赏析2023年高考数学新课标Ⅰ卷第16题

孙梦丽　王彬

1 试题内容

（2023年新课标Ⅰ卷）已知双曲线C：x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=－2/3F2B，则C的离心率为[CD#3].

2 解法分析

以双曲线为背景求离心率是常见题型，可选择的切入点有：

（1）结合平面几何知识，借助双曲线定义、正余弦定理构建方程来求解；

（2）建立平面直角坐标系，设点或设线，将题設条件转化为坐标关系得到方程，从而求解.

本题思维导图如图1所示.

由此可见，2023年新高考Ⅰ卷第16题是例1与例2的延伸，将点B放在y轴上，构成等腰三角形.三道试题均对考生的作图能力、逻辑推理能力、计算能力作了考查.

2023年新高考Ⅰ卷第16题是常见的圆锥曲线求离心率问题，结合了向量、解三角形等知识，深入考查逻辑推理能力、运算求解能力以及数形结合思想.需要学生能够正确构图、识图、用图，熟练借助向量语言“定位”点，窥见特殊点背后的特殊数量关系，构建合适的等量关系，还要有扎实细致的计算功底.在教学时，教师要注重学生分析问题能力的培养，从而使其做到以不变应万变，游刃有余地解决离心率类问题.