数学文化中融入“课程思政”的“导讲研思”教学模式——以数学文化中的勾股定理为例

徐 小 琴

(内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641100)

0 引言

2016年,习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上的讲话[1]拉开了“课程思政”的帷幕．2017年,中共中央办公厅、国务院印发了《关于加强和改进新形势下高校思想政治工作的意见》,2019年进一步印发了《关于深化新时代学校思想政治理论课改革创新的若干意见》,高校思想政治教育改革被提到新高度．2020年5月,为进一步强化课程育人功能,教育部颁发了《高等学校课程思政建设指导纲要》,为高校课程思政指引了方向,将课程思政作为落实立德树人根本任务的战略举措,同时在建设目标和内容重点上作了说明．在各级指导文件的相继印发下,课程思政被广泛关注与热议,但是处于“孤岛”“孤舟”的不利局面仍然没有得到根本改观,思政课任课教师在高校思想政治教育工作中“单兵作战”“孤军作战”的现象仍然没有得到根本扭转[2]．课程思政的载体和瓶颈是思政课程外的各学科课程.要挖掘其他课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源,实现全员、全程、全方位育人[3]．“课程思政”教育教学改革正是针对“思政课与专业课两张皮、课程间合力难成”这一高校课程体系和教学实践中长期存在的“痛点”,强调所有的教师都有育人职责,所有课程都有育人功能[4]．探索与落实学科课程的思政建设是落实高校课程思政建设的主要内容与工作要点．本文以数学文化课程为例,挖掘数学文化中的故事、文化史料、数学名家等育人元素,发挥课程的隐性育人价值．

数学文化以传递数学思想、方法、定理、法则、数学家、数学美、数学史等为目的,是高校课程思政建设的高地．数学文化既包含数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展;又包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动[5].正是这样的精神、方法、贡献等,对学生的正确的世界观、人生观和价值观的形成有着潜移默化的影响．找准数学文化课程中的教学与育人触点,是课程思政融入的脚手架．已有研究整合了课程中的全部思政元素与教学内容,但在具体内容实践上缺乏具体操作性.本研究以数学文化中的勾股定理为例,挖掘课程中的思政元素,揭示思政元素融入的具体时机与方法,给出可操作、可量化、可推广的实践路径．

勾股定理是平面几何学的基石,是最古老和影响最广泛的定理[6],是数学文化与思政融入的典型素材．数学文化视角下的勾股定理,相较于中学对定理的推理、证明与应用外,更多一层文化底蕴的挖掘与课程思政的融入．数学文化中的勾股定理,蕴含了勇于探索、敢于创新、理性精神、文化自信、民族自豪感、追求数学美等诸多思政元素,是课程思政的典型案例,也是落实立德树人根本任务、提升学生数学核心素养的重要契机．

因此,数学文化中的勾股定理融入课程思政可为且能为,能帮助数学师范生更深刻地认识勾股定理及其蕴含的理性精神与人文情怀,在知识学习的过程中渗透数学思想方法,在教学中将数学思想方法进行推广应用,让学生体验数学的思想美、方法美、简洁美、直观美．本文以数学文化中的勾股定理为例,采用“导讲研思”教学模式,对数学文化的思政元素融入进行探索与实践,发挥数学文化课程育人功能．

1 “导讲研思”教学的内涵

“导讲研思”教学模式是基于学生已有认知基础,在教师创设符合学生经验的情境中,帮助学生意义建构知识的教学模式．该模式基于孔子的“启发式”教学、杜威的“在做中学”、建构主义的“意义建构”、奥苏伯尔的“有意义学习”等教育理念．

“导”就是引导、启发．孔子语:“不愤不启,不悱不发”;《学记》中“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”;苏格拉底“产婆术”等无一不是启发式教育思想．教师在教学过程的作用是“传道、授业、解惑”,传道、授业、解惑的过程又不能局限于教师的主导作用,应充分认识到学生的主体地位,将学生看作能动的主体,引导、启发学生独立思考,从而培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．

“讲”就是讲授、讲解,与传统意义的“灌输”式教学方式有本质区别．“讲”是传统意义教学最常见的教学方式,是指“教师系统地向学生介绍、解释和说明学习内容,帮助学生更好地理解和接收所学习的内容[7]”突出“教”的过程,忽视了学生在讲解过程中的主体作用．“讲”是“对话性讲解”[8],是指师生之间通过对话交流、协作沟通等方式意义建构知识体系的过程．“讲”不是教师的单边活动,而是“师生之间”“生生之间”的多边活动．

“研”就是研究性学习．教师的教学不能止于课堂或某个知识内容,应以教学内容为契机引导学生开展研究性学习．研究性学习应以问题为内容,驱动学生运用已有知识经验,去同化或顺应新知识,建构知识意义,达到深度学习．

“思”是思考．“学而不思则罔”,“学、思、行”结合都强调了学习与思考的辩证关系．数学的高度抽象性和严谨逻辑性决定了数学学习是“思而知之”,“ 思” 就是理解[9]．思考是学习的方式也是学习的补充和延续,深度学习必须要求学生在思维层面从 “平衡”到“认知冲突”再“平衡”的闭环转变．

2 设计思路与思政元素融入

受“导-讲-评-研”[8]教学模式及“导-研-行”[10]教师培养模式的启发,立足于“学生中心”的教育理念,凸显“知识为本”向“素养为本”的转变,本节课采用“导—讲—研—思”的教学模式,以学生为中心,在教学各环节渗透育人因素(见图1)．

图1 “导讲研思”教学模式

从课前、课中、课后一体式教学循序渐进,线上、线下融合式教学,逐步渗透教学目标．课前,在线上平台发布导学内容,学生初步了解勾股定理的本质内涵及发现历史过程,渗透勤于思索、勇于创新的数学精神．课中,主要讲述赵爽弦图证明勾股定理蕴含的数学精神、数学思想,进而将证明过程中的主要思想方法“出入相补”应用于研究其他数学问题,重在强化理性精神、文化自信、民族自豪感、追求数学美等思政元素．课后,学生思考勾股定理“无字”证明的其他方法,并运用“出入相补”原理设计“无字”证明教学案例,培养学生的理性思维与创新精神．

3 课程思政融入的“导讲研思”教学设计

3.1 启发诱导,调动学生学习动机

课前导学．通过线上教学平台,发布了关于勾股定理发展历程、证明方法的导学内容(微视频、文案),做知识、文化、心理铺垫,激发学生的学习兴趣．

课堂伊始导问．借助问题1导入新课内容,借助模型直观,展示国际数学家大会会徽,引起学生的有意注意．

问题1:如图2所示,通过课前(线上)导学内容,说说弦图的深刻内涵.

图2 2002年国际数学家大会会徽

PPT展示2002年第24届国际数学家大会会徽,引导学生回答问题,分析会徽中心图案——赵爽弦图的文化背景及数学含义,引出课题——数学文化中的勾股定理．引导学生通过线上导学内容回答问题,吸引学生注意力,检验学生学习情况,奠定后期学习基础．

(1)文化层面含义．弦图组成的正方形四边相等,代表各国来宾地位平等;弦图由四个全等直角三角形紧密环绕而成,代表各国数学家紧密合作,共同解决难题;弦图形状像风车代表我国热情好客,是我国爱好和平的象征．

(2)数学层面含义．弦图是中华民族追求理性精神的象征,是我国论证数学的开端.至此,我国数学开始“讲理”．弦图是讲逻辑、讲直观的,在证明勾股定理的过程中充分体现了“析理以辞,解体用图”,同时在此过程中充分体现了数学的理性精神、追求直观、追求简洁美的三大精神以及数形结合、转化、方程的三大思想．

【思政元素】通过突出赵爽弦图在国内乃至国际数学的地位,彰显我国优秀传统数学文化,树立文化自信,弘扬爱国情怀．

3.2 讲解新知,协作交流内化认知

以对话的形式讲解弦图证明勾股定理的方法及原理,借助学生对勾股定理和面积计算的已有知识经验,帮助学生建构起弦图中面积转化的思想,再借助多媒体直观演示过程,进一步意义建构知识体系．问题2和问题3对中西方典型证明方法进行对比,既认识到方法的多元性,又体会到各自的优越性,潜移默化增强文化自信．

问题2:通过课前导学,大家知道勾股定理的证明方法约500种,那如何利用弦图证明勾股定理?

赵爽在“勾股圆方图(弦图)”之后给出一段注文:“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦．”“案弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘,为中黄实,加差实亦成弦实．”赵爽不仅给出了勾股定理的表述形式,还给出了勾股定理的一种证明方法——“出入相补”[11-12]．

在弦图中,两个正方形左右摆放,需将两个小正方形的面积转化为一个大正方形的面积(三个正方形的边长构成直角三角形),将左右下角的两个三角形分割,移补到左右上方(见图3)．这种“以盈补虚”“割补”的方式就称为“出入相补”．这样就可以直观证明勾股定理,借助几何画板,动态展示弦图证明勾股定理的过程,直观体验证明方法的直观性与简洁性．弦图给出了勾股定理“无字”证明的一种方法,是古代数学家智慧结晶的体现,是现代教学所追求的教学方法．

图3 弦图证明勾股定理方法1

同理,在弦图中,两个正方形的摆放位置不同,则转化方式不同.如图4所示,将正方形上下摆放,同样运用“出入相补”可将两个小正方形的面积转化为一个大正方形的面积．这是勾股定理无字证明的又一种方法．这与刘徽在《九章算术》中给出的“青朱出入图”异曲同工．

图4 弦图证明勾股定理方法2

活动:请大家尝试借助弦图寻找证明勾股定理“无字证明”的不同方法.

让学生独立思考后小组讨论弦图证明勾股定理的不同方法,并让同学上台展示证明过程,使学生成为课堂的主人．

【思政元素】通过弦图证明勾股定理的过程,体会古代数学家的聪明才智,渗透理性精神,弘扬文化自信,增强民族自豪感,达到润物无声的作用．

问题3:西方数学家如何证明勾股定理?

西方数学家证明勾股定理的方法也非常多,以古希腊数学家欧几里得为代表,其证明方法同样借助图形面积的转化,利用同底等高的性质及全等三角形,将两个小正方形的面积转化为大正方形的面积,证明过程繁杂、抽象、严密．

【思政元素】通过展示西方数学家证明勾股定理的方法,让学生体会数学证明方法的发散性.对比国内外证明方法,体会我国古代数学家证明方法的优越性,增强文化自信,同时深刻理解“出入相补”原理．

3.3 研究推广,举一反三触类旁通

第斯多惠曾说:“一个坏的教师奉送真理,一个好的教师则教人发现真理．”授人以鱼,不如授人以渔,教师授予学生应尽可能地以方法、思想等,并将此应用于解决其他问题．因此,在教学中要关注研究性学习,让学生从研究的视角观察、思考、表达现实世界,把学生看作发展的人,具有主观能动性,会用数学的思维进行判断、推理、验证、表达．借助问题4和问题5开展学生研究性学习,充分领悟知识从哪里来,到哪里去,如何指导教学．

问题4:如何借助“出入相补”推导多边形的面积?

平行四边形面积的推导如图5所示.在平行四边形中,将未知的化为已知的(面积),将不规则的图形转化为规则图形,平行四边形与矩形之间有诸多属性相近,借助“出入相补”原理将平行四边形进行分割移补,转化为矩形,因此可以得到面积公式．同理,可以推导三角形的面积公式．

图5 平行四边形面积推导

问题5:“出入相补”原理除了在平面几何推导中应用外,在代数推导中又是否适用?

“出入相补”原理同样适用于代数中部分公式的推导.如平方差公式(a2-b2)的几何意义可以表示为两个边长分别为a,b的正方形的面积之差,通过“出入相补”的方式,将不规则的多边形的面积(或多个规则几何图形的组合)转化为规则的几何图形(见图6),即转化为一个长为(a+b)、宽为(a-b)的矩形的面积．

图6 平方差公式推导

此方法还可以推导等差数列前n项和公式．首先,推导正整数列1+2+3+…+n的和,借助正整数的几何意义,转化为可视化的面积和问题(见图7).要计算如图7所示的几何图形的面积,一种是“割”的思想,转化为边长为n的等腰直角三角形的面积和n个边长为1的等腰直角三角形面积之和.另一种思维是“补”,通过补一个面积一样的几何图形,则转化为边长分别为(n+1)与n的矩形的面积,如图8所示,进而还可以推导等差数列求和公式的一般化方法.

图7 自然数列求和几何示意图

图8 割补转化示意图

出入相补的应用远不止于此,刘徽将其运用于推导圆的面积,祖暅将其推广为空间中的出入相补,进而推导出球的体积公式．

【思政元素】将中国古代数学思想方法进行推广应用,弘扬传统数学文化,并发扬古代数学家的智慧与成就．

3.4 熟读精思,思维延伸知行合一

朱熹曾说:“读书之法,在循序而渐进,熟读而精思．”对教学而言,就是要学生勤思、精思、慎思．让学生带着问题进入课堂,带着问题离开教室,让课堂教学内容完而未完,思维活动持续延伸．通过设计问题6,既巩固所学内容,内化知识结构,又通过思考延续课堂内容,达成深度学习．

问题6:结合中学数学教学内容,运用“出入相补”原理设计一个“无字”证明的教学案例．

【思政元素】弘扬和传承古代数学家的智慧结晶,赓续历史文脉,做中华优秀传统文化的继承者、传播者、践行者．

4 教学反思

4.1 坚持“学生中心”理念

卢梭的“儿童中心主义”、皮亚杰的“认知发展阶段理论”、杜威的“做中学”无一不倡导学习者中心,坚持以“学生为中心”的教学理念,让学生成为课堂的实践者、活动者．通过赵爽弦图证明勾股定理的过程,认识“无字证明”方法的原理,以及迁移至数学教学的其他内容中,凸显“知识为本”向“素养为本”的转变．

4.2 把“导”“讲”“研”“思”当作四种学习方式

“导”中学,“讲”中学,“研”中学,“思”中学,落实学生中心．教学过程是一个复杂的动态过程,要充分将“导讲研思”相结合,不能独立看待或片面理解,它们在教学中的地位和作用各有千秋.因此,不同教学内容可以进行适当的调整,以便符合学生的认知结构．教学有法,教无定法,以学生为中心,构建“导讲研思”教学模式(见图9)．导:以问题为驱动,激发求知欲．讲:讲解赵爽弦图中的数学精神、数学思想．研:研究勾股定理“无字证明”的其他方法．思:思考设计“无字证明”的教学案例,学以致用,认识“出入相补”在中小学数学教学中的广泛应用．

图9 “导讲研思”教学模式

4.3 注意学生的“前发展区”“最近发展区”“后发展区”

线上线下融合教学打破线下教学对时间、空间、地点的限制,教学形式更灵活、教学内容更生动．课前,借助线上教学资源(微视频、导学案),初步了解勾股定理发展历程及相关证明方法,学生通过自行学习的方式在已有知识经验基础上往前一步,达到前发展区.课中,通过教师引导、师生对话,着重理解弦图证明勾股定理的方法,并对“出入相补”进行推广应用,让学生的思维水平逐步达到最近发展区.课后,线上发布思考问题,让学生对所学内容加以深化和应用,达到后发展区．线上与线下融合教学,达成深度学习,让学习有弹性、有深度、可持续,使学生从“教会”到“学会”再到“会教”的转变,达成学科育人目的．

5 结语

数学文化具有德育、美育、思维训练的价值[13],开发利用数学文化课程中的“思政元素”案例是落实立德树人根本任务、实施素质教育的保障．善于利用数学文化课程中的数学故事、数学家、数学著作、数学定理、数学科技等进行思政教育,对提升学生的理性精神、批判思维、科学态度、人文情怀、文化自信、民族自豪感等都有不可替代的作用．以“导讲研思”教学模式融入思政元素,能有效地将“学科”与“育人”结合起来,并且也是符合学生认知规律的教学方式,充分关注学生的主体作用,对数学文化中的课程思政融入具有一定指导意义．