一道解析几何综合题的探究

刘海

摘要：涉及平面解析几何中的最值（或取值范围）问题是高考中的一个创新点与难点，考查形式变化多样，常考常新.结合一道解几背景下最值问题的求解，从不同思路展开，采用不同技巧方法解决，开拓数学思维，提升试题的宽度与厚度，有效指导数学教学与解题研究.

关键词：抛物线；圆；三角形；面积；最值

平面解析几何中的最值（或取值范围）问题，往往以“压轴题”的形式出现在高考选择题、填空题或解答题中的对应位置，成为高考命题乃至自主招生、競赛中的“常客”之一，更是各类模拟考试中常考的基本题型之一.此类问题，除了可以很好地考查平面解析几何的基本知识，还可以巧妙融合平面几何、函数与方程、三角函数、不等式、函数与导数等其他相关知识，契合“在知识交汇点处命题”的命题理念，同时又能很好考查学生基本的数学思想方法和核心素养等，创新新颖，花样翻新，难度较高，但其基本解题思路与技巧方法仍然有章可循，有法可依.

1 问题呈现

问题 （2023届江西省重点中学协作体高三第二次联考数学试题·16）已知抛物线C：y2=4x，圆E：（x－4）2+y2=12，设O为坐标原点，过圆心E的直线与圆E交于点A，B，直线OA，OB分别交抛物线C于点P，Q（点P，Q不与点O重合）.记△OAB的面积为S1，△OPQ的面积为S2，则S1/S2的最大值为___.

此题以抛物线、圆为综合问题载体，结合直线与抛线物、直线与圆的位置关系，以及坐标原点与交点所构成的三角形的面积，通过两个不同三角形的面积的比值创设，进而确定相应的最值问题.

本题解题的关键是构建两个不同三角形面积的表达式，合理引入参数是根本所在.可以通过设线法、设点法或参数方程法等多思维视角切入，利用三角形面积公式的不同形式来确定对应的面积表达式，为进一步确定面积比值的最值提供解题依据与基础.

2 问题破解

3 教学启示

3.1 归纳总结方法，养成解题习惯

求解平面解析几何中的最值（或取值范围）问题时，要抓住直线与圆锥曲线的位置关系等场景，巧妙选取合理的参数，如点参、线参、角参等，同时结合题设条件或隐含条件等确定对应参数的取值范围.

在设参的基础上，借助直线与圆锥曲线的位置关系等切入，巧妙建立关于相应参数的目标函数，进而利用圆锥曲线自身的几何性质，或借助二次函数、基本不等式、函数与导数等来分析与求解对应的最值（或取值范围）问题.

3.2 “一题多解”思维，深入研究拓展

解平面解析几何的最值（或取值范围）问题时，由于参数选择的形式多样，根据题设合理选择点参、线参、角参等，这就为解决此类问题提供了更加丰富多彩的思维视角，是实现多种方法解题的根本，可以很好实现“一题多解”的巧妙应用，同时对不同的技巧方法加以对比、分析，从中合理优化，提升能力.

基于此类问题的“一题多解”，可合理对问题条件、问题结论，以及问题的求解方法、求解过程等加以深入研究与分析，从而合理拓展与应用，达到“一题多思”“一题多变”“一题多得”等方面的良好效果，对于全面提升数学解题能力以及培养数学核心素养都有益处.