.

在讲授贝叶斯公式时，可以引入烽火戏诸侯的案例.西周末年，周幽王通过点燃烽火台，引来各路诸侯救驾以博妃子一笑.后又多次效法，诸侯们渐渐失去了对幽王的信任.最后，当边关告急时，点燃烽火台也没有诸侯赶来救驾，导致幽王被杀，西周灭亡.

问题描述：幽王多次点燃烽火台戏弄诸侯后，诸侯们为何渐渐失去了对他的信任呢？

问题解答：假设最初诸侯对幽王信任的概率为0.8，诸侯对幽王信任时幽王戏弄诸侯的概率为0.1，诸侯对幽王不信任时幽王戏弄诸侯的概率为0.6.

由此可以看出，诸侯们在第一次被戏弄后，对幽王的信任度由原来的0.8下降至0.4，再次应用贝叶斯公式，可得第二次幽王戏弄诸侯后诸侯们对幽王的信任度为：

这表明幽王在第二次戏弄诸侯后，诸侯们对幽王的信任度由0.4下降至0.1.按此方法，还可计算出第三次幽王戏弄诸侯后诸侯们对幽王的信任度为0.018 2.从中不难看出，当幽王3次戏弄诸侯后，诸侯们对幽王的信任度已由最初的0.8下降至0.018 2，可以说诸侯们对幽王基本没有了信任度.因此，最后当边关真正告急时，没有诸侯前来救驾，幽王被杀，西周灭亡.

这个例子用具体数字阐明了诚实守信的重要性，揭示了一而再、再而三地连续性欺骗可以使人们对一件事情产生诚信危机，以此引导每位学生悟懂诚实守信是做人的根本，每个人都要有正确的三观，同时诚实守信、真抓实干也是中华民族的传统美德.

对上述问题可以作进一步思考.假如在3次戏弄诸侯后，幽王认识到了问题的严重性，那么怎样做才能再次获得诸侯们的信任呢？

该问题即为利用贝叶斯公式求解P(A|)，此时，P(A)=0.018 2，P()=0.981 8，P(|A)=1-P(B|A)=0.9，P()=0.4，于是，有

这表明通过3次戏弄诸侯，幽王认识到问题的严重性，第一次纠正错误后，诸侯们对其信任度由0.018 2上升至0.04.用与上文同样的方法，由贝叶斯公式计算可得出，幽王第二次至第七次纠正错误后，诸侯们对其信任度的数值.7次信任度的具体数值如表1所示.

表1 7次信任度

从表1可以看出，随着纠正错误次数的增多，信任度数值也在逐渐增大，且在第七次时，数值重新回到了原始数值0.8以上，可见信任度的回升比较缓慢.

以此教育学生诚实守信是当代大学生应有的品质，是其在社会中前进的基石，也是其践行社会主义核心价值观的基本价值准则，在日常学习和生活的各方面都要恪守诚信，比如：考试诚信、经济诚信、生活诚信、上网诚信、遵规诚信等.因为一旦失信，再想重建诚信，绝非一两次信守承诺能够做到，可能根本无法恢复，即使能够恢复也需要很长一段时间.

2.2 小概率事件原理思政案例设计

小概率事件原理又称为实际推断原理，是“概率论”课程中非常重要的原理之一，具体可以阐述为：一个随机事件本身发生的概率很小，即在一次试验中实际不会发生，但在多次重复试验下，小概率事件一定会发生.深入研究该原理可以发现其中蕴含着从量变到质变的哲学思想.

在进行该原理所涉及的相关知识内容教学时，可以恰当地引用范进中举的案例.引导学生以唯物主义的思想看待问题，培养他们锲而不舍、刻苦勤奋和持之以恒的精神.

范进中举的故事源于《儒林外史》，讲述范进是一名秀才，勤学苦读，自12岁应考乡试，连续应考了20余次，最后一次才考中举人的故事.

问题描述：从故事中可以看出，范进每次考试能够考中是一个小概率事件，而小概率事件在一次随机试验中几乎是不会发生的.为什么多次应考后此小概率事件就成为必然事件发生了呢？假设每次应考的结果之间有关联，并不相互独立，且每次考中的概率为0.3.

问题解答：设事件Ai表示第i次未考中，i=1，2，…，20，事件B表示考中.依题意，可以得出第一次考中的概率为P(B)=0.3，第二次考中的概率为P(B)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A2|A1)=1-0.72=0.51，第三次考中的概率为P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=1-0.73=0.657，按此规律继续计算可得出，20次考试中每次考中的概率，具体数据如表2所示.

表2 20次考中的概率

从表2可以看出，随着考试次数的增多，考中的概率逐渐增大，且在第二十次考试时，考中的概率高达0.999 2，可以近似地认为，此次考中的可能性是100%，即该事件是一个必然事件.

这个案例表明，小概率事件虽本身发生的可能性较小，但只要不断重复去做，在多次试验后，小概率事件即成为了必然事件，也即不断量变之后，达到了质变.借此小概率事件原理告诉学生，在现实生活中，某件事即使成功的希望很小，也要尽最大的努力，当努力的次数足够多，几乎可以肯定这件事情一定会成功.提醒学生要趋利避害，及时纠正不好的小概率事件，勿以恶小而为之，勿以善小而不为，一定要防微杜渐，切忌千里之堤，溃于蚁穴，一定要努力学习科学文化知识，为社会的不断发展贡献自己的一份力量.

2.3 古典概型思政案例设计

在讲授古典概型问题时，彩票问题是其中重要的内容之一.众所周知，近年来，电脑彩票在我国各省市均有发行，花几元钱就可购买一张，购买后就有机会获得几百万甚至上千万的奖金.因此，买彩票中奖也成了许多人梦寐以求的事情.下面以某地福利彩票36选7为例，通过计算查看中各等奖的可能性有多大？

从彩票问题本身容易看出，中奖概率问题属于古典概型问题，其基本事件总数为n=.于是由古典概型计算公式可得，一等奖的中奖概率为，运用同样的方法可计算出，二等奖至七等奖各奖项的中奖概率分别为3.474 0×10-6，2.084 4×10-5，2.918 2×10-4，7.295 4×10-4，6.565 9×10-3，8.754 5×10-3.将其做成散点图如图1所示.

图1 36选7彩票7个奖项的获奖概率散点图

从图1可以看出，随着彩票中奖等级的降低，中奖的概率逐渐增大，这与实际情况相符合.其中一等奖的中奖概率为1.197 9×10-7，即一千万人中约有1人中一等奖，可见中一等奖的概率相当小，几乎被看作是不可能实现的事情，所以人们幻想通过购买彩票中大奖发家致富是不现实的.基于此教育学生购买彩票不能心存侥幸，要秉持一颗平常心来对待，要以支持国家福利事业发展的态度，为社会发展作出自己微薄的贡献，充分发扬社会主义人道精神，懂得做人要脚踏实地，一步一个脚印，只有凭借自己辛勤的工作才能获得相应的回报.

2.4 二维离散型随机变量联合分布思政案例设计

在讲授二维离散型随机变量联合分布时，可以引入一类无放回抽球问题作为教学案例.通过对其联合分布列、两个边际分布列的求解，验证联合分布列能够决定边际分布列，而边际分布列不能决定联合分布列.引导学生学会运用联系的观点看问题，正确处理问题的整体与部分的关系.

无放回抽球问题：一口袋中有4个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这个口袋中任抽取1球后，不再放回袋中，再从袋中任意抽取1个球.设每次抽取球时，每个球被抽取到的几率是等可能的.分别以ξ和η表示第一次和第二次抽取到的球上标有的数字，求二维随机变量(ξ，η)的联合分布列，并求其两个边际分布列.

问题解答：从问题阐述中可以知道，ξ和η的可能取值均为1，2，3，且可求得相应取值时的概率为：

因此，二维随机变量(ξ，η)的联合分布列如表3所示.

表3 (ξ，η)的联合分布列

由联合分布列可以求得关于ξ和η的边际分布列分别如表4、表5所示.

表4 ξ的边际分布列

表5 η的边际分布列

由上面的求解过程可以看出，如果知道了某个二维随机变量(ξ，η)的联合分布列，那么可以由联合分布列求出ξ和η的边际分布列，这是因为联合分布体现了(ξ，η)的整体规律性，边际分布列体现了ξ和η的部分规律性，而当整体规律性确定了，那么部分规律性当然也就确定了.

另外，若从二维随机变量(ξ，η)本身来看，这是由ξ和η两个单个随机变量组成.在本案例求解二维随机变量的联合分布列时，是在两个随机变量公共取值范围上进行的，这也很好地体现了局部也在影响整体.

鉴于此，可以引导学生正确把握部分与整体的关系.这个关系类似于个人的三观与社会主义核心价值观之间的关系，即部分的发展影响整体，整体的进步离不开部分，整体决定部分，部分不能决定整体，但可以反作用于整体.联想到生活当中，每个学生都要做堪当民族复兴大任的时代新人，将个人梦与民族梦、国家梦紧紧联系在一起，将个人的小我融入祖国的大我，树立崇高理想，与历史同向，与祖国同行，与人民同在，用拼搏和汗水为实现中华民族伟大复兴的中国梦添砖加瓦.

2.5 二项分布思政案例设计

二项分布是离散型随机变量常用分布中的一个，生活中的许多随机现象往往都可以用二项分布来表达，因此，二项分布在“概率论”课程教学中显得非常重要.

在讲授此内容时，可以巧妙地引入一类保险投保问题作为教学案例.通过对此类问题的解决，启迪学生懂得万物皆有联系，学会用联系的观点看待和处理问题.

问题描述：设某保险公司的某人寿保险险种有1 000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1 000个投保人中死亡人数不超过10人的概率.

问题解答：此题从正面出发，常规的解决方法是设ξ为1 000个投保人中在未来一年内死亡的人数，因此，可知ξ服从参数为1 000，0.005的二项分布，于是所求问题的概率为：

此题中n很大，p很小，且λ=1 000×0.005=5比较适中，因此，有

而此式的求解可以通过查阅泊松分布表完成，方便快捷，容易求得结果为0.986.

通过对该问题解答过程的学习，鼓励学生自己总结、发现和体会其中的巧妙联系和变通，以此树立良好的学习信心，很好地学习本门课程.同时在学习和生活中遇到困难时，要积极寻找解决问题的方法，善于运用事物之间的普遍联系，适时转化思维模式，多角度、多维度思考和解决问题.

3 结语

本文紧密结合立德树人的教育理念，通过精心设计诚实守信、持之以恒、脚踏实地、整体与部分和普遍联系等思政案例，潜移默化实现了思政育人的教学效果，同时极大地激发了学生分析问题和解决问题的能力.

“概率论”课程思政涉及面广，不仅涉及量变到质变、整体与部分、普遍联系、现象和本质、偶然和必然等辩证唯物主义思想，还涉及人生观、理想信念、科学精神、社会主义核心价值观、家国情怀等.“概率论”课程思政教学中既有知识传授，又有价值引领，尤为重要的是能力培养，即通过思政案例分析引导学生科学掌握数学规律，运用数学规律进行理性思考，分析和解决实际问题.目前“概率论”课程思政教学已经取得一定成效，更深入更具育人功能的思政案例需要在今后教学中继续挖掘和探索.