显式与隐式方法求解含时薛定谔方程及误差分析

郑纾寒　潘超钰　陈保义

摘 要 含时薛定谔方程是量子力学最重要的方程之一，它可以给出不同相互作用势下体系波函数的演化。相互作用势的复杂形式使得薛定谔方程一般没有解析解。如何较准确地数值求解含时薛定谔方程，对许多物理问题有着重要意义。本文采用显式与隐式的方法求解薛定谔方程。从结果可以发现，隐式的方法得到的波函数精度远高于显式方法，且误差具有收敛性。为了进一步探索隐式格式的可行性，本文还采用有限温度下的屏蔽势，利用隐式方法具体求解粲夸克偶素的波函数演化。

关键词 含时薛定谔方程;偏微分方程数值求解;显隐式格式稳定性分析

在经典物理中，牛顿运动定律给出了物体的状态在受力情形下的改变规律，而在量子力学中，薛定谔方程给出了物体的波函数在相互作用势下的改变。在课本中，相互作用势的形式一般比较简单，所以含时薛定谔方程可以有解析的解。但在绝大部分真实相互作用下，相互作用势的形式较复杂，如何数值求解含时薛定谔方程，并得到准确的波函数演化，值得深入探讨。

本文将重点讨论采用隐式的方法，通过矩阵求逆，来得到波函数的时间演化。通过与显式的数值方法及一维谐振子模型之下的解析解进行对比，可以发现这種隐式方法的精度很高。为了进一步理解波函数的误差演化，本文利用格点QCD模型计算在有限温度的屏蔽势下，波函数随着时间的演化。

1 含时薛定谔方程的求解