小学生数学表达内涵意蕴与价值指向探究

2024-05-02江苏省南京市南化实验小学周雨辰

小学教学研究 2024年8期

江苏省南京市南化实验小学周雨辰

华罗庚先生曾说过，学生在数学表达上要想得清楚，说得明白，写得干净。数学表达是数学学习的重要方式，更是应用数学的重要途径。数学思维是内隐的，而数学表达却是外显的。核心素养的培育与发展，离不开数学思维的提升；数学思维的发展，则离不开数学表达的优质化训练。在小学数学教学中，重视学生数学表达能力的培养，可以优化数学教学，促使学生核心素养落地生根。

一、数学表达的内涵意蕴

（一）数学表达的界定

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，它包含了文字语言、图形语言和符号语言等。表达是将思维所得的成果用语言以语音、语调、表情、行为等方式，以文字和口语反映出来的一种行为。而数学表达是指学生在数学学习过程中，针对具体的数学问题，基于已有的经验认知，对认知对象进行模仿识记、分析归纳、再加工、再学习，并借助数学的语言、符号、图形和表达式等丰富的表达形式，以口头语言、书面语言和实物操作等方式，表达、交流和分享对数学认知对象的理解、解决问题的过程、观点及结论的思考等学习行为。数学表达是以数学的语言表达思维，是以数学的方式表征现实问题。

（二）数学表达的特征

1.数学表达具有规范性

数学是一门严谨的学科，数学的学习要求严谨、逻辑性强，以充分地体现数学的核心和本质，更好地契合数学逻辑。在课堂教学环节，数学表达应在交流和补充中不断地完善，力求做到规范表达。

例如，在日常教学“商不变的规律”时，学生往往可以做到通过观察表格中被除数、除数和商的变化，总结出被除数和除数变化对商的影响的一般规律，但是通常会忽略“除数为0”这个特殊情况。此时，教师可以通过引导学生进行交流，思考除数不能为0的情况，通过学生的层层思考与不断补充，将总结出的规律不断完善总结，从而得到完整的“商不变的规律”。规律的补充就使数学表达更加具有一定的规范，这一环节就是数学表达不断规范的体现。

2.数学表达具有多样性

课堂教学中数学表达不限于口头语言表达，教师还可以借助数学文字语言、符号、图形和表达式等丰富的表达形式，通过口头语言、书面语言和实物操作等方式进行表达。课堂教学中，教师应多加鼓励学生用自己的方式表达，激发数学表达的多样性，创造多样的表达环境。例如，学习“100以内的加减法”时，有的学生会通过计数器拨珠进行思考，表达算法；有的则会借助摆小棒进行计算，展示算法；有的会通过同桌互相交流进行知识习得；有的则采用画图的方式帮助理解。这些均是数学表达的方式。不同的思维方式通过不同的数学表达得以体现。学生通过说、写、画等方式，表达各自的思维过程。

3.数学表达具有多元性

数学表达不仅是学习者单方面的个人表达，还可以是教师与学生、学生与学生之间学习互动的表达。教师对学生表达进行评价与指导，及时对学生的思维进行反馈，学生与学生之间的小组交流、互相讨论习得、评价与反思的过程等，都是数学表达的参与方式，它们呈现多元化的样式与特性。在课堂教学中，教师应积极创造表达交流的环境，营造生生交流、师生交流的良好学习氛围，让学生表达的方式更加多元化，这样才能更好地激发学生的学习兴趣，促使学生的核心素养落地生根。

（三）数学表达的层次水平

对于相同的问题情境，不同的数学表达方式与思维程度，所对应的数学表达层次水平会有不同。根据个体对问题的理解程度，数学表达可以分为四个层次：经验性表达、概念性表达、结构性表达和创造性表达。

例如，教学苏教版数学一年级下册“数的顺序”时，教师出示空白的百数表（如图1）并提问：你知道深色框中的数字是多少吗？你是怎么知道的？

图1

生1：我从第一个格子一个一个地数，数到这里就是96。

生2：我发现一行有十个，所以我是从第一个格子五个五个地数，数到95后面是96。

生3：我是先横着一个一个地数，先数到6，再竖着十个十个地数，6，16，26……96。

生4：我有两个方法，不仅可以正着数，还可以从最后一格100倒着数。100，99，98，97，96。

通过这几个学生的数学表达，我们可以从中分析出不同的表达层次和思维层次。

生1的表达属于经验性表达。经验性表达是基于已有经验的认识，对认知对象进行单一的点数指认、模仿、识记和机械表达。这一层次的表达特征具有易错性和片面性。而运用概念性表达层次的学生可以通过分析、归纳等方法，对认知对象之间的逻辑关系进行学科本质的表述，具有一定程度的逻辑性、关联性和理解性。

生2的表达在经验性表达的基础上，加入了自己的归纳与思考，对应概念性表达层次。结构性表达层次的学生则会对认知对象进行再加工，有更深层次的认知，能对对象的整体与部分的关系加以表达，获得丰富的数学认知，具有丰富性和结构性。

生3能够对百数表的数据排列规律进行思考，并认识到百数表中的数据与百数表的位置关系，能达到结构性表达水平。达到结构性表达层次的学生，对前认知进行再学习和再评价，综合运用知识解决相关问题并进行表达，具有综合性和整体性特征。

从生4的数学表达中可以看出，该学生不仅可以对百数表的规律进行正向掌握，还能将规律综合运用进行逆推，充分从整体上掌握了百数表，在一定程度上达到了创新性表达。

从以上的课堂案例可以看出，经验性表达、概念性表达、结构性表达和创造性表达这四种表达层次逐层递进，互相关联。

二、数学表达的价值指向

（一）有利于核心素养培养的落实

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出，让学生会用数学的语言表达现实世界。《中国学生发展核心素养》中，也包含对表达与交流能力的要求。史宁中教授认为，数学核心素养主要体现在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思的综合运用能力上。可见，只有加强对学生数学表达能力的培养，才能促进其核心素养培育的深度落实。

（二）有利于提升教学的有效性

思维是内隐的。在教学时，教师借助学生的数学表达，可以对学生的学习思维进行判断、评估，数学表达可以将数学的思维外显并甚至实现可视化。经验性表达在低年级中较为常见，表达时学生更加关注知识点本身，结合自己的已有经验进行思考表达，体现的思维类型为形象思维。概念性表达通常在抽象思维的基础上体现，在中年级的数学课堂较能体现。学生不仅可以结合相关的认知经验，还能进行一些简单的分析。在高年级数学教学中，学生能够在思考问题时关注到知识之间的逻辑性，结构性表达更为突出，体现的思维则更加侧重于逻辑思维。而创造性表达需要学生有较强的创造性思维，不仅要能熟练掌握知识，还要能够将知识进行灵活运用，这一表达和思维层次往往可遇而不可求。如图2，根据学生数学表达的表现，将数学表达的四个层级与数学思维的四个层级进行一一关联对照，教师就可以准确把握学生的学习情况，及时调整教学方式并分层次进行针对性辅导，实施有效教学，做到顺学而教、因材施教，从而提高教学效率。

图2

（三）有利于触及学习数学的本质

数学是一门逻辑性很强的学科，学生在数学学习的过程中通常需要对认知对象展开分析、判断、推理等思维活动。对这些思维过程的表达，不仅可以培养学生的思维逻辑性，还可以使其在表达中不断地提升对认知对象本质的思考与理解，促进学生对数学本质的解读。

例如，在教学苏教版数学四年级上册“解决问题的策略（列表）”时，教师可以让学生通过分析题目中的条件和问题，用自己的方式整理相关数学信息。有的学生选择文字整理，有的学生选择列表整理。在表征数学已知条件和问题作品的对比与交流中，学生可以逐渐感受列表方式的方便与快捷，体会到解决问题的方法不同的本质，从而根据不同的问题选择恰当的方式，以解决实际问题，这就深刻地触发了学习思维中讲究策略的本质认识。