“倍”的意义不仅是除法运算的结果

□齐 美 郜舒竹

“倍”作为小学数学课程的重要内容，在我国小学数学教科书中通常安排在除法之后进行教学。人教版教材三年级上册中关于“倍”的描述是“求擦桌椅的人数是扫地的几倍，就是求12 里面有几个4，用除法计算”。这样的描述将“倍”视为运算的结果，将运算的对象指向“数”，运算的过程等同于“除法”，这或许就是将“倍的认识”安排在整数除法之后进行教学的原因。按照这样的认识，“6÷3=2”与“6 是3 的2 倍”仅是在名称上发生了变化，即将除法的结果“商”改为“倍”，从而引发教学的困惑：既然已经有了除法，为什么还需要学“倍”？“倍”有什么意义？

一、文献考察

在汉语中，“倍”有增加之意，与“半”相对。成语“事半功倍”用来形容花费的气力小，收到的成效大。与之相反，“事倍功半”则用来形容花费的气力大，收到的成效小。如果用“事一功一”作为参照，“事半功倍”的“半”表示二分之一，而“倍”则表示二，意味着在原数基础上增加相同的数量。历史上，人们早已熟练掌握“加倍”的运算方法，如《孙子算经》中的鸡兔同笼问题就提及了“倍足法”。“加倍”用现在的算术语言来说就是“乘2”的意思［1］，同理，诸如“3倍、4倍”大多是“原数乘3、乘4”之意。

在西方，关于“倍”的概念被描述为倍量（Multi‐ple）。古希腊欧几里得《原本》（Elements）第五卷中对倍量的阐述是：较小量是较大量的一部分（Part），当一个较大量能被较小量完全测量时，这个较大量就是较小量的倍量。［2］由此可见，倍量概念源于测量，用于描述较大量与较小量之间的数量关系。在用法上，倍量与比密切相关：把一个量几倍以后等于另外一个量，就说这两个量彼此之间有一个比。［3］119清代李善兰所译的《几何原本》中对“倍”的表述是：分者数之数小能度大以小为大之一分，诸分者小数度大数而有奇零不尽以小为大之几分，若小数能度大者则大为小之几倍。

从这里可以看出，《几何原本》中的“量”在文言文译本中表达为“数”，失去了原有“形”的意义。在现代的中译本《欧几里得·几何原本》中，根据语境，倍量有时会被翻译为倍数，即用较小量测量较大量的次数称为倍数；同倍量（Equimultiples）翻译为相等的倍数，用以描述两组不同的较大量与较小量之间倍数相同的关系。［3］119

通过对古今中外文献进行梳理，发现“倍”具有“关系”和“运算”两种意义。在我国各个版本教材中，1960 年前的教材对“倍”含义的呈现注意到了关系，但表达形式指向运算的结果。随着时间的推移，后续版本的教材便更多指向运算的结果而忽视了本质的表达，这可能是导致人们将“倍”误解为运算结果的原因。

1906 年，由日本数学家桦正董原著，赵缭、余焕东翻译的《新译算术教科书》借助单位的度量表示“倍”，包含几个这样的单位就是几倍，即“计量之大小多寡等相当于单位之几倍或几分皆谓之数”。在人民教育出版社1952年出版的十年制小学课本《算术（第六册）》中，“倍的含义”是通过数量与数量之间的关系引出的：水里有2 只大鸭，6 只小鸭，我们就说小鸭的只数是大鸭只数的3倍（如图1）。然而，对于“倍”这一概念，教材并未给出明确的定义。

图1 1952年人教版教材扫描图

在人民教育出版社1953年出版的初级小学课本《算术（第五册）》中，“倍的含义”是用几何量之间的关系来表征的。即照图2剪两张纸条，拿短纸条去量长纸条，看长纸条里包含几个短纸条。长纸条包含4 个短纸条就说长纸条是短纸条的4 倍，反过来说就是短纸条是长纸条的四分之一。

图2 1953年人教版教材扫描图

图3 Visible Thinking in Mathematics 2A教材内容示意图

但在对“倍”进行概念描述时，教材采用了除法计算的方式：比较两数的倍数关系时，先拿小数去除大数，得数是几，大数就是小数的几倍；反过来说，小数就是大数的几分之一。

人民教育出版社1960 年出版的初级小学课本《算术（第四册）》直接将“倍”的概念描述为倍是运算的结果：“求一个数的几倍是多少，就用几乘这个数。”2001 年版及以后的版本也都大同小异，均强调“倍”是一种运算的结果，而相对忽略其描述关系的本质属性。

相较于国内来说，国外教材的呈现方式就比较重视“倍”是一种关系、一种模型（Model）。2014年版新加坡教材Visible Thinking in Mathematics 2A将“倍”视为运算模型，对加减乘除进行综合运用。为加深理解，教材提供了3 个例题进行辨析，并辅之以3 个图示，要求学生根据问题类型进行连线匹配。

问题1：艾玛有20 枚胸针，静文的胸针数量是艾玛的3倍，她们一共有多少枚胸针？

问题2：静文的胸针数量是艾玛的3倍，静文比艾玛多20枚胸针，她们一共有多少枚胸针？

问题3：静文的胸针数量是艾玛的3倍，她们一共有20枚胸针，艾玛有几枚胸针？［4］

分析上述三个问题可知，问题1 与中图对应，问题2 与下图对应，问题3 与上图对应。每个问题对应的模型不同，解决问题的思维方式也各不相同。学生可通过比较问题描述与图形表征的差异，提升运算能力。

以问题1 为例，新加坡教材原文的描述为：“Jingwen had 3 times as many pins as Emma.Emma had 20 pins.How many pins did they have altogeth‐er？”。句子中的“times”，翻译过来是倍的意思。在英语的表达中，“times”也有乘法的含义。“2×3”就是“2 times 3”，次数在前，被乘的数在后，表示“3出现了2 次”。而“times”就是重复出现的次数，即选定单位量后，重复出现几次就是几倍。这与我国《新译算术教科书》中通过单位的度量表示倍的概念是一致的，即包含几个这样的单位就是几倍。

综上所述，倍这个概念起源于测量，用于描述用较小量来测量较大量时两者之间的关系。在用法上，它可以用来比较部分与整体的关系、同一对象变化前后的关系以及两组不同对象之间的关系。其共同的特点就是标量关系（Scalar Relationship），即把标准量看作“单位一”去度量比较量，比较量有几个这样的单位就是几倍。［5］在比较的过程中，常用除法和乘法的形式来进行运算，但各版本的教科书在呈现形式上还停留在不同对象之间的比较。事实上，“倍”的含义和应用远不止于此。

二、意义形成

“倍”作为一个数学术语，是通过对客观事物进行抽象所形成的“概念（Concept）”，是人的“心智（Mind）”中自内而外的主观“生成（Poietic）”。［6］对“倍”的理解依赖于个体经验与具身操作。杜威说：“理解就是要掌握其意义。”［7］那么，如何抓住意义呢？有意义的情境必须包含三个要素：一是指示物（Referent），如事件、物品、动作等；二是指示物的符号（Symbol）；三是独特的解释（Interpret）。［8］

符号产生的意义依托于个体原有的经验，即当符号出现时，会唤起个体过去的经历或头脑中形成的想象。由于经验不同，学生在头脑中会形成不同的图式，随之也就会产生不同的意义。以算式3×2=6 为例，假设学生尚未学习乘法，3×2=6 只不过是一些符号的堆砌，毫无意义。而随着学习经验的累加，学生能根据乘法所涉及的量的性质及其之间的关系产生至少三种不同类型的理解：相等群组（Equivalent Groups）、乘法比较（Multiplicative Comparison）和笛卡尔乘积（Cartesian Product）。［9］

在相等群组的类型中，算式3×2=6能够唤起学生诸如“每个盘子里装有3个苹果，有这样的2个盘子，一共有多少个苹果？”的经验，形成如图4 所示的意象图式。在这个算式中，两个因数的意义不同，3表示的是每份数，2表示的是份数。那么在这样的情境中，3×2=6有指示物、符号和个体的解释，从而使算式具备了具体的意义。

图4 相等群组示意图

乘法比较这种类型与中文表达的倍数问题大致相同，比较的是一个组与另外一个组（标准组）的关系。3×2=6能唤醒学生头脑中如图5所示的意象图式：第一行有3 个小方块，第二行小方块的数量是第一行的2倍，第二行小方块的数量有几个？其中，3代表的是单位量，2倍指向关系即包含2个3。那么，3×2=6 在这样的情境下就形成了有意义的理解。

图5 乘法比较示意图

在笛卡尔乘积类型中有这样的情境：一家汉堡店出售单层夹心汉堡，它有3种肉类（香肠、鸡肉和牛肉）和2 种酱（番茄酱和沙拉酱）。用3×2=6 可以表示能买到6种不同口味的单层汉堡。具体来说，3表示3种肉类，2表示的是2种酱料，6代表这2种酱料与3种肉类搭配后有6种不同的情况（如表1）。

表1 汉堡搭配表

因此，学生在进行有意义的学习的过程中，不仅要掌握符号的意义与运算的法则，更要了解符号背后所蕴含的现实意义与价值。不仅要知其然，更要知其所以然，将个体经验与符号表征进行连接，形成自己的意义理解。

在具身活动中，理解算术符号的意义尤为重要，因为算术符号形成的意义往往和具身的行为动作密不可分。如以某种方式将物体进行聚集、划分以及比较等。算术符号的意义与显性行为（Overt Acts）相联结，即以一种特定方式形成的算术指令。以“什么是2倍关系”为例。将一个长方形ABCD先对折再打开（如图6），对折过程中，长方形ABFE与长方形DCFE重合，得到两个面积相同的小长方形。整体面积就是其中一个小长方形面积的2倍（也就是部分与整体的2 倍关系）。这样的操作（Operation）使2倍关系可视化，学生在头脑中就能形成关于2 倍关系的意象（Image），这样的行为就是有意义的活动。那么学生之后再看到2倍，头脑中就会复现这样的经历，自然也就理解了2倍关系的意思。

图6 长方形对折动态示意图

三、“倍”的意义

“倍”的意义由多个意义单元（Meaning Unit）组成。在符号形成意义的过程中，意义单元是组成意义的基本结构。当指示物和一个意义价值（Mean‐ing Value）联结，就形成了一个意义单元。［10］随着时间的推移，指示物常常在不同方面包含并累积若干个意义价值，形成模式（Pattern）。“倍”作为数学符号的意义，由三种不同的意义单元组成，即描述不同指示物之间的关系、描述指示物部分与整体的关系、描述指示物变化前后的关系。

第一种意义单元描述不同指示物之间的关系。如图7所示，第一行有3个小方块，第二行有6个小方块。那么，第二行小方块的数量就是第一行小方块数量的2倍。这样的意义单元描述的是“2倍”的关系，其中指示物是两行数量不同的小方块，意义价值就是第二行指示物数量是第一行指示物的2倍。“2倍”关系就是一个符号，而符号往往有2个或以上的对象以及多个解释项（Interpretant）。［11］因此，若第一行有4 个小方块，第二行有8 个小方块，第二行小方块的数量也与第一行小方块的数量形成“2 倍”关系。以此类推，若将一种指示物看成“单位一”，而另一个指示物有这样的几个“单位一”，那么这两种不同指示物之间就形成了一定的倍数关系。

图7 “2倍”关系示意图

第二种意义单元描述指示物部分与整体的关系。以折纸所形成的倍数关系为例。如图8所示，将一张长方形纸对折1 次、2 次、3 次，每次对折后，初始的整个长方形面积分别是对折后小长方形面积的2倍、4倍、8倍。在这样的意义单元中，每次对折，“单位一”在不断变化，但整体不变，所以形成的部分与整体之间的倍数关系也在不断变化。因此，同一指示物部分与整体之间形成了新的意义价值，从而构建出新的意义单元。

图8 长方形对折1次、2次、3次示意图

第三种意义单元描述指示物变化前后的关系。在这样的意义单元中，指示物增加了几倍，意义价值即在初始状态的基础上增加了几个这样的“单位一”。例如，以3个小方块作为指示物的初始状态，这时候的小方块数量是“单位一”，指令“增加了2倍”即增加2个这样的“单位一”（如图9）。那么，变化后的小方块数量就是初始状态+增加量=最终状态，即3 个“单位一”。因此，“增加了几倍”阐述变化的增量，意义指向倍数关系的动态变化。

图9 小方块“增加了2倍”示意图

对“倍”的意义形成的解释与理解是为了让教师更清楚“倍”的含义，更好地为学生设计学习活动，让学生实现对“倍”的理解以及应用。在数学概念的学习中，学生不应停留在简单的模仿层面，如“几倍就是乘几”，而应追求对概念的有意义理解，学会用自己的方式表征数学问题，并理解概念与其他事物之间的关系，以及概念的产生、运作过程、影响和应用的范围等。实践研究表明，教师要鼓励和要求学生进行多元表征，这样的活动体验能提升学生灵活解决问题的能力。［12］因此，在教学“倍的认识”时，教师可以参考“倍”的意义的形成过程来设计教学活动，让学生利用个体经验和具身操作来实现对倍的理解。

综上所述，在对“倍”进行课程设计与教学时，简单地将“倍”定义为“除法计算的结果”并不妥当。为全面呈现“倍”的意义，应当让学生深入体会倍的运算意义，并深刻认识“倍是关系”。理解“倍”的概念需要依赖于个体经验与具身操作，需要设计多元表征的学习活动。在小学数学课程中，有诸多关于抽象概念的学习，如分数的认识、小数的认识、分数的意义、小数的意义等。教师应创设有意义的情境，帮助学生通过指示物、符号和个体的解释形成有意义的理解，并在备课前深入思考“这是什么？学什么？难在哪里？要怎样做？”这几个问题。这样，才能真正落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于运算的要求——明晰运算的对象和意义。