双抽象函数问题的特殊化求解策略探析

周晓玲　何灯

抽象函数问题在近几年高考试题中频繁出现（如2021年全国新高考Ⅱ卷第8题， 2022年全国乙卷理科第12题，2022年新高考Ⅰ卷第12题，2022年新高考全国卷Ⅱ第8题等），此类问题能够很好的考查学生对函数中基本概念、基本性质的理解，考查学生综合运用所学的知识解决问题的能力，在条件的转化与策略的选择过程中考查学生的思维创新能力，导向对发展数学抽象、逻辑推理等核心素养的关注.特别是双抽象函数问题，由于问题条件的抽象性、函数关系的复杂性，求解方向的不确定性，导致学生普遍认为此类问题难以入手，往往选择直接放弃.

《孙子兵法·兵势篇》中孙子曰：“凡治众如治寡，分数是也；斗众如斗寡，形名是也”，即：治理庞大的军队如同治理少量的军队的方法，就是按一定编制将他们组织起来，让庞大军队像小队人马一样步调一致、听从指挥的方法.“治众如治寡”，这是孙子提出的一个方法论思想和一种管理学思想.将此法迁移到数学解题中，对于双抽象函数问题，我们可以尝试将两个函数分而治之，针对其中一个函数，厘清其所具有的内蕴性质，在此基础上，立意于特殊与一般思想，将其表达式特殊化和具体化，再通过两个抽象函数的关系，得到另外一个抽象函数的表达式，从而突破问题求解难点，实现问题的轻松求解.

下面以两道试题为例，阐述上述求解思想.

分而治之，上述解法将纠缠在一起的两个抽象函数拆分开来，通过明晰其中某个函数所具有的性质，在特殊与一般思想的引领下，构造一个特殊函数，在此基础上，实现问题的轻松求解.整个求解过程方向性明确，学生易于理解，彰显了数学思想方法在解题过程中的引领作用.在日常解题过程中，老师们应引导学生尝试换一个角度去思考问题，可能会有更深刻的认识，获得不一样的学习体验.